2018年中考数学试题分类汇编解析(36)相似三角形

2018中考数学试题分类汇编：考点36相似三角形一．选择题（共28小题）1．（2018•重庆）制作一块3m×2m长方形广告牌的成本是120元，在每平方3后长方形广告牌的成本是（）A．360元．720元．1080元D．2160元【分析】出扩大后长方形广告牌的面积，计算即可．【解答】解：3m×2m=6m，2∴长方形广告牌的成本是120÷6=20元/m，2将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，则面积扩大为原来的9倍，∴扩大后长方形广告牌的面积=9×6=54m，2∴扩大后长方形广告牌的成本是54×20=1080m，2故选：．2．（2018•玉林）两三角形的相似比是2：，则其面积之比是（A．：．2：3．4：9D．8：27）【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可．【解答】解：∵两三角形的相似比是2：3，∴其面积之比是4：，故选：．32018•重庆）要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为5cm6cm和9cm，另一个三角形的最短边长为2.5cm，则它的最长边为（）A．3cm．4cmC．4.5cmD．5cm【分析】根据相似三角形的对应边成比例求解可得．【解答】解：设另一个三角形的最长边长为xcm，根据题意，得：=，解得：x=4.5，即另一个三角形的最长边长为4.5cm，故选：．4．（2018•ABC与△ABC相似，且相似比为13ABC与△111ABC的面积比为（）111A．1：1．1：3．1：6D．1：9【分析】利用相似三角形面积之比等于相似比的平方，求出即可．【解答】解：已知△ABC与△ABC相似，且相似比为1：3，111则△ABC与△ABC的面积比为1：9，111故选：D．5．（2018•铜仁市）已知△∽△DEF，相似比为2，且△ABC的面积为16，则△DEF的面积为（）A．32．8．4D．16【分析】由△∽△DEF，相似比为2的平方，即可得△ABC与△DEF的面积比为ABC的面积为16，即可求得△DEF的面积．【解答】解：∵△ABC∽△DEF，相似比为，∴△ABC与△DEF的面积比为4，∵△ABC的面积为16，∴△DEF的面积为：×=4．故选：．6．（2017•重庆）已知△∽△DEF，且相似比为1：2，则△ABC与△DEF的面积比为（）A．1：4．4：1．1：2D．2：1【分析】利用相似三角形面积之比等于相似比的平方计算即可．【解答】解：∵△ABC∽△DEF，且相似比为1：2，∴△ABC与△DEF的面积比为1：4，故选：A．7．（2018•临安区）如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（）A．．．D．【分析】根据正方形的性质求出∠，根据相似三角形的判定定理判断即可．【解答】解：由正方形的性质可知，∠ACB=180°﹣45°=135°，A、、D图形中的钝角都不等于135°，由勾股定理得，BC=，，对应的图形B中的边长分别为1和，∵=，∴图B中的三角形（阴影部分）与△ABC相似，故选：．8．（2018•ABC中，点D、E分别为边AB、AC的中点，则△ADE与△ABC的面积之比为（A．．．）D．由点DE分别为边ABAC的中点，可得出DE为△ABC的中位线，进而可得出DE∥BC及△ADE∽△ADE与△ABC的面积之比．【解答】解：∵点D、E分别为边AB、AC的中点，∴DE为△ABC的中位线，∴DE∥，∴△ADE∽△，∴=（）=．故选：．9．（2018自贡）如图，在△ABC中，点DE分别是ACADE的面积为4，则△ABC的面积为（）A．8．12．14D．16【分析】直接利用三角形中位线定理得出DE∥DE=，再利用相似三角形的判定与性质得出答案．【解答】解：∵在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，∴DE∥，DE=，∴△ADE∽△，∵=，∴=，∵△ADE的面积为4，∴△ABC的面积为：16，故选：D．10．（2018•崇明县一模）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC=3：1，连接AE交BD于点F，则△DEFBAF的面积之比为（）A．3：4．9：16．9：1D．3：1【分析】可证明△DFE∽△BFA，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可得出答案．【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴DC∥AB，∴△DFE∽△BFA，∵DE：EC=3：1，∴DE：DC=34，∴DE：AB=3：4，∴S：S=9：16．△DFEBFA△故选：．112018•BC的直线DE把△ABC分成面积相等的两部分，则的值为（）A．1．．1D．【分析】由DE∥BC可得出△ADE∽△，利用相似三角形的性质结合S△ADE=SBCED，可得出=，结合BD=AB﹣AD即可求出的值，此题得解．四边形【解答】解：∵DE∥，∴∠ADE=∠，∠AED=∠，∴△ADE∽△，∴（）=．2∵S△ADE=S，BCED四边形∴=，∴===﹣1．故选：．122018ABC中，点D在BC边上，连接AD，点G在线段AD上，GE∥BD，且交AB于点EGF∥AC，且交CD于点F，则下列结论一定正确的是（）A．=．=．=D．=由GE∥BDGF∥AC可得出△AEG∽△ABD、△DFG∽△，根据相似三角形的性质即可找出==，此题得解．【解答】解：∵GE∥BD，GF∥AC，∴△AEG∽△ABD，△∽△DCA，∴=，=，∴==．故选：D．132018遵义）如图，四边形ABCD中，AD∥，∠ABC=90°AB=5BC=10，连接AC、BD，以BD为直径的圆交AC于点E．若DE=3，则AD的长为（）A．5．4．3D．2【分析】先求出AC，进而判断出△ADF∽△，即可设DF=x，AD=，利用勾股定理求出BDDEF∽△DBA【解答】解：如图，在Rt△ABC中，AB=5，BC=10，∴AC=5过点D作DF⊥AC于，∴∠AFD=∠，∵AD∥，∴∠DAF=∠，∴△ADF∽△，∴∴，，设DF=x，则AD=，在Rt△ABD中，BD==，∵∠DEF=∠DBADFE=∠DAB=90°，∴△DEF∽△DBA，∴，∴，∴x=2，∴AD=x=2，故选：D．142018•扬州）如图，点A在线段BD上，在BD的同侧作等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE，CD与、AE分别交于点P，．对于下列结论：①△BAE∽△CAD；②MP•MD=MA•ME；③2CB=CP•CM．其中正确的是（）2A．①②③．①．①②D．②③【分析】（1）由等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE三边份数关系可证；（2）通过等积式倒推可知，证明△PAMEMD即可；（3）2CB转化为，证明△ACP∽△MCA，问题可证．2【解答】解：由已知：AC=，AD=AE∴∵∠BAC=∠EAD∴∠BAE=∠CAD∴△BAE∽△CAD所以①正确∵△BAE∽△CAD∴∠BEA=∠CDA∵∠PME=∠AMD∴△PME∽△AMD∴∴MP•MD=MA•ME所以②正确∵∠BEA=∠CDA∠PME=∠AMD∴P、E、D、A四点共圆∴∠APD=∠EAD=90°∵∠CAE=180°﹣∠﹣∠EAD=90°∴△CAP∽△CMA∴AC=CP•CM2∵AC=AB∴2CB=CP•CM2所以③正确故选：A．15．（2018•ABCEF∥AB=3AE，若SBCFE=16，则S四边形△ABC=（）A．16．18．20D．24【分析】由EF∥，可证明△AEF∽△，利用相似三角形的性质即可求出则的值．S△ABC【解答】解：∵EF∥BC，∴△AEF∽△，∵AB=3AE，∴AE：AB=1：3，∴S：SABC=19，AEF△设S=x，△AEF∵SBCFE=16，=，四边形∴解得：x=2，∴S=18，ABC△故选：．16．（2018孝感）如图，△ABC是等边三角形，△ABD是等腰直角三角形，∠BAD=90°，AE⊥BD于点E，连CD分别交AE，AB于点F，G，过点A作AH⊥CD交BD于点．则下列结论：①∠ADC=15°AF=AG；③AH=DFAFG∽△；⑤AF=（﹣1）EF．其中正确结论的个数为（）A．5．4．3D．2【分析】①由等边三角形与等腰直角三角形知△CAD是等腰三角形且顶角∠CAD=150°AFP和∠FAGAGF度数，据ADF≌△BAHAFG=∠CBG=60°AGF=∠CGB即可得证；⑤设PF=x，则AF=2x、AP==，设EF=a，由△ADF≌△BAH知BH=AF=2xABE是等腰直角三角形之BE=AE=a+2xEH=a，证△PAF∽△EAH得=，从而得出a与x的关系即可判断．【解答】解：∵△ABC为等边三角形，△ABD为等腰直角三角形，∴∠BAC=60°、∠BAD=90°、AC=AB=AD，∠∠ABD=45°，∴△CAD是等腰三角形，且顶角∠CAD=150°，∴∠ADC=15°，故①正确；∵AE⊥BD，即∠AED=90°，∴∠DAE=45°，∴∠AFG=∠ADC+∠DAE=60°，∠FAG=45°，∴∠AGF=75°，由∠AFG≠∠AGF知AF≠AG，故②错误；记AH与CD的交点为P，由AH⊥CD且∠AFG=60°知∠FAP=30°，则∠BAH=∠ADC=15°，在△ADF和△BAH中，∵，∴△ADF≌△（ASA），∴DF=AH，故③正确；∵∠AFG=∠CBG=60°，∠AGF=∠，∴△AFG∽△，故④正确；在Rt△APF中，设PF=x，则AF=2x、AP==，设EF=a，∵△ADF≌△，∴BH=AF=2x，△ABE中，∵∠AEB=90°、∠ABE=45°，∴BE=AE=AF+EF=a+2x，∴EH=BE﹣BH=a+2x﹣2x=a，∵∠APF=∠AEH=90°FAP=∠HAE，∴△PAF∽△EAH，∴=，即=，整理，得：2x=（﹣）ax，由≠0得2x=（﹣1），即AF=（﹣1）EF，故⑤正确；故选：．17．（2018泸州）如图，正方形ABCD中，E，F分别在边AD，CD上，AF，BE相交于点G，若AE=3ED，DF=CF，则的值是（）A．．．D．【分析】如图作，FN∥AD，交AB于N，交BE于M．设DE=a，则AE=3a，利用平行线分线段成比例定理解决问题即可；【解答】解：如图作，FN∥AD，交AB于N，交BE于M．∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，∵FN∥，∴四边形ANFD是平行四边形，∵∠D=90°，∴四边形ANFD是解析式，∵AE=3DE，设DE=a，则AE=3a，AD=AB=CD=FN=4a，AN=DF=2a，∵AN=BN，MN∥AE，∴BM=ME，∴MN=a，∴FM=a，∵AE∥FM，∴==故选：．=，182018•ABCDE∥DE分别与AC相交于点D，E，若AD=4，DB=2，则DE：BC的值为（）A．．．D．【分析】角形相似，再根据相似三角形的对应边成比例解则可．【解答】解：∵DE∥，∴△ADE∽△，∴===．故选：A．19．（2018•恩施州）如图所示，在正方形ABCD中，G为CD边中点，连接AG并延长交BC边的延长线于E点，对角线BD交AG于F点．已知FG=2，则线段AE的长度为（）A．6．8．10D．12【分析】根据正方形的性质可得出AB∥CDABF∽△GDF，根据相似三角形的性质可得出==2FG=2可求出AFAGCG∥AB、AB=2CG可得出CG为△EAB的中位线，再利用三角形中位线的性质可求出AE的长度，此题得解．【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，∴AB=CD，AB∥CD，∴∠ABF=∠GDF，∠BAF=∠DGF，∴△ABF∽△GDF，∴==2，∴AF=2GF=4，∴AG=6．∵∥AB，AB=2CG，∴CG为△EAB的中位线，∴AE=2AG=12．故选：D．20．（2018杭州）如图，在△ABC中，点D在ABDE∥，与边AC交于点E，连结BE．记△ADE，△BCE的面积分别为S，S（）12A．若2AD＞AB，则3S＞2S2．若2AD＞AB，则3S＜2S211．若2AD＜AB，则3S＞2S2D．若2AD＜AB，则3S＜2S211【分析】根据题意判定△ADE∽△ABC，由相似三角形的面积之比等于相似比的平方解答．【解答】解：∵如图，在△ABC中，DE∥，∴△ADE∽△，∴=（），2∴若2AD＞AB，即＞时，此时3S＞S+S，而S+S＞，＜2S．但是不能确定3S与2S的大小，12△BDE2△BDE212故选项A不符合题意，选项B不符合题意．若2AD＜AB，即＜时，＜，此时3S＜S+S＜2S，12△BDE2故选项C不符合题意，选项D符合题意．故选：D．21．（2018•永州）如图，在△ABC中，点D是边AB上的一点，∠ADC=∠，AD=2，BD=6，则边AC的长为（）A．2．4．6D．8【分析】只要证明△∽△，可得=，即AC=AD•AB，由此即可解决2问题；【解答】解：∵∠A=∠A，∠ADC=∠，∴△ADC∽△，∴=，∴AC=AD•AB=28=16，∵AC＞0，∴AC=4，故选：．22．（2018•香坊区）如图，点DEF分别是△ABC的边ABACBC上的点，若DE∥，EF∥AB，则下列比例式一定成立的是（）A．=．=．=D．=【分析】用平行线分线段成比例定理和相似三角形的判定即可得出结论．【解答】解：∵DE∥，∴，∵DE∥，∴△ADE∽△，∴，∵EF∥AB，∴，∵EF∥AB，∴△CEF∽△，∴，∵DE∥，EF∥AB，∴四边形BDEF是平行四边形，∴DE=BF，EF=BD，∴∴，，，，正确，故选：．23．（2018•荆门）如图，四边形ABCD为平行四边形，E、F为CD边的两个三等分点，连接AF、BE交于点G，则S：SABG=（）EFG△A．1：3．3：1．1：9D．9：1【分析】利用相似三角形的性质面积比等于相似比的平方即可解决问题；【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD=AB，CD∥AB，∵DE=EF=FC，∴EF：AB=1：3，∴△EFG∽△BAG，∴=（）=，2故选：．242018•EF是平行四边形ABCD对角线AC上两点，AE=CF=AC接DEDFBC于点H接）A．【分析】首先证明AG：：BC=1：3，推出∥AC，推出△BGH∽△，可得=（）=（）=，=，由此即可解决问题．．．D．1=22【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形∴AD=BC，DC=AB，∵AC=CA，∴△ADC≌△，∴S△ADC=SABC，∵AE=CF=AC，AG∥CD，∥AD，∴AG：DC=AE：CE=13，：AD=CF：AF=1：3，∴AG：AB=CH：BC=1：3，∴∥AC，∴△∽△，∴∵∴==（）=（）=，22=，=×=，故选：．25．（2018南充）如图，正方形ABCD的边长为2，P为CD的中点，连结AP，过点B作BE⊥AP于点E，延长CE交AD于点F，过点C作⊥BE于点G，交AB于点，连接HF．下列结论正确的是（）A．CE=．EF=．cos∠CEP=D．=EFCF【分析】首先证明，推出EG=BG，推出，再证明△CEH≌△，Rt△HFE≌Rt△HFA，利用全等三角形的性质即可一一判断．【解答】解：连接EH．∵四边形ABCD是正方形，∴CD=AB═BC=AD=2，CD∥AB，∵BE⊥AP，⊥BE，∴∥PA，∴四边形CPAH是平行四边形，∴CP=AH，∵CP=PD=1，∴AH=PC=1，∴AH=BH，在Rt△ABE中，∵AH=HB，∴EH=HB，∵⊥BE，∴BG=EG，∴CB=CE=2，故选项A错误，∵，CB=CE，HB=HE，∴△≌△，∴∠∠CEH=90°，∵HF=HF，HE=HA，∴Rt△HFE≌Rt△HFA，∴AF=EF，设EF=AF=x，在Rt△CDF中，有2（2﹣）=（2+），222∴x=，∴EF=，故B错误，∵PA∥，∴∠CEP=∠ECH=∠BCH，∴cos∠CEP=cos∠BCH==∵HF=，EF=，FC=，故C错误．∴HF=EF•FC，故D正确，2故选：D．262018•BEBE高1.2m，测得AB=1.6m．BC=12.4m．则建筑物CD的高是（）A．9.3m．10.5m．12.4mD．14m【分析】先证明∴△ABE∽△ACD，则利用相似三角形的性质得=，然后利用比例性质求出CD即可．【解答】解：∵EB∥CD，∴△ABE∽△ACD，∴=，即=，∴CD=10.5（米）．故选：．27．（2018•长春）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意即：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸（提示：1丈=10尺，1=10寸），则竹竿的长为（）A．五丈．四丈五尺．一丈D．五尺【分析】根据同一时刻物高与影长成正比可得出结论．【解答】解：设竹竿的长度为x尺，∵竹竿的影长=一丈五尺=15尺，标杆长==1.5尺，影长五寸=0.5尺，∴，解得x=45（尺）．故选：．28．（2018•绍兴）学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置BD绕O点旋转到ACAB⊥BDCD⊥DAO=4mAB=1.6mCO=1m，则栏杆C端应下降的垂直距离CD为（）A．0.2m．0.3m．0.4mD．0.5m【分析】由∠ABO=∠CDO=90°AOB=∠COD知△∽△CDO=，将已知数据代入即可得．【解答】解：∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠ABO=∠CDO=90°，又∵∠AOB=∠COD，∴△∽△CDO，则=，∵AO=4m，AB=1.6mCO=1m，∴=，解得：CD=0.4，故选：．二．填空题（共7小题）29．（2018•邵阳）如图所示，点E是平行四边形ABCD的边BC延长线上一点，连接AE，交CD于点，连接．写出图中任意一对相似三角形：△ADF∽△ECF．【分析】利用平行四边形的性质得到AD∥CE，则根据相似三角形的判定方法可判断△ADF∽△ECF．【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥CE，∴△ADF∽△ECF．故答案为△ADF∽△ECF．30．（2018•北京）如图，在矩形ABCD中，E是边AB的中点，连接DE交对角线AC于点F，若AB=4，AD=3，则CF的长为．【分析】根据矩形的性质可得出AB∥CDFAE=∠AFE=∠CFD（对顶角相等）可得出△AFE∽△CFD，利用相似三角形的性质可得出==2，利用勾股定理可求出AC的长度，再结合CF=CF的长．•AC，即可求出【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，∴AB=CD，AD=BC，∥CD，∴∠FAE=∠FCD，又∵∠AFE=∠CFD，∴△AFE∽△CFD，∴==2．∵AC=∴CF==5，•AC=×5=．故答案为：．312018•包头）如图，在ABCDACEF∥，且EF与AB相交于点E，与AC相交于点F3AE=2EB，连接DF．若S=1，则S△的值为AEF△ADF．【分析】由3AE=2EB可设AE=2a、BE=3a，根据EF∥BC得=（）=，2结合S=1知S△ADC△ABC===知=S△ADF=SAEF△可得答案．△ADC【解答】解：∵3AE=2EB，∴可设AE=2a、BE=3a，∵EF∥，∴△AEF∽△，∴=（）=（）=，22∵S，△AEF∴S△ABC=，∵四边形ABCD是平行四边形，∴S△ADC=SABC=，∵EF∥，∴===，∴==，∴S△ADF=S△ADC=×=，故答案为：．322018ABC的面积为12，点E分别是边ABAC的中点，则四边形BCED的面积为9．【分析】设四边形BCED的面积为S△ADE=12﹣DE∥BC且DE=，从而得=（），据此建立关于x的方程，解之可得．2【解答】解：设四边形BCED的面积为，则S△ADE=12﹣，∵点D、E分别是边AB、AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥，且DE=，∴△ADE∽△，则=（），即=，解得：x=9，即四边形BCED的面积为9，故答案为：9．33．（2018•泰安）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，在“勾股”章中有这样一个问题：“今有邑方二百步，各中开门，出东门十五步有木，问：出南门几步面见木？”用今天的话说，大意是：如图，DEFG是一座边长为200步（“步”是古代的长度单位）的正方形小城，东门H位于GD的中点，南门K位于ED的中点，出东门15步的A处有一树木，求出南门多少步恰好看到位于A处的树木（即点D在直线AC上）？请你计算KC的长为步．【分析】证明△CDK∽△DAH，利用相似三角形的性质得=，然后利用比例性质可求出CK的长．【解答】解：DH=100，DK=100，AH=15，∵AH∥DK，∴∠CDK=∠A，而∠CKD=∠AHD，∴△CDK∽△DAH，∴=，即∴CK==，．答：KC的长为步．故答案为．34．（2018•岳阳）《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有”“今有直角三角形，勾（短直角边）长为5步，股（长直角边）长为12步，问该直角三角形能容纳的正方形边长最大是多少步？”该问题的答案是步．【分析】如图1，根据正方形的性质得：DE∥，则△ADE∽△ACB，列比例式可得结论；如图2，同理可得正方形的边长，比较可得最大值．【解答】解：如图1，∵四边形CDEF是正方形，∴CD=ED，∥CF，设ED=x，则CD=x，AD=12﹣，∵DE∥CF，∴∠ADE=∠，∠∠，∴△ADE∽△，∴，∴，x=，如图2，四边形DGFE是正方形，过C作CP⊥AB于P，交DG于，设ED=x，S△ABC=AC•BC=AB•CP，12×5=13CP，CP=，同理得：△CDG∽△，∴∴x=，，，∴该直角三角形能容纳的正方形边长最大是（步），故答案为：．352018•AE与BC相交于点DB=∠C=90°，测得BD=120mDC=60m，EC=50m，求得河宽AB=100m．【分析】由两角对应相等可得△BAD∽△，利用对应边成比例可得两岸间的大致距离AB．【解答】解：∵∠ADB=∠EDC，∠ABC=∠ECD=90°，∴△ABD∽△ECD，∴，，解得：AB=（米）．故答案为：100．三．解答题（共15小题）36．（2018•张家界）如图，点P是⊙O的直径AB延长线上一点，且AB=4，点M为ABPM与⊙O交于点（不与M重合）（1）当M在什么位置时，△MAB的面积最大，并求岀这个最大值；（2）求证：△PANPMB．【分析】（1）当M在弧AB中点时，三角形MAB面积最大，此时OM与AB垂直，求出此时三角形面积最大值即可；（2）由同弧所对的圆周角相等及公共角，利用两对角相等的三角形相似即可得证．【解答】解：（1）当点M在的中点处时，△MAB面积最大，此时OM⊥AB，∵OM=AB=×4=2，∴S=AB•OM=×4×2=4；ABM△（2）∵∠PMB=∠，∠P=∠P，∴△PAN∽△．37．（2018•株洲）如图，在Rt△ABM和Rt△ADN的斜边分别为正方形的边AB和AD，其中AM=AN．（1）求证：Rt△≌Rt△AND；（2）线段MN与线段AD相交于T，若AT=，求tan∠ABM的值．【分析】（1）利用HL证明即可；（2）想办法证明△DNT∽△AMT，可得由AT=，推出，在Rt△ABM中，tan∠ABM=．【解答】解：（1）∵AD=AB，AM=AN，∠AMB=∠AND=90°∴Rt△ABM≌Rt△（）．（2）由Rt△ABM≌△AND易得：∠∠BAM，DN=BM∵∠BAM+∠DAM=90°；∠DAN+∠ADN=90°∴∠DAM=∠AND∴ND∥AM∴△DNT∽△AMT∴∵AT=，∴∵Rt△ABM∴tan∠ABM=．38．（2018•大庆）如图，AB是⊙O的直径，点E为线段OB上一点（不与B重合），作EC⊥，交⊙O于点，作直径CD，过点C的切线交DB的延长线于点P，作AF⊥PC于点F，连接．（1）求证：AC平分∠FAB；（2）求证：=CE•CP；（3）当AB=4且=时，求劣弧的长度．【分析】（1）根据等角的余角相等证明即可；（2）只要证明△CBE∽△CPB，可得=解决问题；（3）作BM⊥PF于．则CE=CM=CF，设CE=CM=CF=3a，PC=4aPM=a，利用相似三角形的性质求出BM，求出tan∠BCM的值即可解决问题；【解答】（1）证明：∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∴∠BCP+∠ACF=90°，∠ACE+∠BCE=90°，∵∠BCP=∠，∴∠ACF=∠ACE，即AC平分∠FAB．（2）证明：∵OC=OB，∴∠∠OBC，∵PF是⊙O的切线，CE⊥AB，∴∠OCP=∠CEB=90°，∴∠PCB+∠OCB=90°，∠+∠OBC=90°，∴∠BCE=∠BCP，∵CD是直径，∴∠CBD=∠CBP=90°，∴△∽△CPB，∴=，∴BC=CE•CP；2（3）解：作BM⊥PF于M．则CE=CM=CF，设CE=CM=CF=3a，PC=4a，PM=a，∵∠MCB+∠P=90°P+∠PBM=90°，∴∠MCB=∠PBM，∵CD是直径，BM⊥PC，∴∠CMB=∠BMP=90°，∴△BMC∽△PMB，∴=，∴BM=CM•PM=3a，22∴BM=a，∴tan∠BCM==，∴∠BCM=30°，∴∠∠OBC=∠BOC=60°，∠BOD=120°∴的长==．39．（2018•江西）如图，在△ABC中，AB=8，BC=4，CA=6，CD∥AB，BD是∠ABC的平分线，BD交AC于点E，求AE的长．根据角平分线定义和平行线的性质求出∠D=∠CBD，求出BC=CD=4，证△AEB∽△CED，得出比例式，求出AE=2CE，即可得出答案．【解答】解：∵BD为∠ABC的平分线，∴∠ABD=∠CBD，∵AB∥CD，∴∠D=∠ABD，∴∠D=∠CBD，∴BC=CD，∵BC=4，∴CD=4，∵AB∥CD，∴△ABE∽△CDE，∴=，∴=，∴AE=2CE，∵AC=6=AE+CE，∴AE=4．40．（2018上海）已知：如图，正方形ABCD中，P是边BC上一点，BE⊥AP，DF⊥AP，垂足分别是点E、F．（1）求证：EF=AE﹣；（2）联结，如课=．求证：EF=EP．【分析】（1）利用正方形的性质得AB=AD，∠BAD=90°，根据等角的余角相等得到∠1=∠3，则可判断△ABE≌△DAF，则BE=AF，然后利用等线段代换可得到结论；（2）利用=和AF=BE得到=，则可判定Rt△BEF∽Rt△DFA，所以∠4=∠3，再证明∠4=∠5，然后根据等腰三角形的性质可判断EF=EP．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD为正方形，∴AB=AD，∠BAD=90°，∵BE⊥AP，DF⊥AP，∴∠BEA=∠AFD=90°，∵∠1+∠2=90°，∠2∠3=90°，∴∠1=∠3，在△ABE和△DAF中，∴△ABE≌△DAF，∴BE=AF，∴EF=AE﹣AF=AE﹣BE；（2）如图，∵=，而AF=BE，∴=，∴=，∴Rt△BEF∽Rt△DFA，∴∠4=∠3，而∠1=∠3，∴∠4=∠1，∵∠5=∠1，∴∠4=∠5，即BE平分∠FBP，而BE⊥EP，∴EF=EP．41．（2018东营）如图，CD是⊙O的切线，点C在直径AB的延长线上．（1）求证：∠CAD=BDC；（2）若BD=AD，AC=3，求CD的长．1）连接OD，由OB=OD可得出∠OBD=∠ODB，根据切线的性质及直径所对的圆周角等于180°，利用等角的余角相等，即可证出∠CAD=∠BDC；（2C=∠CAD=∠CDB可得出△CDB∽△CAD，根据相似三角形的性质结合BD=AD、AC=3，即可求出CD的长．【解答】（1）证明：连接OD，如图所示．∵OB=OD，∴∠OBD=∠ODB．∵CD是⊙O的切线，OD是⊙O的半径，∴∠ODB+∠BDC=90°．∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠OBD+∠CAD=90°，∴∠CAD=∠BDC．（2）解：∵∠C=∠，∠CAD=∠CDB，∴△CDB∽△CAD，∴=．∵BD=AD，∴=，∴=，又∵AC=3，∴CD=2．42．（2018南京）如图，在正方形ABCDE是AB上一点，连接DE．过点A作AF⊥DE，垂足为FO经过点、D、F，与AD相交于点G．（1）求证：△AFG∽△DFC；（2）若正方形ABCD的边长为4，AE=1O的半径．【分析】（1）欲证明△AFG∽△DFC，只要证明∠FAG=∠FDC，∠AGF=∠FCD；（2）首先证明CG是直径，求出CG即可解决问题；【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，∠ADC=90°，∴∠CDF+∠ADF=90°，∵AF⊥DE，∴∠AFD=90°，∴∠DAF+∠ADF=90°，∴∠DAF=∠CDF，∵四边形GFCD是⊙O的内接四边形，∴∠FCD+∠DGF=180°，∵∠FGA+∠DGF=180°，∴∠FGA=∠FCD，∴△AFG∽△DFC．（2）解：如图，连接．∵∠EAD=∠AFD=90°EDA=∠ADF，∴△EDA∽△ADF，∴=，即=，∵△AFG∽△DFC，∴=，∴=，在正方形ABCD中，DA=DC，∴AG=EA=1，DG=DAAG=4﹣1=3，∴CG==5，∵∠CDG=90°，∴CG是⊙O的直径，∴⊙O的半径为．43．（2018•滨州）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，AD⊥CD于点D，且AC平分∠DAB，求证：（1）直线DC是⊙O的切线；（2）AC=2AD•AO．（）连接，由OA=OCAC平分∠DAB知∠OAC=∠OCA=∠DAC，据此知∥AD，根据⊥DC即可得证；（2）连接，证△DAC∽△CAB即可得．【解答】解：（1）如图，连接，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∵AC平分∠DAB，∴∠OAC=∠DAC，∴∠DAC=∠OCA，∴∥AD，又∵AD⊥CD，∴⊥DC，∴DC是⊙O的切线；（2）连接，∵AB为⊙O的直径，∴AB=2AO，∠ACB=90°，∵AD⊥DC，∴∠ADC=∠ACB=90°，又∵∠DAC=∠，∴△DAC∽△，∴=，即AC=AB•AD，2∵AB=2AO，∴AC=2AD•AO．2442018•ABCAB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，过点D作FG⊥AC于点F，交AB的延长线于点G．（1）求证：FG是⊙O的切线；（2）若tanC=2，求的值．【分析】（1）欲证明FG是⊙O的切线，只要证明OD⊥FG；（2）由△GDB∽△，设BG=a．可得===，推出DG=2a，AG=4a，由此即可解决问题；【解答】（1）证明：连接AD、OD．∵AB是直径，∴∠ADB=90°，即AD，∵AC=AB，∴CD=BD，∵OA=OB，∴OD∥AC，∵DF⊥AC，∴OD⊥DF，∴FG是⊙O的切线．（2）解：∵tanC==2BD=CD，∴BD：AD=1：2，∵∠GDB+∠ODB=90°ADO+∠ODB=90°，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，∴∠GDB=∠GAD，∵∠G=∠G，∴△GDB∽△GAD，设BG=a．∴===，∴DG=2a，AG=4a，∴：GA=1：4．45．（2018•杭州）如图，在△ABC中，AB=AC，AD为BC边上的中线，DE⊥AB于点E．（1）求证：△BDE∽△CAD．（2）若AB=13，BC=10，求线段DE的长．【分析】（1）想办法证明∠B=∠，∠DEB=∠ADC=90°即可解决问题；（2）利用面积法：•AD•BD=•AB•DE求解即可；【解答】解：（1）∵AB=AC，BD=CD，∴AD⊥，∠B=∠，∵DE⊥AB，∴∠DEB=∠ADC，∴△BDE∽△CAD．（2）∵AB=AC，BD=CD，∴AD⊥，在Rt△ADB中，AD=∵•AD•BD=•AB•DE，∴DE=．==12，46．（2018•烟台）如图，已知DEABC的边AB，BC上两点，点A，，E在⊙D上，点，D在⊙E上．F为上一点，连接FE并延长交AC的延长线于点N，交AB于点M．（1）若∠EBD为αCAD用含α的代数式表示；（2）若EM=MB，请说明当∠CAD为多少度时，直线EF为⊙D的切线；（3）在（2）的条件下，若AD=，求的值．【分析】（1）根据同圆的半径相等和等边对等角得：∠EDB=∠EBD=α，∠CAD=∠ACD，∠DCE=∠DEC=2α，再根据三角形内角和定理可得结论；（2）设∠MBE=x，同理得：∠EMB=∠MBE=x，根据切线的性质知：∠DEF=90°，所以∠CED+∠MEB=90°，同理根据三角形内角和定理可得∠CAD=45°；（3CAD=45°1MBE=30°CDE是等边三角形，得CD=CE=DE=EF=AD=，求，MF=EF﹣EM=﹣1，根据三角形内角和及等腰三角形的判定得：EN=CE=，代入化简可得结论．【解答】解：（1）连接CD、DE，⊙EED=EB，∴∠EDB=∠EBD=α，∴∠CED=∠EDB+∠EBD=2α，⊙D中，∵DC=DE=AD，∴∠CAD=∠ACD，∠DCE=∠DEC=2α，△ACB中，∠CAD+∠ACD+∠DCE+∠EBD=180°，∴∠CAD==；（2）设∠MBE=x，∵EM=MB，∴∠EMB=∠MBE=x，当EF为⊙D的切线时，∠DEF=90°，∴∠CED+∠MEB=90°，∴∠CED=∠DCE=90°﹣，△ACB中，同理得，∠CAD+∠ACD+∠DCE+∠EBD=180°，∴2∠CAD=180°﹣90=90∴，∴∠CAD=45°；（3）由（2）得：∠CAD=45°；由（1）得：∠CAD=；∴∠MBE=30°，∴∠CED=2∠MBE=60°，∵CD=DE，∴△CDE是等边三角形，∴CD=CE=DE=EF=AD=，Rt△DEM中，∠EDM=30°，DE=，∴EM=1MF=EF﹣EM=﹣1，△ACB中，∠NCB=45°+30°=75°，△CNE中，∠CEN=∠BEF=30°，∴∠CNE=75°，∴∠CNE=∠NCB=75°，∴EN=CE=，∴===2+．472018量时，他们选择了河对岸岸边的一棵大树，将其底部作为点A，在他们所在的岸边选择了点，使得AB与河岸垂直，并在B点竖起标杆，再在AB的延长线上选择点D，竖起标杆DE，使得点E与点C、A共线．已知：⊥ADED⊥，测得BC=1m