2023年新高考一轮复习讲义第37讲 数列求和含答案

试卷第=page88页，共=sectionpages88页试卷第=page11页，共=sectionpages33页2023年新高考一轮复习讲义第37讲数列求和学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________【基础巩固】1．（2022·重庆八中高三阶段练习）数列的前n项和为，且，则（

）A．2020 B．2021 C．2022 D．20232．（2022·全国·高三专题练习）设数列的前n项和为，则（

）A．25<S100<25.5 B．25.5<S100<26C．26<S100<27 D．27<S100<27.53．（2022·全国·高三专题练习）（

）A． B． C． D．4．（2022·湖南·麻阳苗族自治县第一中学高三开学考试）德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学界的王子.在其年幼时，对的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成;因此，此方法也称之为高斯算法.现有函数，则等于（

）A． B． C． D．5．（2022·广东广州·三模）已知数列满足，，则数列的前2022项和为（

）A． B． C． D．6．（2022·江苏南通·高三期末）函数y＝[x]广泛应用于数论、函数绘图和计算机领域，其中[x]为不超过实数x的最大整数，例如：[－2.1]＝－3，[3.1]＝3.已知函数f(x)＝[log2x]，则f(1)＋f(3)＋f(5)＋…＋f(210＋1)＝（

）A．4097 B．4107 C．5119 D．51297．（2022·全国·高三专题练习）设，为数列的前n项和，求的值是（

）A． B．0 C．59 D．8．（2022·北京·北师大二附中高三开学考试）已知数列满足，数列的前项和为，则下列结论错误的是（

）A．的值为2B．数列的通项公式为C．数列为递减数列D．9．（多选）（2022·重庆·一模）已知数列满足：，则下列说法中正确的是（

）A． B．C．数列的前10项和为定值 D．数列的前20项和为定值10．（多选）（2022·广东·一模）已知数列满足，，则下列结论中正确的是（

）A．B．为等比数列C．D．11．（多选）（2022·湖北·模拟预测）已知数列满足为数列的前项和，则（

）A．是等比数列B．是等比数列C．D．中存在不相等的三项构成等差数列12．（多选）（2022·广东·梅州市梅江区梅州中学高三阶段练习）已知等差数列的前项和为，若，，则（

）A．B．数列是公比为28的等比数列C．若，则数列的前2020项和为4040D．若，则数列的前2020项和为13．（2022·辽宁实验中学模拟预测）数列的通项公式为，该数列的前8项和为__________．14．（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列的前项和为，则___________.15．（2022·湖南益阳·高三阶段练习）已知数列中，，当时，有，则的值为__________.16．（2022·全国·高三专题练习）已知数列的前n项和为，且，设函数，则______．17．（2022·江苏·南京市中华中学高三阶段练习）已知数列{}满足=2，.(1)求数列{}的通项公式;(2)求数列{}的前n项和.18．（2022·湖南·高三开学考试）已知数列中为直角坐标平面上的点.对任意三点共线.(1)求数列的通项公式；(2)求证：.19．（2022·广东·高三开学考试）已知数列满足，，.(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前项的和.【素养提升】1．（2022·全国·高三专题练习）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号．用他的名字定义的函数称为高斯函数，其中表示不超过x的最大整数．已知数列满足，，，若，为数列的前n项和，则（

）A．249 B．499 C．749 D．9992．（2022·浙江·高三专题练习）已知数列的前n项和为，，且，则（

）A． B． C． D．3．（2021·浙江·模拟预测）已知数列{an}的首项a1＝3，前n项和为Sn，an+1＝2Sn+3，n∈N*，设bn＝log3an，数列的前n项和Tn的范围（

）A． B． C． D．4．（2022·浙江省嘉善中学高三阶段练习）已知数列满足，，为数列的前n项和，则（

）A． B． C． D．5．（多选）（2022·广东·深圳市第七高级中学高三阶段练习）已知数列中，，且，设，则下列结论正确的是（

）A．B．数列单调递增C．D．若为偶数，则正整数n的最小值为86．（2022·江苏苏州·模拟预测）数列满足，，则前40项和为________．7．（2022·湖北·宜城市第二高级中学高三开学考试）已知数列满足，（其中）(1)判断并证明数列的单调性；(2)记数列的前n项和为，证明：．试卷第=page3232页，共=sectionpages2424页试卷第=page11页，共=sectionpages33页第37讲数列求和学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________【基础巩固】1．（2022·重庆八中高三阶段练习）数列的前n项和为，且，则（

）A．2020 B．2021 C．2022 D．2023【答案】D【分析】根据数列的通项公式，可求得,依此类推，即可求解.【详解】∵，故故.故选：D.2．（2022·全国·高三专题练习）设数列的前n项和为，则（

）A．25<S100<25.5 B．25.5<S100<26C．26<S100<27 D．27<S100<27.5【答案】A【分析】利用裂项相消法，来求前项和公式，再求前100项的和即可．【详解】由，∴，∴，故选：A．3．（2022·全国·高三专题练习）（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】观察数列属于等差乘等比模型，按照错位相减法求和即可.【详解】由，得，两式相减得.所以.故选：B.4．（2022·湖南·麻阳苗族自治县第一中学高三开学考试）德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学界的王子.在其年幼时，对的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成;因此，此方法也称之为高斯算法.现有函数，则等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据，利用倒序相加法求解.【详解】解：因为，且，令,又，两式相加得：，解得，故选：B5．（2022·广东广州·三模）已知数列满足，，则数列的前2022项和为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由已知可得出为等差数列，即可求出，进而得出，利用裂项相消法可求出.【详解】当时，；当时.所以，所以.因为，所以，所以是一个首项为3，公差为1的等差数列，所以，故.所以，所以.故选：A6．（2022·江苏南通·高三期末）函数y＝[x]广泛应用于数论、函数绘图和计算机领域，其中[x]为不超过实数x的最大整数，例如：[－2.1]＝－3，[3.1]＝3.已知函数f(x)＝[log2x]，则f(1)＋f(3)＋f(5)＋…＋f(210＋1)＝（

）A．4097 B．4107 C．5119 D．5129【答案】B【分析】根据新函数的定义，确定的值，然后用分组求和法、错位相减法求和．【详解】由题意时，，，在上奇数共有个，，，，设，则，相减得：，所以，所以．故选：B．7．（2022·全国·高三专题练习）设，为数列的前n项和，求的值是（

）A． B．0 C．59 D．【答案】A【分析】由题得

①，

②，两式相加化简即得解.【详解】令

①则

②①+②可得：，，..故选：A8．（2022·北京·北师大二附中高三开学考试）已知数列满足，数列的前项和为，则下列结论错误的是（

）A．的值为2B．数列的通项公式为C．数列为递减数列D．【答案】B【分析】利用与的关系可求数列的通项公式，利用可判断单调性，利用错位相减法求.【详解】当时，，∴，故A正确；当时，，∴，∴，∵上式对也成立，∴（），故B错误；∵，∴数列为递减数列，故C正确；∵，∴，两式相减得，，∴，故D正确．故选：B．9．（多选）（2022·重庆·一模）已知数列满足：，则下列说法中正确的是（

）A． B．C．数列的前10项和为定值 D．数列的前20项和为定值【答案】AD【分析】由，两式可判断A,B选项；由题意可得，，从而可判断选项C,D.【详解】取得，故；选项A正确取得，又，两式相减得；选项B不正确.由题知，①，②，③，②-①得，②+③得，∴为定值，题中条件只限制，所以的值不确定，故前10项和无法确定；所以选项C不正确.前20项中奇数项有10项，相邻两项的和确定，故这10项的和确定，同理10个偶数项的和确定，故前20项和为定值.所以选项D正确.故选：AD10．（多选）（2022·广东·一模）已知数列满足，，则下列结论中正确的是（

）A．B．为等比数列C．D．【答案】AD【分析】利用递推式可求得的值，可判断A,B;将变为，利用等比数列的求和公式，求得结果，判断C;将变为，利用等比数列的求和公式，求得结果，判断D;【详解】，则，又，同理，故A正确；而，故不是等比数列，B错误；，故C错误；，故D正确，故选：AD11．（2022·湖北·模拟预测）已知数列满足为数列的前项和，则（

）A．是等比数列B．是等比数列C．D．中存在不相等的三项构成等差数列【答案】BC【分析】根据给定条件，求出数列的通项表达式，再逐项分析计算、判断作答.【详解】数列中，，，则，，因此，数列是以为首项，公比为3的等比数列，，数列是以为首项，公比为3的等比数列，，B正确；因，，则数列不是等比数列，A不正确；，C正确；假定中存在不相等的三项构成等差数列，令此三项依次为，且，，则有，而，即，又，因此，不成立，所以中不存在不相等的三项构成等差数列，D不正确.故选：BC12．（多选）（2022·广东·梅州市梅江区梅州中学高三阶段练习）已知等差数列的前项和为，若，，则（

）A．B．数列是公比为28的等比数列C．若，则数列的前2020项和为4040D．若，则数列的前2020项和为【答案】BCD【分析】应用等差数列的前n项和、通项公式求基本量可得，进而判断A，再由及等比数列的定义判断B，应用分组求和、裂项求和判断C、D.【详解】由题设，，则，若等差数列的公差为，故，而，所以，则，，A错误；，易知是公比为28的等比数列，B正确；，则前2020项和为，C正确；，则前n项和为，所以前2020项和为，D正确.故选：BCD13．（2022·辽宁实验中学模拟预测）数列的通项公式为，该数列的前8项和为__________．【答案】【分析】用裂项相消法求和．【详解】因为，所以．故答案为：．14．（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列的前项和为，则___________.【答案】【分析】依题意设公差为，即可得到方程组，求出与，即可求出通项公式与前项和公式，再利用裂项相消法求和即可；【详解】设公差为，因为，所以，解得，所以，所以，所以，所以故答案为：15．（2022·湖南益阳·高三阶段练习）已知数列中，，当时，有，则的值为__________.【答案】【分析】令，进而根据题意得数列为等比数列，公比为，首项为，进而得，再根据错位相减法求解即可.【详解】解：因为当时，有，所以，令，则，所以数列为等比数列，公比为，首项为，所以，所以，所以，所以，即故答案为：16．（2022·全国·高三专题练习）已知数列的前n项和为，且，设函数，则______．【答案】【分析】根据可求，从而可求.易验证，故可采用倒序相加法求题设式子的值．【详解】∵①，∴当时，②，①－②得，∴；当时，，∴，此时仍然成立，∴．∴当n=1时，；当时，，当n=1时，上式也成立，故．由于，设则，∴．故答案为：．17．（2022·江苏·南京市中华中学高三阶段练习）已知数列{}满足=2，.(1)求数列{}的通项公式;(2)求数列{}的前n项和.【解】（1）令，，，所以，所以是公比为2的等比数列，所以，即，符合=2，故.（2），①，②得：所以：18．（2022·湖南·高三开学考试）已知数列中为直角坐标平面上的点.对任意三点共线.(1)求数列的通项公式；(2)求证：.【解】（1）由题意得：，三点共线，则，可得，即.数列是首项为1公差为1的等差数列，所以.（2），所以19．（2022·广东·高三开学考试）已知数列满足，，.(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前项的和.【解】（1）当为奇数时，，所以所有奇数项构成以为首项，公差为－1的等差数列，所以，当为偶数时，，所以所有偶数项构成以为首项，公比为3的等比数列，所以，所以；（2.【素养提升】1．（2022·全国·高三专题练习）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号．用他的名字定义的函数称为高斯函数，其中表示不超过x的最大整数．已知数列满足，，，若，为数列的前n项和，则（

）A．249 B．499 C．749 D．999【答案】A【分析】利用已知关系式构造两个新数列，求出，利用放缩技巧，可得到数列的通项公式，再利用裂项相消法求数列前项和后，带入函数解析式即可得到答案.【详解】由，得，又，所以数列是以3为首项，4为公比的等比数列，则①；由得，，又，所以数列是常数列，则②，由①②联立可得；因为，所以即：

所以，故，所以，则．故选：A2．（2022·浙江·高三专题练习）已知数列的前n项和为，，且，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】计算出，由已知得，即，所以，由累乘法可得再利用裂项相消求和可得答案.【详解】由，，得，所以，，所以，即，所以，所以，所以，，故，，所以.故选：A.3．（2021·浙江·模拟预测）已知数列{an}的首项a1＝3，前n项和为Sn，an+1＝2Sn+3，n∈N*，设bn＝log3an，数列的前n项和Tn的范围（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由数列的递推式和等比数列的定义、通项公式可得，求得，再由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式可得，判断为递增数列，可得所求范围．【详解】解：首项，前项和为，，可得，时，，又，两式相减可得，则，可得，上式对也成立，则，，，，则前项和，，相减可得，化简可得，由，可得为递增数列，可得，而，可得，综上可得，故选：C．4．（2022·浙江省嘉善中学高三阶段练习）已知数列满足，，为数列的前n项和，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先判断出，通过放缩得到，再通过分析法证得，结合裂项相消即可证得，又由证得即可.【详解】当，时，因为，所以，又因为，且，下证，即证，即证，即证，即证，即证令，即证，当，时，不等式恒成立.因此，，所以，又因为，故选：D.5．（多选）（2022·广东·深圳市第七高级中学高三阶段练习）已知数列中，，且，设，则下列结论正确的是（

）A．B．数列单调递增C．D．若为偶数，则正整数n的最小值为8【答案】AC【分析】利用求得是公比为3的等比数列，利用求得的值，判断出选项A，求出即可判断B；利用分组求和证得C正确；利用二项式定理证得D错误.【详解】解：∴∴则是公比为3的等比数列.∴或，又，所以，A正确；，可能小于，故B错误；又，故C正确；，不符故当时，为奇数，故D错误.故选:AC.6．（2022·江苏苏州·模拟预测）数列满足，，则前40项和为________．【答案】【分析】根据题设中的递推关系可得、，利用分组求和可求前40项和，【详解】当时，，故，当时，，所以，所以，当时，；当时，；当时，；当时，；故，故前40项和为，故答案为：7．（2022·湖北·宜城市第二高级中学高三开学考试）已知数列满足，（其中）(1)判断并证明数列的单调性；(2)记数列的前n项和为，证明：．【解】（1）单调递减，理由如下：．∵，∴，∴数列单调递减；（2）∵，，，∴，又，则.∵，，∴，则，当，累加可得，则，则，则，∴，则．试卷第=page4040页，共=sectionpages88页试卷第=page11页，共=sectionpages33页第38讲数列的综合应用学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________【基础巩固】1．（2022·辽宁·沈阳二中模拟预测）我们知道，偿还银行贷款时，“等额本金还款法”是一种很常见的还款方式，其本质是将本金平均分配到每一期进行偿还，每一期的还款金额由两部分组成，一部分为每期本金，即贷款本金除以还款期数，另一部分是利息，即贷款本金与已还本金总额的差乘以利率．自主创业的大学生张华向银行贷款的本金为48万元，张华跟银行约定，按照等额本金还款法，每个月还一次款，20年还清，贷款月利率为，设张华第个月的还款金额为元，则（

）A．2192 B． C． D．2．（2022·山东泰安·一模）已知数列是首项为，公差为1的等差数列，数列满足．若对任意的，都有成立，则实数的取值范围是（

）A．， B． C．， D．3．（2022·全国·高三专题练习）已知数列的前项和为，且，，若，则称项为“和谐项"，则数列的所有“和谐项”的平方和为（

）A． B． C． D．4．（2022·北京朝阳·一模）已知数列，若存在一个正整数使得对任意，都有，则称为数列的周期.若四个数列分别满足：①，；②，；③，，；④，.则上述数列中，8为其周期的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．45．（2022·全国·高三专题练习）朱世杰是元代著名数学家，他所著的《算学启蒙》是一部在中国乃至世界最早的科学普及著作.《算学启蒙》中涉及一些“堆垛”问题，主要利用“堆垛”研究数列以及数列的求和问题.现有132根相同的圆形铅笔，小明模仿“堆垛”问题，将它们全部堆放成纵断面为等腰梯形的“垛”，要求层数不小于2，且从最下面一层开始，每一层比上一层多1根，则该“等腰梯形垛”应堆放的层数可以是（

）A．5 B．6 C．7 D．86．（2022·江苏·盐城中学高三开学考试）已知数列的前项和为，且().记，为数列的前项和，则使成立的最小正整数为（

）A．5 B．6 C．7 D．87．（2022·山东·聊城二中高三开学考试）在正整数数列中，由1开始依次按如下规则取该数列的项：第一次取1；第二次取2个连续的偶数2，4；第三次取3个连续奇数5，7，9；第四次取4个连续的偶数10，12，14，16；第五次取5个连续的奇数17，19，21，23，25；按此规律取下去，得到一个数列1，2，4，5，7，9，10，12，14，16，17，19…，则这个数列中第2022个数是（

）A．3974 B．3976 C．3978 D．39808．（2022·江苏·高三专题练习）若数列的前项和为，，则称数列是数列的“均值数列”.已知数列是数列的“均值数列”且通项公式为，设数列的前项和为，若对一切恒成立，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．9．（多选）（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知正项数列满足，，则下列说法正确的是（

）A．是等比数列 B．对任意的，C．对任意都成立 D．10．（多选）（2022·江苏·苏州市第六中学校三模）在数列中，若（为非零常数），则称为“等方差数列”，称为“公方差”，下列对“等方差数列”的判断正确的是（

）A．是等方差数列B．若正项等方差数列的首项，且是等比数列，则C．等比数列不可能为等方差数列D．存在数列既是等方差数列，又是等差数列11．（2022·浙江·高三专题练习）已知桶中盛有2升水，桶中盛有1升水．现将桶中的水的和桶中的水的倒入桶中，再将桶与桶中剩余的水倒入桶中；然后将桶中的水的和桶中的水的倒入桶中，再将桶与桶中剩余的水倒入桶中；若如此继续操作下去，则桶中的水比桶中的水多_______升．12．（2022·江苏·金陵中学高三阶段练习）数列通项公式.若等差数列满足：，都有，则数列的通项公式___________.13．（2022·湖南·雅礼中学高三阶段练习）数列满足：，，，.若，对，不等式恒成立，则实数的最大值为___________.14．（2022·江苏省响水中学高三阶段练习）已知数列的前项和，对任意，且恒成立，则实数的取值范围是__________.15．（2022·湖南·长郡中学高三阶段练习）已知数列对任意的，都有，且．①当时，_________．②若存在，当且为奇数时，恒为常数P，则P＝_________．16．（2022·江苏省江阴高级中学高三开学考试）已知是公差为1的等差数列，且，，成等比数列．（Ⅰ）求的通项公式；

（Ⅱ）求数列的前n项和．17．（2022·山东日照·高三开学考试）已知数列{an}，{bn}，{cn}中，．（Ⅰ）若数列{bn}为等比数列，且公比，且，求q与{an}的通项公式；（Ⅱ）若数列{bn}为等差数列，且公差，证明：．18．（2022·湖南·长沙一中高三阶段练习）已知数列满足，．(1)证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式；(2)记，，．证明：当时，．【素养提升】1．（2022·全国·高三专题练习）已知成等比数列，且．若，则A． B． C． D．2．（2022·湖北·天门市教育科学研究院模拟预测）已知数列的首项是，前项和为，且，设，若存在常数，使不等式恒成立，则的取值范围为（

）A． B． C． D．3．（2022·浙江·绍兴一中高三期末）已知数列满足（），，则当时，下列判断不一定正确的是（

）A． B．C． D．存在正整数k，当时，恒成立4．（2022·全国·高三专题练习）已知集合，．将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列．记为数列的前n项和，则使得成立的n的最小值为________．5．（2022·福建厦门·模拟预测）已知数列与数列的前n项和分别为，则_________；若对于恒成立，则实数的取值范围是___________．6．（2022·上海·华东师范大学附属东昌中学高三阶段练习）设函数，.（1）若，求实数的取值范围；（2）若为正整数，设的解集为，求及数列的前项和；（3）对于（2）中的数列，设，求数列的前项和的最大值.试卷第=page11页，共=sectionpages33页第38讲数列的综合应用学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________【基础巩固】1．（2022·辽宁·沈阳二中模拟预测）我们知道，偿还银行贷款时，“等额本金还款法”是一种很常见的还款方式，其本质是将本金平均分配到每一期进行偿还，每一期的还款金额由两部分组成，一部分为每期本金，即贷款本金除以还款期数，另一部分是利息，即贷款本金与已还本金总额的差乘以利率．自主创业的大学生张华向银行贷款的本金为48万元，张华跟银行约定，按照等额本金还款法，每个月还一次款，20年还清，贷款月利率为，设张华第个月的还款金额为元，则（

）A．2192 B． C． D．【答案】D【分析】计算出每月应还的本金数，再计算第n个月已还多少本金，由此可计算出个月的还款金额.【详解】由题意可知：每月还本金为2000元，设张华第个月的还款金额为元，则，故选：D2．（2022·山东泰安·一模）已知数列是首项为，公差为1的等差数列，数列满足．若对任意的，都有成立，则实数的取值范围是（

）A．， B． C．， D．【答案】D【分析】由等差数列通项公式得，再结合题意得数列单调递增，且满足，，即，再解不等式即可得答案.【详解】解：根据题意：数列是首项为，公差为1的等差数列，所以，由于数列满足，所以对任意的都成立，故数列单调递增，且满足，，所以，解得．故选：．3．（2022·全国·高三专题练习）已知数列的前项和为，且，，若，则称项为“和谐项"，则数列的所有“和谐项”的平方和为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据，得到，两式相减得到，从而得到数列的通项公式，根据“和谐项"的定义可得，再利用等比数列的前项和可得答案.【详解】①，②，①-②得，即，，，故，，所以数列的所有“和谐项”的平方和为.故选：D.4．（2022·北京朝阳·一模）已知数列，若存在一个正整数使得对任意，都有，则称为数列的周期.若四个数列分别满足：①，；②，；③，，；④，.则上述数列中，8为其周期的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】利用数列的周期的定义逐项分析即得.【详解】①∵，∴数列的周期为，故8也是数列的周期；②由，，可得故数列的周期为；③由，，可得，，故数列的周期为；④由，可得，，故数列的周期为，所以8也是数列的周期.故8为其周期的数列个数为2.故选：B.5．（2022·全国·高三专题练习）朱世杰是元代著名数学家，他所著的《算学启蒙》是一部在中国乃至世界最早的科学普及著作.《算学启蒙》中涉及一些“堆垛”问题，主要利用“堆垛”研究数列以及数列的求和问题.现有132根相同的圆形铅笔，小明模仿“堆垛”问题，将它们全部堆放成纵断面为等腰梯形的“垛”，要求层数不小于2，且从最下面一层开始，每一层比上一层多1根，则该“等腰梯形垛”应堆放的层数可以是（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】D【分析】把各层的铅笔数看出等差数列，利用求和公式得到，由n为264的因数，且为偶数，把四个选项一一代入验证即可.【详解】设最上面一层放根，一共放n（n≥2）层，则最下一层放根，由等差数列前n项和公式得：，∴，∵,∴n为264的因数，且为偶数，把各个选项分别代入，验证，可得：n=8满足题意.故选：D6．（2022·江苏·盐城中学高三开学考试）已知数列的前项和为，且().记，为数列的前项和，则使成立的最小正整数为（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【分析】根据之间的关系证明为等比数列，然后再证明也是等比数列，由此求解出.根据不等式结合指数函数单调性求解出的取值范围，从而确定出的最小整数值.【详解】解析：由，可知，∴，即.时，，∴，∴，∴，∴数列是以1为首项，以为公比的等比数列.∴.又，∴数列是以为首项，以为公比的等比数列.∴.又，∴，即，∴.又，∴的最小值为7.故选：C.7．（2022·山东·聊城二中高三开学考试）在正整数数列中，由1开始依次按如下规则取该数列的项：第一次取1；第二次取2个连续的偶数2，4；第三次取3个连续奇数5，7，9；第四次取4个连续的偶数10，12，14，16；第五次取5个连续的奇数17，19，21，23，25；按此规律取下去，得到一个数列1，2，4，5，7，9，10，12，14，16，17，19…，则这个数列中第2022个数是（

）A．3974 B．3976 C．3978 D．3980【答案】D【分析】由题意可得，找出取数的规律为：奇数次取奇数个奇数，偶数次取偶数个偶数，前次总共取的数各数量可以通过等差数列求和得到，且第次的最后一个数为，据此即可求解.【详解】由题意可得，奇数次取奇数个奇数，偶数次取偶数个偶数，前次共取了个数，且第次的最后一个数为，当时，，故到第63次取时取了63个奇数，且前63次共取了2016个数，即第2016个数为，∴时，依次为3970，3972，3974，3976，3978，3980，...，∴第2022个数为3980.故选：D.8．（2022·江苏·高三专题练习）若数列的前项和为，，则称数列是数列的“均值数列”.已知数列是数列的“均值数列”且通项公式为，设数列的前项和为，若对一切恒成立，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】根据题意，求得，进而求得数列的通项公式为，结合裂项法求得数列的前和，得出不等式，即可求得实数的取值范围.【详解】由题意，数列的前项和为，由“均值数列”的定义可得，所以，当时，；当时，，也满足，所以，所以，所以，又对一切恒成立，所以，整理得，解得或.即实数的取值范围为.故选：D.9．（多选）（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知正项数列满足，，则下列说法正确的是（

）A．是等比数列 B．对任意的，C．对任意都成立 D．【答案】BCD【分析】根据所给数列性质利用判断A，由函数不等式推导出可判断B,利用B中结论递推可判断C，由对数运算及数列求和后放缩可判断D.【详解】由，显然，则不是等比数列，A；由当且仅当时等号成立，由为正项数列，得，故，故B正确；由B知，故C正确；则，故D正确.故选：BCD10．（多选）（2022·江苏·苏州市第六中学校三模）在数列中，若（为非零常数），则称为“等方差数列”，称为“公方差”，下列对“等方差数列”的判断正确的是（

）A．是等方差数列B．若正项等方差数列的首项，且是等比数列，则C．等比数列不可能为等方差数列D．存在数列既是等方差数列，又是等差数列【答案】BC【分析】根据等方差数列定义判断A，由等方差数列定义及等比数列求判断B，根据等方差数列定义及等比数列的通项公式判断C，由等差数列及等方差数列定义，利用反证法判断D.【详解】设，则，不满足为非零常数，所以不是等方差数列，故A错误；由题意，则，即，解得或（舍去），当时，满足题意，故B正确；设数列为等比数列，不妨设，则，所以，若为常数，则，但此时，不满足题意，故C正确；若数列既是等方差数列，又是等差数列，不妨设，（为非零常数），，所以，即，所以，即，所以为常数列，这与，矛盾，故D错误.故选：BC11．（2022·浙江·高三专题练习）已知桶中盛有2升水，桶中盛有1升水．现将桶中的水的和桶中的水的倒入桶中，再将桶与桶中剩余的水倒入桶中；然后将桶中的水的和桶中的水的倒入桶中，再将桶与桶中剩余的水倒入桶中；若如此继续操作下去，则桶中的水比桶中的水多_______升．【答案】．【分析】根据题意，得到，之间的关系，然后用数列知识求解．【详解】根据题意可得，，，，即数列是以为首项，为公比的等比数列，，，．故答案为：12．（2022·江苏·金陵中学高三阶段练习）数列通项公式.若等差数列满足：，都有，则数列的通项公式___________.【答案】【分析】根据题意求出，进而求出；当时设，根据列出关于的不等式，进而得出，利用不等式的性质求得，结合等差数列的通项公式即可得出结果.【详解】当时，，当时，，由，当时，，又，所以，故；当时，，即，整理，得，又为等差数列，设，即，整理，得，对恒成立由，知，则，所以，即是以2为公差，以1为首项的等差数列，故.故答案为：.13．（2022·湖南·雅礼中学高三阶段练习）数列满足：，，，.若，对，不等式恒成立，则实数的最大值为___________.【答案】【分析】应用构造法求的通项公式，即得通项公式，进而讨论、研究题设不等式恒成立，在时构造并研究单调性，即可求的最大值.【详解】由，可得，∴数列是首项，公差的等差数列，则，∴，由已知有：，当时，显然符合题意，当时，由已知得：.设，则，∴数列递增，则的最小值为，故只需.故答案为：.14．（2022·江苏省响水中学高三阶段练习）已知数列的前项和，对任意，且恒成立，则实数的取值范围是__________.【答案】【详解】试题分析：由，得；当时，，若为偶数，则，∴（为正奇数）；若为奇数，则，∴（为正偶数）．函数（为正奇数）为减函数，最大值为，函数（为正偶数）为增函数，最小值为．若恒成立，则，即．故答案为．15．（2022·湖南·长郡中学高三阶段练习）已知数列对任意的，都有，且．①当时，_________．②若存在，当且为奇数时，恒为常数P，则P＝_________．【答案】

2

1【分析】根据通项公式确定的周期性即可求，由题设可得，讨论的奇偶性确定后续数列出现奇数项与相等，列方程求P的值.【详解】由题设通项公式，可得，故从第二项开始形成周期为3的数列，而，故．当时，为奇数时为偶数，故；若为奇数，由，故，不满足；若为偶数，则直到为奇教，有，故，当时满足条件，此时，即，故答案为：2，116．（2022·江苏省江阴高级中学高三开学考试）已知是公差为1的等差数列，且，，成等比数列．（Ⅰ）求的通项公式；

（Ⅱ）求数列的前n项和．【解】（1）由题意得，，故，所以的通项公式为．（2）设数列的前项和为，则，，两式相减得，

所以．17．（2022·山东日照·高三开学考试）已知数列{an}，{bn}，{cn}中，．（Ⅰ）若数列{bn}为等比数列，且公比，且，求q与{an}的通项公式；（Ⅱ）若数列{bn}为等差数列，且公差，证明：．【解】（I）依题意，而，即，由于，所以解得，所以.所以，故，所以数列是首项为，公比为的等