概率论基础复旦版李贤平第一章

概率论基础Fundationofprobabilitytheory吴鹏飞

统稿江西师范大学数信学院第一章随机事件与概率1.1随机现象与统计规律性1.2随机事件关系与运算1.3古典概率1.4几何概率1.5概率空间1.6小结与综合练习1.1随机现象与统计规律性随机现象Def

在一定条件下，因不可控因素而导致实验或观察结果不唯一的现象成为随机现象。客观世界存在大量的随机现象。Def

为研究随机现象而进行的观察和实验统称为随机试验。随机试验必具备以下特点：（1）至少有两个以上可能结果；（2）试验的所有可能结果由试验条件明确已知，但每次具体试验之前不可预测本次试验将要出现的结果；（3）试验可在相同条件下多次重复。随机试验下面是一些随机试验的例子

例某人抛掷一枚骰子，观察朝上面的点数。

例从装有7个白球和3个黑球的盒子中随意取出两个球，观察其颜色。

例从某厂所生产的10000件产品中随意抽取53件产品，考察其中次品的件数

例从某校中随意抽选一名学生，测量其身高。随机事件Def随机试验的结果称为随机事件，简称事件。随机事件在具体一次试验中有可能出现也有可能不出现，它具有不可预见性。如果随机事件在一次具体试验中出现了，就称该随机事件发生了。一般用大写的英文字母来表示随机事件，如A,B,C…。随机事件的分类基本事件复合事件特殊事件随机试验不可再分的结果用随机试验若干个基本事件共同方可表达的结果必然事件和不可能事件样本空间Def随机试验基本事件的全体所形成的集合称为该随机试验的样本空间，一般用字母表示。样本空间是由所要研究的问题及其该问题所涉及的随机试验确定的，它是研讨问题的论域。例如：例1.1的样本空间，其中表示朝上面的点数为1，表示朝上面的点数为2，其余记号类似。例1.2的样本空间，其中个数”，那么，样本空间，其中“0”表示所抽球中没有白球，“1”表示所抽球中有1个白球，其余记号类似。例1.3的样本空间，其中“0”表示所抽产品中没有次品，其余记号类似。例1.4的样本空间，其中表示所抽到学生的身高。表示白球，表示黑球。如果将问题变为“观察白球出现的显然，频率具有下列性质：频率稳定性Def设将试验进行了次，其中次发生了事件，则称为事件发生的频率，记为，即Def随机事件在一次试验中是否发生带有偶然性，但当试验次数不断增大时，它发生的频率就趋于稳定，这种规律称为随机事件的统计规律性。在历史上，为了证明随机事件的统计规律性，人们进行了许多试验。最著名的有掷硬币试验、高尔顿板实验。掷硬币试验的历史资料表试验者抛掷次数出现正面的次数出现正面的频率德.摩根204810610.5180蒲丰404020480.5069皮尔逊1200060190.5016皮尔逊24000120120.5005维尼30000149940.4998随机事件概率从前面的讨论我们不难看出，同一随机试验的不同事件由于其内在的差别，在具体的试验过程中，它们各自发生的机会是不定一样的。为了刻画这种差异需要有一个指标，这个指标就是概率。所谓概率是用来刻画随机事件在一次试验中发生机会大小的一个数量指标。概率的统计确定法

Def在相同条件下重复进行的次试验中,事件发生的频率稳定地在某一常数附近摆动,

且随越大摆动幅度越小,则称为事件的概率,记作。

概率的统计定义对试验没有特殊限制，适用于所有随机试验。优点是易于理解，在试验次数足够大时能给出概率的近似值；不足是粗糙、模糊和不便使用。确定该批小麦种子的发芽率。解：从表内的资料可看出，随着做试验种子粒数的增加，种子发芽的频率在附近摆动，参与发芽试验的种子粒数愈大附近摆动愈小，所以，这批小麦种子的发芽率大概应在这个数值上。

注意：概率的统计定义只给出了确定事件概率近似方法。请大家思考概率的统计定义与下列极限过程有何区别？也即概率的统计定义能否理解为下式成立：种子粒数25107013031070015002000发芽粒数2496011628263913391806发芽率10.80.90.8570.8920.9100.9130.8930.903例1.5为掌握一批小麦种子的发芽率，从这批小麦种子中抽取若干种子做发芽试验，统计结果如下表所示。试由此资料

事件的包含与等价（相等）Def设为任意两个事件，若事件发生必导致事件发生，则称事件包含事件，记为。

例如：

在例1.1中，令表示掷得点数能被3整除；表示掷得的点数大于2。则。

如果有成立，也称为的子事件。显然，样本空间是一基本事件为元素的集合，复合事件是样本空间的真子集，必然事件就是样本空间，不可能事件是样本空间的空子集；如果再规定基本事件就是一个单点集，那么，随机事件就可以用集合来表示，但事件与集合又有所不同。所谓一个事件发生时指表达该事件的集合中的一个元素在试验中出现了。1.2随机事件关系与运算Def设为任意两个事件，若且，则称事件与等价或相等。记为。

例如：在例1.1中，令表示掷得点数能被3整除；表示掷得的点数为3或6，则。

事件的互斥与对立

Def设为任意两个事件，若与在一次试验中不能同时发生，则称事件与互斥。若与互斥，且在一次试验中必有一个发生，则称与互为对立事件。记的对立事件为例如：在例1.1中，令表示掷得点数能被3整除；表示掷得的点数小于3，则与互斥。在例1.2中，令表示抽出的两球中至少有一球为白色球，表示抽出的两球全为黑球，则与互为对立事件。显然，事件与互为对立事件，则它们一定互斥。

互斥事件完备群

Def设为一组事件，如果它们之中任意两个之间互斥，每次试验中必有它们其中一个发生，则称这组事件形成互斥事件完备群。例如：

在例1.4中，令则形成一个互斥事件完备群，如图1.1所示。显然，互为对立的两个事件一定形成一个互斥事件完备群。因此，互斥事件完备群是对立事件概念的推广。互斥事件完备群形成样本空间的一个分割。后面将要遇到的概率计算中，，利用互斥事件完备群在一些情况下可以化简复杂事件概率计算。图1.1

事件的和运算

Def设为任意两个事件，则称“事件与事件至少一个发生”这样的试验结果为事件与事件的和事件；这样的运算称为事件和运算。记与的和事件为。

从运算角度来看，事件与的和事件就是将两事件中所包含的不同的基本事件全体拿来形成一个集合所表达的事件，如图1.2所示。从定义不难看出事件的和运算具有下列性质（1）；（2）若，则；（3）。事件和运算概念的推广：

设为一个事件序列，则称“事件序列中至少有一个事件发生”这样的试验结果为事件序列中事件的和事件。记为。AB图1.2BA+

事件的积运算Def设为任意两个事件，则称“事件与事件两个同时发生”这样的试验结果为事件与事件的积事件；这样的运算称为事件积运算。记与的积事件为。从运算角度来看，事件与的积事件就是由两个事件所包含的公共基本事件全体构成的集合所表达的事件，如图所示。从定义不难看出事件的积运算具有下列性质（1）；（2）若，则；（3）。事件积运算概念的推广：设为一个事件序列，则称“事件序列中每个事件同时发生”这样的试验结果为事件序列中事件的积事件，记为。AB图

事件的差运算Def设为任意两个事件，则称“事件发生，而事件不发生”这样的试验结果为事件与事件的差事件；这样的运算称为事件差运算。记与的差事件为。从运算角度来看，事件与的差事件就是由事件所包含的全体基本事件中去掉其与事件所共有的基本事件形成的集合表达的事件，如图1.1所示。从定义不难看出事件的积运算具有下列性质（1）；（2）若，则。事件的运算律

交换律

（和运算）

（积运算）

结合律（和运算）（积运算）

分配律

对偶律（DeMorgan律）

这些运算律读可以推广到有限个事件的情况，对偶律还可以推广到无穷多个事件的情况。讨论事件之间关系和事件运算的目的是为了用简单事件表示复杂事件。熟练的应用事件的关系和运算将复杂事件表达成为一些相对简单事件的运算式是将来计算复杂事件概率基本手段。例1.6设为某试验的三个已知事件，试用它们表达下列事件“中恰有两个事件发生”，“中都不发生”。

解:“中恰有两个事件发生”为“中都不发生”为或例1.7设为某试验的三个已知事件，，试求事件的对立事件。解:由对偶律知

几个重要概念的等价表达事件对立事件组为互斥事件完备群1.3古典概率在对一般随机试验进行讨论之前，先讨论最简单的随机试验，这就是所谓的古典概率。古典概型只有有限个基本事件，且Def若随机试验的样本空间每个基本事件在试验中发生机会相等，则称该随机试验为古典概型。古典概型描述的是特殊的，相对较简单的随机现象。判断一个随机试验是否为古典概型就是要看其基本结果数是否有限和各基本结果是否具有等可能性。

例如：例，例，例都是古典概型。

概率的古典定义

所以有所含结果数事件由于所有可能结果解：设“全部装对”为事件例（匹配问题）某人写了4封信和4个信封，现随机地将信装入信封中，求全部装对的概率。由此不难看出，对于古典概型概率计算问题就是确定确定样本点计数问题，这就使得初等数学里的排列组合知识成为求解古典概型概率问题的常用的工具。的概率为样本点数为,事件A含有个样本点，则事件的任意事件，如果Def设随机试验为古典概型，为思路例（组数问题）用1,2,3,4,5这5个数字构成三位数，试求“没有相同数字的三位数的概率”，“没有相同数字的三位偶数的概率”。

百位十位个位注意：该题第二问求解过程中，确定事件所含结果数时，采用了先满足特殊要求后满足一般条件的办法。没有相同数字的三位偶数的概率没有相同数字的三位数的概率于是表示组成没有相同数字的三位偶数。表示组成没有相同数字的三位数；

解：设思路例1.9（抽签问题）10个学生，以抽签的方式分配3张音乐会入场券，抽取10张外观形状相同的纸签，其中有3签代表可得到入场券。求“第五个抽签的学生抽到有入场券签”的概率。第五个学生抽到入场券另外9个学生抽取剩下9张请大家思考：某人获得入场卷的概率与他抽签的次序是否有关，为什么？所以有所含基本事件数事件基本事件总数解：设表示第五个抽签的学生抽到有入场券签。注意：生日问题，分房问题可以归结为这类问题。，于是有所含基本结果数（2），于是有（1）所含基本结果数，且各结果机会均等。显然，所有可能基本结果数为小球各占一个纸盒”。表示“个盒内各有一个小球”；解：设表示“指定的小球各占一个纸盒的概率。（2）（1）指定的个纸盒各有一个小球的概率；中，试求解下列问题：小球随意放入纸盒盒子，个小球（），欲将这个可容纳任意个小球的纸例1.10（占位问题）设现有

重复抽取与不重复抽取在产品质量检验时，人们抽取产品的方式有两种。重复抽取是指抽出一个产品检验完后，将其放回，再抽第二产品进行检验；而不重复抽取是指抽出的产品不再放回。这两种抽取方式乞丐旅行知识有差异的。例题1.11设一批产品共有正品，先采用重复和不重复两种抽取方式从中抽取件产品，问恰好又k件次品的概率。这一概率式称为二项分布这一概率式称为超几何分布注意：一般情况下，二项分布与超几何分布有明显的差别，但当产品数量很大，而抽取数量不大时，二项分布与超几何分布差别几乎可以忽略。事实上，因为而例题从某鱼塘捕得1200条鱼，做了标记之后放回鱼塘经过一段时间后，在从中捕得1000条鱼，发现其中有标记的鱼100条，试以此数据估计鱼塘中鱼的数量。例题(德.梅尔问题)一枚骰子掷4次至少得到1次6点与两枚骰子掷24次至少得到一个双6点，这两个事件中那间有更多的机会遇到？概率性质几何概型Def设有一个可度量的区域（直线上的区间、平面上的区域、空间的立体通称），向区域任意投一点，该点落于区域内任意小区域里的可能性大小只与小区域度量的大小有关，而与小区域的位置形状无关，这样的随机试验称为几何概型，这时样本空间。

几何概型如图1.4所示，具有下列特点：（1）有一个可度量的区域；（2）试验看成向中随机地投掷一点；（3）事件就是所投掷的点落在中的可度量图形中。

概率的几何定义Def设为几何概型，为其任意一个事件，为的度量，为的度量，则事件的概率为G图1.4A1.4几何概率例1.13甲乙二人相约6:00-6:30在预定地点会面，规定先到的人要等候另一人10分钟后，方可离去。已知甲乙二人在6:00-6:30内任意时刻到达预定地点的机会是均等的。求甲乙二人能会面的概率。解：设表示甲乙二人能会面甲乙二人到达预定地点时刻分别为

及

（分钟）,则

二人能会面以6:00作为原点建立坐标系，那么，该问题如图所示。从而有30301010图例1.14甲乙两艘船欲停靠同一个码头，设两艘船到达码头的时间互不相干，而且到达码头的时间在一昼夜内是等可能的。如果两艘船到达码头后需在码头停留的时间分别是1小时与2小时,试求在一昼夜内，任一艘船到达时，需要等待空出码头的概率。解：设甲船到达码头的时刻为，；乙船到达码头的时刻为，；

事件表示任一船到达码头时需要等待空出码头．事件发生与需满足如图所示，从而有即有xy2424y=x+1y=x-2图例(蒲丰投针问题)事件域1.5概率空间概率的公理化定义概率公理化定义刻画了概率的本质，概率是一个函数，这个函数的作用是能度量随机事件再一次试验中出现机会的大小。它有点像我们熟悉的面积、体积，即所谓的测度。概率的公理化定义规定了概率的基本性质，由这些基本性质可以推导出下面一些概率的常用性质。有效的利用概率的这些性质可以简化复杂事件的概率计算。概率的性质

1.证明：因为且任意两项互斥，由公理3便有由于概率是数，显然有

该性质告诉人们：不可能事件的概率为零。但可不能推出是不可能事件。例如：某人用一薄刀片在直尺上随意砍，现考察刀片恰好砍到直尺的中点这一事件，显然这事件是可能发生的，但由几何概型容易看出其概率为0。2.有限可加性

设两两互斥，则有这个性质称为概率的有限可加性，证明类似于性质1。3.单调性若，则有。证明：如图所示有又互斥，从而所以有图4.加法定理

对任意两个随机事件，有证明：如图所示有又互斥且所以有如果事件互斥，则有