任意角和弧度制及任意角的三角函数课件

问题提出1.角是平面几何中的一个基本图形，角是可以度量其大小的.在平面几何中，角的取值范围如何？

2、思考：对于角的图形特点有如下两种认识：①角是由平面内一点引出的两条射线所组成的图形（如图1）；②角是由平面内一条射线绕其端点从一个位置旋转到另一个位置所组成的图形（如图2）.你认为哪种认识更科学、合理？图2图1答：一个是静的，一个是动的。用动的更合理，因为静止是相对的，运动是绝对的。问题提出1.角是平面几何中的一个基本图形，角是可以度量其大小三、1、问有没有361°角？与1°有什么异同？能举出现实生活中的例子来理解吗？即它是有现实根据的，是来源于现实的。2、能不能说361°就是1°即361°=1°？为什么要区分361°、1°？答：361°、1°隐含的过程和意义是不同的，虽然这种过程和意义对事物的效果即结果都是一样也就是都回到原来位置，我们区分361°、1°并不是区分这种意义的效果即结果而是区分这种过程和意义。比如361°是转了一圈又回到1°的位置，我们要把这种区别区分开来，如果不区分那很不容易表达一些现象。这种区分有现实意义。比如：过去我们学习了0°～360°范围的角，但在实际问题中还会遇到其他角．如在体操、花样滑冰、跳台跳水等比赛中，常常听到“转体1080°”、“转体1260°”这样的解说．再如钟表的指针、拧动螺丝的扳手、机器上的轮盘等，它们按照不同方向旋转所成的角，不全是0°～360°范围内的角.因此，仅有0°～360°范围内的角是不够的，我们必须将角的概念进行推广。三、1、问有没有361°角？与1°有什么异同？能举出现实生活思考：在齿轮传动中，被动轮与主动轮是按相反方向旋转的.一般地，一条射线绕其端点旋转，既可以按逆时针方向旋转，也可以按顺时针方向旋转.你认为将一条射线绕其端点按逆时针方向旋转600所形成的角，与按顺时针方向旋转600所形成的角是否相等？

2、旋转有几个方向？既然旋转有方向，那我们可以规定……。你能说出这种规定它的现实来源吗？即为什么要规定正角、负角？即规定正角、负角对现实世界的解释是不是更容易清晰？答：规定：按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角．如果一条射线没有作任何旋转，则称它形成了一个零角。还是体操、钟表、跳台等等的例子。比如如果分负角正角当我们看到-300

就知道是顺时针旋转，300

就是逆时针旋转，如果不分正角、负交当看到300

我们就不知道是逆时针还是顺时针，即对现实世界的解释就不会这么清晰。思考：在齿轮传动中，被动轮与主动轮是按相反方向旋转的.一般地3、这样子角的范围变的多大？称做什么角？任意角的分类与实数的分类有什么关系？答：负无穷到正无穷。任意角。相似。3、这样子角的范围变的多大？称做什么角？任意角的分类与实数的思考6：如果你的手表慢了20分钟，或快了1.25小时，你应该将分钟分别旋转多少度才能将时间校准？

－120°，450°.2、旋转有几个方向？既然旋转有方向，那我们可以规定……。你能说出这种规定它的现实来源吗？即为什么要规定正角、负角？即规定正角、负角对现实世界的解释是不是更容易清晰？答：规定：按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角．如果一条射线没有作任何旋转，则称它形成了一个零角。还是体操、钟表、跳台等等的例子。比如如果分负角正角当我们看到-300

就知道是顺时针旋转，300

就是逆时针旋转，如果不分正角、负交当看到300

我们就不知道是逆时针还是顺时针，即对现实世界的解释就不会这么清晰。思考6：如果你的手表慢了20分钟，或快了1.25小时，你应该1、为了进一步研究角的需要，我们常在直角坐标系内讨论角，你想想角的顶点该在哪里，始边该在哪里？，那么对一个任意角，角的终边可能落在哪些位置？2、如果角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于如何象限，或称这个角为轴线角.那么下列各角：-50°，405°，210°,-200°，－450°分别是第几象限的角？3、锐角与第一象限的角是什么逻辑关系？钝角与第二象限的角是什么逻辑关系？直角与轴线角是什么逻辑关系？4、第二象限的角一定比第一象限的角大吗？答：象限角只能反映角的终边所在象限，不能反映角的大小.1、为了进一步研究角的需要，我们常在直角坐标系内讨论角，你想1、终边相同的角比如与1°角有多少个？他们有规律吗？能用符号把他们表达出来吗？2、1°还可以改为多少度？k•360°几何意义是什么？k•180°,k•90°几何意义是什么？3、能从简单具体例子推广为一般吗？4、写出终边在y轴上角的集合，有规律吗？先看书的解法，繁不繁？难不难？抽象不抽象？它是从代数角度来解的。有直观的几何角度的解法吗？5、用上面直观的几何角度的解法解出终边在坐标轴上角的集合，有规律吗？。写出终边在直线y=x上的角的集合S，有规律吗？并把S中适合不等式-360°到720°的角找出来。6、第一、二、三、四象限的角的集合分别如何表示？7、如果α是第二象限的角，那么2α、α/2分别是第几象限的角？1、终边相同的角比如与1°角有多少个？他们有规律吗？能用符号

3、换个角度看问题：

2010-1-17睡觉的时候想到了把0°到360°推广为任意角的一个形象的比喻，就是0°到360°对于任意角是个受精卵，任意角有这个受精卵发育生成，那到底是如何发育生成，就是逆时针旋转整数圈，顺时针旋转整数圈。所以在解终边在y轴上角的集合时，这样的角有无数个，但有什么角发育生成，如何发育生成。即有90°或270°发育生成，那如何发育生成，就是逆时针旋转整数个半圈，或顺时针旋转整数个半圈。同理，对于写出终边在坐标轴上角的集合，可以有0°或90°或180°或270°这个受精卵发育生成，如何发育生成就是逆时针或顺时针旋转整数个1/4圈。对于终边在直线y=x上角的集合也一样。还有就是没有时间写出终边在第一象限或第二象限或第三象限或第四象限的角的集合。这些集合也可以用上述思路来分析。比如终边在第一象限角的集合有0°到90°这个受精卵发育生成，那如何发育生成？就是旋转整数圈。事物的发生发展可以有一个形象的比喻就是人有受精卵发育生成，如何发育生成学了生物就知道，《道德经》里的一句名言：“道”生一，一生二，二生三，三生万物。受精卵相当于“道”。3、换个角度看问题：二、1、大家知道不知道度量一个物体的长短或路程的远近我们是怎么说的？答：多少米，多少公里。2、大家知道1米是多长？度量长度有几种单位制？相互之间转换知道吗？度量重量有几种单位制？相互之间转换知道吗？答：米、英尺、码。千克、磅。可以百度。以下转换来自百度：米：等于氪-86原子的2p10和5d5之间跃迁所对应的辐射在真空中的1,650,763.73个波长的长度。1英尺(呎)=12英寸(吋)=30.48厘米。关于英尺的来历：正如如同英尺的英文单词意义一样，foot,简称ft，古英国时期因为没有国际公认的度量单位，所以人们往往使用自己的脚来测量实地的面积，久而久之，一种基于成年男子单脚的长度就被公认为英国等国家人可得标准度量衡。德国人出了一招，让最早从教堂出来的16个男子量出左脚的长度加在一起，再除以16，商就是一尺。码：英制长度单位,美制码等于0.9144米,在英国,则1码等于保存在威斯敏斯特商务部标准局的青铜棒两个金塞子上横线标记之间的距离(在62癋时)[yard(缩写yd)]磅：英美制重量单位，1磅等于0.45359237千克。二、1、大家知道不知道度量一个物体的长短或路程的远近我们是怎3、为什么会有多种单位制？单位制的本质是什么？

答：一是各个国家历史原因，二是每个单位制各有千秋。为了度量物体的长短、轻重、大小我们只能先规定一个单位是什么东西，然后让物体跟这个单位比较看看有多少个单位，这就是单位制的本质。4、角的单位制是什么？是如何规定的？这种规定有什么优劣？如果有劣该如何？3、为什么会有多种单位制？单位制的本质是什么复习1、1º的角是怎样规定的？2、什么叫角度制？规定周角的1/360叫做1度的角。用度作单位来度量角的单位制叫做角度制。O•AB1º3、角度制的单位是什么？“度”（即“º”）

不能省略4、弧长公式复习1、1º的角是怎样规定的？2、什么叫角度制？规定周角的1思考

由角度制的定义我们知道,角度是用

来度量角的,它与圆的半径大小无关.但

是角度制的度量是60进制的,运用起来不

太方便,那么,我们由弧长的计算公式是

否也能够找到一个与半径无关的量,从而

用来度量角呢?思考由角度制的定义我们知道,角度是用

来r1rad2rad2r1、1弧度的角—长度为半径的弧所对的圆心角。一、弧度制2弧度：当圆心角为周角时，它所对的弧（即圆周）长，所以周角的弧度数是r1rad2rad2r1、1弧度的角—长度为半径的弧所对的圆例如：sin,sin2。

2、推广：正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0；角α的弧度数的绝对值（其中l是以角α作为圆心角时所对弧的长，r是圆的半径。）3、以弧度作为单位来度量角的单位制，叫做弧度制。用弧度表示角的时候，“弧度”二字或“rad”可以省略。但是要弄清其含义，不能混淆。想一想如果圆心角表示一个负值，且它所对的弧长为，这个圆心角的弧度数是多少？

例如：sin,sin2。(1).弧长公式：

(2).扇形面积公式4、公式类比于三角形面积公式(1).弧长公式：(2).扇形面积公式4、公式类二、角度与弧度的换算：1、把角度换成弧度：[总结]（1）仅出现度的，可以直接乘以，约简即可；出现分秒的应先化为度，然后再换算。（2）用弧度作单位时，常常把弧度数写成多少个的形式，如不作特殊说明不必将写成小数。二、角度与弧度的换算：1、把角度换成弧度：[总结]（1）仅出2、把弧度换成角度：[总结]带者常可用来180º

代换；不带者可用其弧度数乘以57.30º

来求近似值。2、把弧度换成角度：[总结]带者常可用来三、例题：度

0º30º45º60º90º120º135º150º180º270º360º弧度数表2：1.填表：

表1：150º210º15º120º135º-36º-450º-240º度弧度数这些是基础的基础还不算高中基础知识基本技能，知道这些是考不上专科的三、例题：度例4、（1）写出终边在y轴上角的集合（用弧度制表示）（2）设是第三象限的角，试讨论是哪个象限的角注意：（1）用弧度制表示终边相同角的一般式（2）在同一个问题求解过程中，两种单位不能混用例4、（1）写出终边在y轴上角的集合（用弧度制表示）（2）设一、1、我们还记不记得在高中是如何重新学习函数的？同学们,我跟你们讲一件事情。就是著名教育家朱永新的故事。2009年暑假我到海门参加他的新教育实验会，我看了他的报告。朱老师把全国老师看的清清楚楚。朱老师为什么能把全国老师看的清清楚楚，因为他站的角度与他人不一样，站的高度很高很高。比如谁可以把温州人民看的清清楚楚，那这个人可以当温州市市委书记，把浙江人民看的清请楚楚，那这个人可以当浙江省委书记，把全国人民看的清请楚楚，那这个人可以当国家主席。人只有站在较高一个层次才能看清较低层次的事情。把国家看的清请楚楚的人一定可以把浙江人民看的清请楚楚，把浙江人民看的清请楚楚的人，一定可以把温州人民看的清请楚楚。反之不一定。我再举例子，你把高等数学看的清清楚楚，只要你愿意，你就可以把初等数学看的清清楚楚。但你把初等数学看的清清楚楚，高等数学也不一定看的清清楚楚。我在某一程度上可以把小学、初中、数学看的清清楚楚，但对高等数学看不清清楚楚。一、1、我们还记不记得在高中是如何重新学习函数的？

我画一个图形给你们看。在你们面前有个正方形的盒子，没盖，里面有一只哈巴狗。当你的眼睛在盒子的面前，高度是你前面这个面的中位线中点，那你可以把这个盒子的前面看的清清楚楚，但这只哈巴狗你看不见。接下去我们这样，我们改变眼睛的角度与高度，把眼睛上升，上升到眼睛还是在前面这个面的前面，但高度上升到盒子上面那个面的上面，这时，我们依然把前面这个面看的清清楚楚，但发现了许多新东西，比如我们看到了盒子里有只哈巴狗。所以改变角度，上升高度，原来的事情依然可以看的清清楚楚，并且把发现的新东西也可以看的很清楚。我为什么要讲这些东西，因为我们今天学习函数的概念。比如浙江省委书记把温州看的清清楚楚，但同时发现了宁波、杭州的新东西。我画一个图形给你们看。在你们面前有个正方形的aACBbc答案初中时，我们怎样利用直角三角形定义了锐角三角函数的呢？aACBbc答案初中时，我们怎样利用直角三角形定义了锐角三角

yx思考1在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？﹒﹒oabr问题下的再学习换个角度看问题yx思考1在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆，称为单位圆.yox1M高度一样，角度不同，即特殊情况。为什么对以后的后续学习有帮助。即让点P落在特殊的地方，这特殊的地方在哪里？再换个角度看问题以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆，称为单位圆.yox1设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点

规定:（1）叫做的正弦，记作，即；

（2）叫做的余弦，记作，即；（3）叫做的正切，记作，即。

注意：正弦，余弦，正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将他们称为三角函数.﹒推广为任意的象限设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点规定:（1）1、把全国人民看的清清楚楚难不难？我说有没有人把高一（3、4）班同学看的清清楚楚？看清楚了可以当班级的什么干部？2、只有政治家把全国人民看的清清楚楚吗？文学大文豪曹雪芹把封建社会看的清清楚楚，他的《红楼梦》就是3、有的同学可能会问，在每个象限三角函数的定义比如正弦、余弦、正切都是一样，那是不是每个象限三角函数值也一样。我们一个个分析下正弦、余弦、正切。8、在对三角函数定义教学的时候你们可能提出，正弦、余弦、正切为什么要这样定义，那样定义不行吗？回答：可以，数学的本质在於它的自由.－－－康扥尔(Cantor)。但数学上概念的定义不是胡来，而是要能跟现实吻合，能解决现实问题。1、把全国人民看的清清楚楚难不难？我说有没有人把高一（3、4根据三角函数的定义，确定它们的定义域（弧度制）思考3三角函数定义域RR﹒根据三角函数的定义，确定它们的定义域（弧度制）思三角函数定义几个特殊角的三角函数值角α0o30o45o60o90o180o270o360o角α的弧度数sinαcosαtanα这些是基础的基础还不算高中基础知识基本技能，知道这些是考不上专科的几个特殊角的三角函数值角α0o30o45o60o90o180探究22.确定三角函数值在各象限的符号yxoyxoyxo+（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）+--+--++-+-xyo的终边数形结合这些结论都不用死记硬背而是根据定义自然而然的得出。探2.确定三角函数值在各象限的符号yxoyxoyxo+（思考6：如果两个角的终边相同，那么这两个角的同一三角函数值有何关系？

？yox1M思考6：如果两个角的终边相同，那么这两个角的同一三角函数值有思考6：如果两个角的终边相同，那么这两个角的同一三角函数值有何关系？

终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一）（其中）公式作用：可以把求任意角的三角函数值，转化为求角的三角函数值

.

？思考6：如果两个角的终边相同，那么这两个角的同一三角函数值有三角函数线三角函数线1、同学们比较一下，代数与几何哪一种抽象？哪一种直观？直观有什么好处？2、三角函数属于代数，今天我们就把三角函数直观化。如何直观化？我们先学习一个概念：有向线段。3、顾名思义有向线段就是：有方向的线段。1、同学们比较一下，代数与几何哪一种抽象？哪一种直观？直观有

①有向线段的概念:

坐标轴是规定了方向的直线，线段也可以规定方向，如x轴上线段AB，可以规定从A到B，也可规定从B到A这样两种相反方向，与y轴平行的线段CD也可以规定两种相反方向:从点C到D或从点D到C。如果线段的方向与坐标轴正向一致，就说它是正的，否则就说它是负的，并表示为AB=3，BA=-3。5、有向线段特点与平时线段的异同，包括内含与记号的异同？符号是形象生动还是会混淆？同学们，这些符号是数学家创造的，数学家个个是天才,1+1=2也是数学家创造的。答：即有方向又有大小，平时线段只有大小。AB=3,BA=-3,|AB|=3①有向线段的概念:

坐标轴是规定了方6、为什么有向线段可以把三角函数直观化？答：方向属于几何，大小属于代数。所以有向线段是代数连接几何的纽带。6、为什么有向线段可以把三角函数直观化？答：方向属于几何，大3.公式，， ().其数学意义如何？终边相同的角的同名三角函数值相等.3.公式，思考1：如图，设角α为第一象限角，其终边与单位圆的交点为P（x，y），则，都是正数，你能分别用一条有向线段表示角α的正弦值和余弦值吗？P（x，y）OxyM思考1：如图，设角α为第一象限角，其终边与单位圆的交点为P（P（x，y）OxyM思考2：若角α为第三象限角，其终边与单位圆的交点为P（x，y），则，都是负数，此时还成立吗？P（x，y）OxyM思考2：若角α为第三象限角，其终边与单位思考4：由上分析可知，当角α为第一、三象限角时，sinα、cosα可分别用有向线段MP、OM表示，即MP=sinα，OM=cosα，那么当角α为第二、四象限角时，你能检验这个表示正确吗？P（x，y）OxyMP（x，y）OxyM思考4：由上分析可知，当角α为第一、三象限角时，sinα、c思考5：设角α的终边与单位圆的交点为P，过点P作x轴的垂线，垂足为M，称有向线段MP，OM分别为角α的正弦线和余弦线.当角α的终边在坐标轴上时，角α的正弦线和余弦线的含义如何？POxyM思考5：设角α的终边与单位圆的交点为P，过点P作x轴的垂线，思考6：设α为锐角，你能根据正弦线和余弦线说明sinα＋cosα>1吗？POxyMMP＋OM>OP=1思考6：设α为锐角，你能根据正弦线和余弦线说明sinα＋co知识探究（二）：正切线

AT思考1：如图，设角α为第一象限角，其终边与单位圆的交点为P（x，y），则 是正数，用哪条有向线段表示角α的正切值最合适？POxyM知识探究（二）：正切线AT思考1：如图，设角α为第一象限角AT思考2：若角α为第四象限角，其终边与单位圆的交点为P（x，y），则是负数，此时用哪条有向线段表示角α的正切值最合适？POxyMAT思考2：若角α为第四象限角，其终边与单位圆的交点为P（xATATPOxyM思考3：若角α为第二象限角，其终边与单位圆的交点为P（x，y），则是负数，此时用哪条有向线段表示角α的正切值最合适？第二象限AT是正的，但正切是负的ATATPOxyM思考3：若角α为第二象限角，其终边与单位圆思考4：若角α为第三象限角，其终边与单位圆的交点为P（x，y），则是正数，此时用哪条有向线段表示角α的正切值最合适？POxyMATAT第三象限AT是负的，但正切是正的思考4：若角α为第三象限角，其终边与单位圆的交点为P（x，y思考5：根据上述分析，你能描述正切线的几何特征吗？过点A（1，0）作单位圆的切线，与角α的终边或其反向延长线相交于点T，则AT=tanα.ATOxyPATOxyP思考5：根据上述分析，你能描述正切线的几何特征吗？过点A（1思考6：当角α的终边在坐标轴上时，角α的正切线的含义如何？当角α的终边在x轴上时，角α的正切线是一个点；当角α的终边在y轴上时，角α的正切线不存在.思考6：当角α的终边在坐标轴上时，角α的正切线的含义如何？当yOxyOxyOxyOxPα终边MATPMAT正弦线余弦线正切线PPMATPMATyOxyOxyOxyOxPα终边MATPMAT正弦线余弦线例2.比较大小：(1)sin1和sin1.5;(2)cos1和cos1.5;(3)tan2和tan3.解：由三角函数线得sin1<sin1.5cos1>cos1.5例2.比较大小：解：由三角函数线得sin1<sin1.5co例4.利用三角函数线证明|sinα|+|cosα|≥1.证明：在△OMP中，OP=1，OM=|cosα|,MP=ON=|sinα|，因为三角形两边之和大于第三边，所以|sinα|+|cosα|≥1。例4.利用三角函数线证明|sinα|+|cosα|≥1.证任意角和弧度制及任意角的三角函数(同名326)课件对于专科班，以上题题题经典，所以我们要详细分析，这些题目对理解三角函数的基础知识和基本技能有典型的意义。对于专科班，以上题题题经典，所以我们要详细分任意角和弧度制及任意角的三角函数(同名326)课件任意角和弧度制及任意角的三角函数(同名326)课件任意角和弧度制及任意角的三角函数(同名326)课件问题提出1.角是平面几何中的一个基本图形，角是可以度量其大小的.在平面几何中，角的取值范围如何？

2、思考：对于角的图形特点有如下两种认识：①角是由平面内一点引出的两条射线所组成的图形（如图1）；②角是由平面内一条射线绕其端点从一个位置旋转到另一个位置所组成的图形（如图2）.你认为哪种认识更科学、合理？图2图1答：一个是静的，一个是动的。用动的更合理，因为静止是相对的，运动是绝对的。问题提出1.角是平面几何中的一个基本图形，角是可以度量其大小三、1、问有没有361°角？与1°有什么异同？能举出现实生活中的例子来理解吗？即它是有现实根据的，是来源于现实的。2、能不能说361°就是1°即361°=1°？为什么要区分361°、1°？答：361°、1°隐含的过程和意义是不同的，虽然这种过程和意义对事物的效果即结果都是一样也就是都回到原来位置，我们区分361°、1°并不是区分这种意义的效果即结果而是区分这种过程和意义。比如361°是转了一圈又回到1°的位置，我们要把这种区别区分开来，如果不区分那很不容易表达一些现象。这种区分有现实意义。比如：过去我们学习了0°～360°范围的角，但在实际问题中还会遇到其他角．如在体操、花样滑冰、跳台跳水等比赛中，常常听到“转体1080°”、“转体1260°”这样的解说．再如钟表的指针、拧动螺丝的扳手、机器上的轮盘等，它们按照不同方向旋转所成的角，不全是0°～360°范围内的角.因此，仅有0°～360°范围内的角是不够的，我们必须将角的概念进行推广。三、1、问有没有361°角？与1°有什么异同？能举出现实生活思考：在齿轮传动中，被动轮与主动轮是按相反方向旋转的.一般地，一条射线绕其端点旋转，既可以按逆时针方向旋转，也可以按顺时针方向旋转.你认为将一条射线绕其端点按逆时针方向旋转600所形成的角，与按顺时针方向旋转600所形成的角是否相等？

2、旋转有几个方向？既然旋转有方向，那我们可以规定……。你能说出这种规定它的现实来源吗？即为什么要规定正角、负角？即规定正角、负角对现实世界的解释是不是更容易清晰？答：规定：按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角．如果一条射线没有作任何旋转，则称它形成了一个零角。还是体操、钟表、跳台等等的例子。比如如果分负角正角当我们看到-300

就知道是顺时针旋转，300

就是逆时针旋转，如果不分正角、负交当看到300

我们就不知道是逆时针还是顺时针，即对现实世界的解释就不会这么清晰。思考：在齿轮传动中，被动轮与主动轮是按相反方向旋转的.一般地3、这样子角的范围变的多大？称做什么角？任意角的分类与实数的分类有什么关系？答：负无穷到正无穷。任意角。相似。3、这样子角的范围变的多大？称做什么角？任意角的分类与实数的思考6：如果你的手表慢了20分钟，或快了1.25小时，你应该将分钟分别旋转多少度才能将时间校准？

－120°，450°.2、旋转有几个方向？既然旋转有方向，那我们可以规定……。你能说出这种规定它的现实来源吗？即为什么要规定正角、负角？即规定正角、负角对现实世界的解释是不是更容易清晰？答：规定：按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角．如果一条射线没有作任何旋转，则称它形成了一个零角。还是体操、钟表、跳台等等的例子。比如如果分负角正角当我们看到-300

就知道是顺时针旋转，300

就是逆时针旋转，如果不分正角、负交当看到300

我们就不知道是逆时针还是顺时针，即对现实世界的解释就不会这么清晰。思考6：如果你的手表慢了20分钟，或快了1.25小时，你应该1、为了进一步研究角的需要，我们常在直角坐标系内讨论角，你想想角的顶点该在哪里，始边该在哪里？，那么对一个任意角，角的终边可能落在哪些位置？2、如果角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于如何象限，或称这个角为轴线角.那么下列各角：-50°，405°，210°,-200°，－450°分别是第几象限的角？3、锐角与第一象限的角是什么逻辑关系？钝角与第二象限的角是什么逻辑关系？直角与轴线角是什么逻辑关系？4、第二象限的角一定比第一象限的角大吗？答：象限角只能反映角的终边所在象限，不能反映角的大小.1、为了进一步研究角的需要，我们常在直角坐标系内讨论角，你想1、终边相同的角比如与1°角有多少个？他们有规律吗？能用符号把他们表达出来吗？2、1°还可以改为多少度？k•360°几何意义是什么？k•180°,k•90°几何意义是什么？3、能从简单具体例子推广为一般吗？4、写出终边在y轴上角的集合，有规律吗？先看书的解法，繁不繁？难不难？抽象不抽象？它是从代数角度来解的。有直观的几何角度的解法吗？5、用上面直观的几何角度的解法解出终边在坐标轴上角的集合，有规律吗？。写出终边在直线y=x上的角的集合S，有规律吗？并把S中适合不等式-360°到720°的角找出来。6、第一、二、三、四象限的角的集合分别如何表示？7、如果α是第二象限的角，那么2α、α/2分别是第几象限的角？1、终边相同的角比如与1°角有多少个？他们有规律吗？能用符号

3、换个角度看问题：

2010-1-17睡觉的时候想到了把0°到360°推广为任意角的一个形象的比喻，就是0°到360°对于任意角是个受精卵，任意角有这个受精卵发育生成，那到底是如何发育生成，就是逆时针旋转整数圈，顺时针旋转整数圈。所以在解终边在y轴上角的集合时，这样的角有无数个，但有什么角发育生成，如何发育生成。即有90°或270°发育生成，那如何发育生成，就是逆时针旋转整数个半圈，或顺时针旋转整数个半圈。同理，对于写出终边在坐标轴上角的集合，可以有0°或90°或180°或270°这个受精卵发育生成，如何发育生成就是逆时针或顺时针旋转整数个1/4圈。对于终边在直线y=x上角的集合也一样。还有就是没有时间写出终边在第一象限或第二象限或第三象限或第四象限的角的集合。这些集合也可以用上述思路来分析。比如终边在第一象限角的集合有0°到90°这个受精卵发育生成，那如何发育生成？就是旋转整数圈。事物的发生发展可以有一个形象的比喻就是人有受精卵发育生成，如何发育生成学了生物就知道，《道德经》里的一句名言：“道”生一，一生二，二生三，三生万物。受精卵相当于“道”。3、换个角度看问题：二、1、大家知道不知道度量一个物体的长短或路程的远近我们是怎么说的？答：多少米，多少公里。2、大家知道1米是多长？度量长度有几种单位制？相互之间转换知道吗？度量重量有几种单位制？相互之间转换知道吗？答：米、英尺、码。千克、磅。可以百度。以下转换来自百度：米：等于氪-86原子的2p10和5d5之间跃迁所对应的辐射在真空中的1,650,763.73个波长的长度。1英尺(呎)=12英寸(吋)=30.48厘米。关于英尺的来历：正如如同英尺的英文单词意义一样，foot,简称ft，古英国时期因为没有国际公认的度量单位，所以人们往往使用自己的脚来测量实地的面积，久而久之，一种基于成年男子单脚的长度就被公认为英国等国家人可得标准度量衡。德国人出了一招，让最早从教堂出来的16个男子量出左脚的长度加在一起，再除以16，商就是一尺。码：英制长度单位,美制码等于0.9144米,在英国,则1码等于保存在威斯敏斯特商务部标准局的青铜棒两个金塞子上横线标记之间的距离(在62癋时)[yard(缩写yd)]磅：英美制重量单位，1磅等于0.45359237千克。二、1、大家知道不知道度量一个物体的长短或路程的远近我们是怎3、为什么会有多种单位制？单位制的本质是什么？

答：一是各个国家历史原因，二是每个单位制各有千秋。为了度量物体的长短、轻重、大小我们只能先规定一个单位是什么东西，然后让物体跟这个单位比较看看有多少个单位，这就是单位制的本质。4、角的单位制是什么？是如何规定的？这种规定有什么优劣？如果有劣该如何？3、为什么会有多种单位制？单位制的本质是什么复习1、1º的角是怎样规定的？2、什么叫角度制？规定周角的1/360叫做1度的角。用度作单位来度量角的单位制叫做角度制。O•AB1º3、角度制的单位是什么？“度”（即“º”）

不能省略4、弧长公式复习1、1º的角是怎样规定的？2、什么叫角度制？规定周角的1思考

由角度制的定义我们知道,角度是用

来度量角的,它与圆的半径大小无关.但

是角度制的度量是60进制的,运用起来不

太方便,那么,我们由弧长的计算公式是

否也能够找到一个与半径无关的量,从而

用来度量角呢?思考由角度制的定义我们知道,角度是用

来r1rad2rad2r1、1弧度的角—长度为半径的弧所对的圆心角。一、弧度制2弧度：当圆心角为周角时，它所对的弧（即圆周）长，所以周角的弧度数是r1rad2rad2r1、1弧度的角—长度为半径的弧所对的圆例如：sin,sin2。

2、推广：正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0；角α的弧度数的绝对值（其中l是以角α作为圆心角时所对弧的长，r是圆的半径。）3、以弧度作为单位来度量角的单位制，叫做弧度制。用弧度表示角的时候，“弧度”二字或“rad”可以省略。但是要弄清其含义，不能混淆。想一想如果圆心角表示一个负值，且它所对的弧长为，这个圆心角的弧度数是多少？

例如：sin,sin2。(1).弧长公式：

(2).扇形面积公式4、公式类比于三角形面积公式(1).弧长公式：(2).扇形面积公式4、公式类二、角度与弧度的换算：1、把角度换成弧度：[总结]（1）仅出现度的，可以直接乘以，约简即可；出现分秒的应先化为度，然后再换算。（2）用弧度作单位时，常常把弧度数写成多少个的形式，如不作特殊说明不必将写成小数。二、角度与弧度的换算：1、把角度换成弧度：[总结]（1）仅出2、把弧度换成角度：[总结]带者常可用来180º

代换；不带者可用其弧度数乘以57.30º

来求近似值。2、把弧度换成角度：[总结]带者常可用来三、例题：度

0º30º45º60º90º120º135º150º180º270º360º弧度数表2：1.填表：

表1：150º210º15º120º135º-36º-450º-240º度弧度数这些是基础的基础还不算高中基础知识基本技能，知道这些是考不上专科的三、例题：度例4、（1）写出终边在y轴上角的集合（用弧度制表示）（2）设是第三象限的角，试讨论是哪个象限的角注意：（1）用弧度制表示终边相同角的一般式（2）在同一个问题求解过程中，两种单位不能混用例4、（1）写出终边在y轴上角的集合（用弧度制表示）（2）设一、1、我们还记不记得在高中是如何重新学习函数的？同学们,我跟你们讲一件事情。就是著名教育家朱永新的故事。2009年暑假我到海门参加他的新教育实验会，我看了他的报告。朱老师把全国老师看的清清楚楚。朱老师为什么能把全国老师看的清清楚楚，因为他站的角度与他人不一样，站的高度很高很高。比如谁可以把温州人民看的清清楚楚，那这个人可以当温州市市委书记，把浙江人民看的清请楚楚，那这个人可以当浙江省委书记，把全国人民看的清请楚楚，那这个人可以当国家主席。人只有站在较高一个层次才能看清较低层次的事情。把国家看的清请楚楚的人一定可以把浙江人民看的清请楚楚，把浙江人民看的清请楚楚的人，一定可以把温州人民看的清请楚楚。反之不一定。我再举例子，你把高等数学看的清清楚楚，只要你愿意，你就可以把初等数学看的清清楚楚。但你把初等数学看的清清楚楚，高等数学也不一定看的清清楚楚。我在某一程度上可以把小学、初中、数学看的清清楚楚，但对高等数学看不清清楚楚。一、1、我们还记不记得在高中是如何重新学习函数的？

我画一个图形给你们看。在你们面前有个正方形的盒子，没盖，里面有一只哈巴狗。当你的眼睛在盒子的面前，高度是你前面这个面的中位线中点，那你可以把这个盒子的前面看的清清楚楚，但这只哈巴狗你看不见。接下去我们这样，我们改变眼睛的角度与高度，把眼睛上升，上升到眼睛还是在前面这个面的前面，但高度上升到盒子上面那个面的上面，这时，我们依然把前面这个面看的清清楚楚，但发现了许多新东西，比如我们看到了盒子里有只哈巴狗。所以改变角度，上升高度，原来的事情依然可以看的清清楚楚，并且把发现的新东西也可以看的很清楚。我为什么要讲这些东西，因为我们今天学习函数的概念。比如浙江省委书记把温州看的清清楚楚，但同时发现了宁波、杭州的新东西。我画一个图形给你们看。在你们面前有个正方形的aACBbc答案初中时，我们怎样利用直角三角形定义了锐角三角函数的呢？aACBbc答案初中时，我们怎样利用直角三角形定义了锐角三角

yx思考1在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？﹒﹒oabr问题下的再学习换个角度看问题yx思考1在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆，称为单位圆.yox1M高度一样，角度不同，即特殊情况。为什么对以后的后续学习有帮助。即让点P落在特殊的地方，这特殊的地方在哪里？再换个角度看问题以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆，称为单位圆.yox1设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点

规定:（1）叫做的正弦，记作，即；

（2）叫做的余弦，记作，即；（3）叫做的正切，记作，即。

注意：正弦，余弦，正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将他们称为三角函数.﹒推广为任意的象限设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点规定:（1）1、把全国人民看的清清楚楚难不难？我说有没有人把高一（3、4）班同学看的清清楚楚？看清楚了可以当班级的什么干部？2、只有政治家把全国人民看的清清楚楚吗？文学大文豪曹雪芹把封建社会看的清清楚楚，他的《红楼梦》就是3、有的同学可能会问，在每个象限三角函数的定义比如正弦、余弦、正切都是一样，那是不是每个象限三角函数值也一样。我们一个个分析下正弦、余弦、正切。8、在对三角函数定义教学的时候你们可能提出，正弦、余弦、正切为什么要这样定义，那样定义不行吗？回答：可以，数学的本质在於它的自由.－－－康扥尔(Cantor)。但数学上概念的定义不是胡来，而是要能跟现实吻合，能解决现实问题。1、把全国人民看的清清楚楚难不难？我说有没有人把高一（3、4根据三角函数的定义，确定它们的定义域（弧度制）思考3三角函数定义域RR﹒根据三角函数的定义，确定它们的定义域（弧度制）思三角函数定义几个特殊角的三角函数值角α0o30o45o60o90o180o270o360o角α的弧度数sinαcosαtanα这些是基础的基础还不算高中基础知识基本技能，知道这些是考不上专科的几个特殊角的三角函数值角α0o30o45o60o90o180探究22.确定三角函数值在各象限的符号yxoyxoyxo+（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）+--+--++-+-xyo的终边数形结合这些结论都不用死记硬背而是根据定义自然而然的得出。探2.确定三角函数值在各象限的符号yxoyxoyxo+（思考6：如果两个角的终边相同，那么这两个角的同一三角函数值有何关系？

？yox1M思考6：如果两个角的终边相同，那么这两个角的同一三角函数值有思考6：如果两个角的终边相同，那么这两个角的同一三角函数值有何关系？

终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一）（其中）公式作用：可以把求任意角的三角函数值，转化为求角的三角函数值

.

？思考6：如果两个角的终边相同，那么这两个角的同一三角函数值有三角函数线三角函数线1、同学们比较一下，代数与几何哪一种抽象？哪一种直观？直观有什么好处？2、三角函数属于代数，今天我们就把三角函数直观化。如何直观化？我们先学习一个概念：有向线段。3、顾名思义有向线段就是：有方向的线段。1、同学们比较一下，代数与几何哪一种抽象？哪一种直观？直观有

①有向线段的概念:

坐标轴是规定了方向的直线，线段也可以规定方向，如x轴上线段AB，可以规定从A到B，也可规定从B到A这样两种相反方向，与y轴平行的线段CD也可以规定两种相反方向:从点C到D或从点D到C。如果线段的方向与坐标轴正向一致，就说它是正的，否则就说它是负的，并表示为AB=3，BA=-3。5、有向线段特点与平时线段的异同，包括内含与记号的异同？符号是形象生动还是会混淆？同学们，这些符号是数学家创造的，数学家个个是天才,1+1=2也是数学家创造的。答：即有方向又有大小，平时线段只有大小。AB=3,BA=-3,|AB|=3①有向线段的概念:

坐标轴是规定了方6、为什么有向线段可以把三角函数直观化？答：方向属于几何，大小属于代数。所以有向线段是代数连接几何的纽带。6、为什么有向线段可以把三角函数直观化？答：方向属于几何，大3.公式，， ().其数学意义如何？终边相同的角的同名三角函数值相等.3.公式，思考1：如图，设角α