课程材料-数字信号处理-chapter

6.6

实序列的复倒谱及其性质(Cepstrum)2013/11/24MMVCLAB2问题的提出：实际应用中序列x(n)一般都是实序列，因此有必要研究实序列的复倒谱的计算方法以及与x(n)的某些参数的关系。研究方法：x’(n)

=

Z-1{ln[Z(x(n))]}

=

Z-1{ln[X(z)]}-1-1),其中：|

ak

|

、|

bk

|

、|

ck

|

和|

dk

|

都小于1mimokkpi

pok

k(1-

a

z(1-

b

z)(1-

c

z)

(1-

d

z)k

1k

1

k

1X

(z)

Azrk

1

放大倍数时移单位圆内零点单位圆外零点单位圆内极点单位圆外极点2013/11/24MMVCLAB3求解过程：2013/11/24MMVCLAB4x

'(n)

-1{ln[

X

(z)]}-1-1

ln(

A)

r

ln(z)

k

1mok

1pik

1pok

1kln(1-

a

z

)

kln(1-

b

z)kln(1-

c

z)

kln(1-

d

z)-1-1mimopipo(1-

a

z

)(1-

b

z)(1-

c

z

)k

1

k

1X

(z)

Azr

k

1

k

1

,(1-

d

z)

k

kk

k其中：|

ak

|

、|

bk

|

、|

ck

|

和|

dk

|

都小于1ln[

X

(z)]

x

'(n)z-nn-mi1

{ln(

A)}

ln(

A)

(n)-1-1

n-n

1n1(-an)z

knkln(1-

a

z

)

0

k(a

z)

nn1(-nnbn)z

knk

kn

1n1ln(1-

b

z)

0

(b

z)n1-1-1

n-n(-cn)z

knkln(1-

c

z

)

0

k(c

z)

n

1n1n1(-nnd

n)z

knk

kn

1n1ln(1-

d z)

0

(d

z)

n1n(-1)n

r

,

n

0n

01{ln(zr

)}

0,-1-1mimokkpipokkln(1-

a

zln(1-

b

z)ln[

X

(z)]

ln(

A)

r

ln(z)

)

ln(1-

c

z)

ln(1-

d

z)k

1k

1k

1k

1xnnln(1-

x)

0

n12013/11/24MMVCLAB5zr项的作用很有规律性：-1-1,mimopipokk(1-

a

z

)(1-

b

z)(1-

c

z

)(1-

d

z)k

1

k

1X

(z)

A

k

1

k

1

k

k其中：|

ak

|

、|

bk

|

、|

ck

|

和|

dk

|

都小于1;同时假定A

0。,

n

0n

00,nrn1

r(-1)

{ln(z

)}

-1-1mi

mopi

pok

k(1-

a

z

)(1-

b

z)(1-

c

z

)(1-

d

z)k

1

k

1X

(z)

Azr

k

1

k

1

,

k

k

其中：|

ak

|

、|

bk

|

、|

ck

|

和|

dk

|

都小于1x

'(n)

1{ln[(x(n)]}2013/11/24MMVCLAB6结果：n

0x

'(n)

,

n

0n

0mi

anpi

cnnk

1k

1

ln(

A),

mob-n

po

d

-nk

1

k

kn

k

nk

1

k

n,-1-1,mimopi

po(1-

a

z

) (1-

b

z)(1-

c

z

) (1-

d

z)X

(z)

A

k

1

k

1

k

k

k

kk

1

k

1其中：|

ak

|

、|

bk

|

、|

ck

|

和|

dk

|

都小于1;同时假定A

0。2013/11/24MMVCLAB7性质1：若x(n)为实序列，x’(n)也为是实序列根据实序列的Z变换的性质，零、极点若是复数总是共轭出现。性质2：若x(n)为最小相位序列，则x’(n)为因果序列。性质3：若x(n)为最大相位序列，则x’(n)为非因果序列。mi

anpi

cnnnb-n

po

d

-nk

1k

1n

0

ln(

A),,

n

0

mon

0k

1x

'(n)

k

k

k

nk

1

k

n,-1-1,mimopipo(1-

a

z

) (1-

b

z)(1-

c

z

) (1-

d

z)k

1

k

1X

(z)

A

k

1

k

1

k

k

k

k其中：|

ak

|

、|

bk

|

、|

ck

|

和|

dk

|

都小于1;同时假定A

0。2013/11/24MMVCLAB8性质4：即使x(n)为有限长的时间序列，x’(n)也总是无限长的时间序列。性质5：复倒谱的衰

度很快，至少是以1/|n|的速度衰减。性质6：间隔为Np的冲激序列的复倒谱仍然是一个间隔为Np冲激序列。x

'(n)

1{ln[(x(n)]}mi

anpi

cnnb-n

po

d

-nk

1k

1

ln(

A),n

0x

'(n)

,

n

0

mon

0k

1

k

kn

k

nk

1

k

n,2013/11/24MMVCLAB9(

M

1)k'x(n)

k

(n

kNp

)k

(

M

1)X

(z)

X

(z)

ln

X

(z)

)

pppppNkk

1,

v

1k(

M

1)kN

Nk

(

M

1)

z

(1

u

z

)

(1

v

z

),

u

k

k

kNk

Nln(1

u

zkln(1

v

z

)kkxnnln(1-

x)

0

n1'2013/11/24MMVCLAB10X

(z)

p

]ppnN(u

)n(v

)n

k

nnNnn

nNn1

n1

k

n

z

zk

n1[

nNk

n1pz

]

[z1x'

(n)

(n

rN

)

(n

rN

)

n

p

n

pr

1

r

间隔为Np的冲激序列的复倒谱仍然是一个间隔为Np的冲激序列。同态信号处理的应用：利用卷积同态系统处理：x(n)

s(n)

s(n

-

n0

)

s(n) *

h(n)X

(z)

S

(z)

H

(z)

S

(z)

[1

z-

n0

]X

'(z)

ln[

X

(z)]

ln[S(z)]

ln[1

z-

n0

]x

'(n)

s

'(n)

h

'(n)(-1)

h

'(n)

k

1

k

(n

-

kn

),

n

0k0

k

10,

n

0运算*的特征系统2013/11/24MMVCLAB11y

'(n)

L[x

'(n)]

x

'(n)

[1-

(n

-

kn0

)]k

1原始信号恢复结果滤波器复倒谱混响信号k1[1-

(n-kn

0

)]2013/11/24MMVCLAB122013/11/24MMVCLAB136.7

实序列的复倒谱计算方法问题的提出：怎样快速准确地计算复倒谱x’(n)=Z-1{ln[Z(x(n))]}？研究两种情况下复倒谱的计算方法：一般情况下。x(n)为最小相位序列或最大相位序列的情况下。2013/11/24MMVCLAB14x

'(n)

n

0mi

an

pi

cnnb-npo

d

-nk

1k

1

ln(

A),

n

0,

n

0

mok

1

k

kn

k

n

k

1

k

n,一般情况下复倒谱的计算方法：方法1：按复倒谱的定义计算基本原理：x’(n)

=

Z-1{ln[Z(x(n))]}x’(n)

=

IDFT{ln[DFT(x(n))]}x(n)DFTX(k)ln[

]X’(k)IDFTpx'

(n)其中：N为计算FFT所取的点数，要取足够大以避免

失真。x

'p

(n)

x

'(n

rN

)

,r

-2013/11/24MMVCLAB15一般情况下复倒谱的计算方法：方法2：复对数求导数计算法基本思想：利用Z变换的微分性质以及对数函数的导数性质避免计算复对数的

。X’(z)=ln[X(z)]，求X’(z)的反变换的主要是复对数运算的存在。Z变换的微分性质：-zdX(z)/dz=Z[nx(n)]。dln(x)/dx

=1/x2013/11/24MMVCLAB16一般情况下复倒谱的计算方法：主要原理：X'(z)

ln[X(z)]d

X'(z)

d

ln[X(z)]

1

dX(z)d

zX(z)

d

zd

z

X(z)

d

zz

d

X(z)}nx'(n)

1{-e

jX

(e

j

)1jX

(e

j

)dX

(e

j

)d

}nx

'(n)

F

-1{-dX

(e

j

)de

j

}

F

{--11r

ij

jln

|

X

(e

j

)

|d2x

'(0)

1[

X

'

(e

)

jX

'

(e

)]d

2

性质1：若x(n)为实序列，x’(n)也是实序列-zdX(z)/dz=Z[nx(n)]。2013/11/24MMVCLAB17一般情况下复倒谱的计算方法：实际计算方法：N

-1-

j

2

knNX

(k

)

x(n)en0N

-1-

j

2

knNdX

(k)dk

j

nx(n)en0N

-11

1

dX

(k

)j

2

knNjnNk

0X

(k

)

dkx

'(n)

e

,

1

n

N

-1

1

2x

'(0)

1NN

1ln

|

X

(k)

|k

0ln

|

X

(e

j

)

|d

x

'(0)

与第

法相比，混叠失真加重，因此这种算法虽然避免了计算复对数问题，但导致了更严重的混叠失真。}1 d

X(

ej

)jX(

ej

) d

nx'(n)

F

-1{-2013/11/24MMVCLAB18方法1：利用最小相位条件简化基于定义的复倒谱计算方法基本思想：利用最小相位条件避免对复对数的计算。原理1：任何实序列x(n)都可分解为奇序列xo(n)

和偶x(n)

xe

(n)

xo

(n)2ex

(n)

1

[x(n)

x(-n)]2ox

(n)

1

[x(n)

x(-n)]X

(

j)

Xr

(

j)

jXi

(

j)Xr

(

j)

F{xe

(n)}jXi(

j)

F{xo

(n)}序列xe(n)，同时Xr(jw)与xe(n)构成换对，而jXi(jw)与xo(n)构成变偶，实奇，虚2013/11/24MMVCLAB19原理2：因果实序列x(n)可由偶序列恢复出来。2013/11/24MMVCLAB20x(n)

0,

n

02ex

(n)

1

[x(n)

x(-n)]ex(n)

x

(n),

2xe

(n),

n

0n

0n

00,计算原理：最小相位条件下复倒谱x’(n)为因果实序列，故可由其偶序列完全决定，也就是由其变换的实部完全决定。X

'(

j)

ln[

X

(

j)]

ln

|

X

(

j)

|

j

arg[

X

(

j)]2ex

'

(n)

1

[x

'(n)

x

'(-n)]ex

'(n)

x

'

(n),2x

'e

(n),

n

0n

0n

0

0,e)

|}1x

'

(n)

F

{ln

|

X

(

jln

|

X

(

j)

|

x

'e

(n)

x

'(n)2013/11/24MMVCLAB21具体方法：N

-1-

j

2

knNn0X

(k

)

x(n)e, N取足够大,减少混叠的影响。X

'r

(k

)

ln

|

X

(k

)

|N

-1j

2

knN

X

'r

(k

)ek

01x

'e

(n)

N2x

'e

(n),1

n

N

/

2n

0,

n

N

/

2N

/

2

n

N

-1

0,ex

'(n)

x

'

(n),由于复倒谱是无限长的，用

DFT计算会产生混叠失真，因此N应取得足够大。2013/11/24MMVCLAB22ln

|

X

(

j)

|

x

'e

(n)

x

'(n)方法2：递推计算方法基本思想：利用复对数求导数计算法中得到的关系式，并利用x(n)和x’(n)都为因果序列进行化简，以得到x’(n)的递推关系式。dX

'(z)

1

dX

(z)dz X

(z)

dz-12013/11/24MMVCLAB23dX

(z)

nx(n)Zdzz求解过程：dX

'(z)

1