数学分析十讲习题册、课后习题答案解析

.PAGE.习题1-11．计算下列极限〔1,解：原式===〔2；解：原式〔3解：原式〔4,解：原式〔5解：原式=〔6,为正整数；解：原式2．设在处二阶可导,计算.解：原式3．设,,存在,计算.解：习题1-21.求下列极限〔1;解：原式,其中在与之间〔2;解：原式===,其中在与之间〔3解：原式,其中在与之间〔4解：原式,其中其中在与之间2．设在处可导,,计算.解：原式习题1-31．求下列极限〔1,解：原式〔2;解：〔3;解：原式〔4;解：原式2.求下列极限〔1;解：原式〔2;解：原式习题1-41．求下列极限〔1；解：原式〔2求；解：原式〔3；解：原式〔4；解：原式此题已换3．设在处可导,,.若在时是比高阶的无穷小,试确定的值.解：因为,所以从而解得：3．设在处二阶可导,用泰勒公式求解：原式4.设在处可导,且求和.解因为所以,即所以习题1-51.计算下列极限<1>;;解：原式<2>解：原式2．设,求<1>；解：原式<2>,解：由于,所以3．设,求和.解：因为,所以且从而有stolz定理,且所以,4．设,其中,并且,证明：.证明：因,所以,所以,用数学归纳法易证,。又,从而单调递减,由单调有界原理,存在,记在两边令,可得所以习题1-61.设在内可导,且存在.证明:证明：2.设在上可微,和存在.证明:.证明：记〔有限,〔有限,则从而所以3.设在上可导,对任意的,,证明:.证明：因为,所以,由广义罗必达法则得4．设在上存在有界的导函数,证明:.证明：,有界,,所以习题2-1〔此题已换1.若自然数不是完全平方数,证明是无理数.1.证明是无理数证明：反证法.假若且互质,于是由可知,是的因子,从而得即,这与假设矛盾2.求下列数集的上、下确界.〔1解：〔2解：〔3解：〔4.解：3．设,验证.证明：由得是的一个下界.另一方面,设也是的下界,由有理数集在实数系中的稠密性,在区间中必有有理数,则且不是的下界.按下确界定义,.4．用定义证明上〔下确界的唯一性.证明：设为数集的上确界,即.按定义,有.若也是的上确界且.不妨设,则对有即矛盾.下确界的唯一性类似可证习题2-21．用区间套定理证明：有下界的数集必有下确界.证明：设是的一个下界,不是的下界,则.令,若是的下界,则取；若不是的下界,则取.令,若是的下界,则取；若不是的下界,则取；……,按此方式继续作下去,得一区间套,且满足：是的下界,不是的下界.由区间套定理,且.下证：都有,而,即是的下界.由于,从而当充分大以后,有.而不是的下界不是的下界,即是最大下界2.设在上无界.证明：存在,使得在的任意邻域内无界.证明：由条件知,在上或上无界,记使在其上无界的区间为；再二等分,记使在其上无界的区间为,……,继续作下去,得一区间套,满足在上无界.根据区间套定理,,且.因为对任意的,存在,当时,有,从而可知在上无界3.设,在上满足,,若在上连续,在上单调递增.证明：存在,使.证明：记且二等分.若,则记若则记.类似地,对已取得的二等分,若,则记；若,则记按此方式继续下去,得一区间套,其中根据区间套定理可知,且有.因为在上连续,所以注意到可得,再由可知,.习题2-31.证明下列数列发散.<1>,证因为,所以发散.<2>,证明：因为所以发散.2．证明:单调数列收敛的充要条件是其存在一个收敛子列.证明：由收敛数列与子列的关系,结论显然不妨假设数列单调递增,且存在收敛子列,由极限定义对任意给定的,总存在正整数,当时,,从而有；由于,对任意,存在正整数,当时,,取,则任意时,所以,即3.设极限存在,证明：.证明：记由海茵定理,取,得取,得取,得,解得〔此题取消4.数列收敛于的充要条件是：其偶数项子列和奇数项子列皆收敛于〔此题改为45.已知有界数列发散,证明:存在两个子列和收敛于不同的极限.证明：因为有界,由致密性定理,必有收敛的子列,设.又因为不收敛,所以存在,在以外,有的无穷多项,记这无穷多项所成的子列为,显然有界.由致密性定理,必有收敛子列,设,显然.习题2-51.用柯西收敛准则判定下列数列的收敛性<1>解：所以,对,即为柯西列<2>.解：所以,对,即为柯西列2.满足下列条件的数列是不是柯西列?<1>对任意自然数,都有解：不是柯西列,如,对任意的自然数,但数列不收敛。<2>,解：所以,对,即为柯西列<3>.证明：记,则单调递增有上界,从而必有极限,记对从而故是柯西列习题3-11.设定义在上的函数在内连续,且和存在<有限>.问在上是否有界?是否能取得最值?解：在闭区间上构造辅助函数则在上连续,从而在上有界.由于,故在上也有界,即存在,使得.令,则有.条件同上,但在上却不一定能取得极值.例如：2.设在内连续,且.证明在内可取得最小值.证明：因为,所以,当时,有因为,所以,当时,有从而当时,有又在连续,从而一定可以取到最小值,即,使当时,且；故时,有所以在处取到最小值习题3-2〔此题已换1.设,,,.证明:方程在和内恰好各有一个实根.1.证明开普勒<Kepler>方程有唯一实根证明：令,则在连续且,,由零点原理,使,即方程至少有一实根又,所以在单调递增,所以方程有唯一实根〔此题已换2.设函数在〔内连续且有极值点.证明:存在使得2.设,讨论方程实根的个数解：step1.令,则,由零点原理,在至少有一实根,又,所以在单调递增,从而方程在内有且仅有一实根。step2.令,则,且,所以当时,函数单调递减；当时,函数单调递增,所以函数在点取得极小值。所以,当时,方程在无解；当时,在有一解；当时,在有两解综上：当时,方程有一解；当时,有两解；当时,有三解3.设在上连续,,.证明存在使.证法1因为在上连续,所以存在最大值和最小值,且使,从而有.由介值定理知,使.证法2因为有界,所以存在收敛子列.而在上连续,故有习题10-21.设在上连续,为自然数.证明：〔1若,则存在使得证明：令,则,且,,从而若,使,取即可否则,使,由零点原理,或,使综上,,使,即〔2若则存在使得解：取,方法同上2.设在上连续,且证明：存在使证：由已知经计算得1若或,由积分中值定理,,使,从而2否则,,a若,同1,由积分中值定理,使b与异号,由中值定理,使,且所以,有零点原理,使3.设,求证<1>对任意自然数,方程在内有唯一实根;证明：时,在上有唯一实根时,有,且,由零点存在原理,,使,即在上有一实根又,故严格单调递减,所以方程在内有唯一实根<2>设是的根,则.证：对,,从而,有因为严格单调递减,故,即严格单调递增。又有界,所以收敛。设,由于,所以,在,令,有,所以,即4.设在上连续,不恒为常数,且.证明存在,使．证：令,因为在上连续,不恒为常数,且,所以,使,于是,,由零点原理：证明存在,使,即．习题4-11．证明函数没有原函数.证：设存在原函数,即,则且,由于,由达布定理,,使,矛盾,所以无原函数2．设在上可导,证明：〔1若则存在使证明：若,则取或均可；否则,又达布定理,存在介于与之间,使综上存在使〔2若则存在使证明：若,则取或均可；否则,由达布定理,存在介于与之间,使；综上存在使习题4-21．求下列函数的导函数,并讨论导函数的连续性.〔1；解：,则在连续,且时,,,从而时,,,从而所以从而在连续。所以在连续〔2；解：显然在连续,且时,,,从而；时,,,从而所以从而在连续。所以在连续2.设.当分别满足什么条件时,〔1在处连续；解：,即,所以〔2在处可导；解：存在,即存在,所以〔3在处连续？解：,由,即,所以3．分别用两种方法证明符号函数不存在原函数.证明：法一设存在原函数,即,则且,由于,由达布定理,,使,矛盾,所以无原函数法二由单侧导数极限定理,导函数不存在第一类间断点,而有第一类间断点,从而无原函数习题5-1.1.设函数在上可导.〔1若,.证明存在使；证明：令,则,且,,由广义洛尔定理,使,即,所以<2>若,证明存在使得；证明：令,则,且,,由广义洛尔定理,使,即,所以习题5-2设在上可导,且,其中为常数.证明：存在,使.证明：由积分中值定理,,使令,则,且,由洛尔定理,,使,即,从而设在上可导,且证明：存在,使证明：由积分中值定理,,使令,则,且,由洛尔定理,,使,即,从而设在上可导,且.证明：存在使证明：由积分中值定理,,使令,则,且,由洛尔定理,,使,即,从而习题6-11.若在区间上是凸函数,证明对任意四点,有.其逆是否成立？证明：因为在区间上是凸函数,由三弦不等式,且,所以成立。其逆成立2.设均为区间上的凸函数,证明：也是上凸函数..证明：设,则对,有,且,从而,由凸函数的定义,也是上凸函数习题6-2验证下列函数是〔严格凸函数.〔1解：,〔,所以是上的严格凸函数〔2解：,〔,所以是上的严格凹函数习题6-31．证明不等式〔1证：设,则〔,所以是上的严格凸函数；从而,有,即〔2证：设,则〔,所以是上的严格凸函数；从而,有,可得,即,又因为,所以习题9-11.求下列函数项级数的收敛域<1>；解：,从而当时,,级数绝对收敛；当时,,级数绝对收敛；当时,发散；当时,发散,所以,级数的收敛域为<2>.解：,所以当时,,级数发散；当时,,级数发散；当时,,级数绝对收敛；当时,,级数绝对收敛；当时,级数发散；当时,级数发散；当时,级数收敛；所以原级数的收敛域为习题9-21.证明函数项级数在上一致收敛.证明：,从而所以对任意的,由,得对,取,当时,对任意的成立,因此,在上一致收敛到设在区间上一致收敛于,且对任意有.试问是否存在,使当时,对任意有?解：答案不正确；例在内一致收敛到,且,有；但,和,使习题9-31.利用定理9.3.1<1>,,证：,级数的部分和,从而,在不连续,故级数不一致收敛。<2>,.证：,级数的部分和,从而,在不连续,故级数不一致收敛。2.设试问在上是否一致收敛?是否有解：对,,但对,,都,使,所以在上不一致收敛另外,,所以3.设试问在上是否一致收敛?是否有?其中解：对,有,从而但对,,都,使所以在上不一致收敛又,,所以4.求的收敛域,并讨论和函数的连续性.解：设,则,有根值判别法,当时,级数绝对收敛；当时,级数发散；当时,级数发散；所以级数的收敛域为。对,总,使,从而在上连续,且在一致收敛,从而在上连续,故在上连续,由得在上连续习题9-41.讨论下列函数序列在指定区间上的一致收敛性.〔1,；解：对,又在处取得最大值,从而对,取,则对,有,所以在一致收敛〔2；〔i,解：对,对,取,则对,有,所以在一致收敛〔ii；解：对,对,,,,使,所以在不一致收敛2.讨论下列函数项级数的一致收敛性.〔1,；解：对任意的,,而收敛,由M判别法,原级数一致收敛。〔2,.解：对任意的,,而收敛,由M判别法,原级数一致收敛。3.设,.证明函数项级数在上一致收敛,并讨论其和函数在上的连续性、可积性与可微性.解：由对任意的成立,从而而收敛,由M判别法知在上一致收敛〔1,在上一致收敛,所以和函数在连续〔定理1〔2,在上一致收敛,所以和函数在可积〔定理2〔3由,收敛,由M判别法知在上一致收敛,从而和函数在可微。〔定理3习题10-11．一块金属板平底锅在平面上占据的区域是,已知板上点处的温度为.锅底上点处的蚂蚁为了逃向温度更低的地方,它的逃逸方向为<D>.；；；.解：,而梯度方向是温度降低最快的方向2．一个高为的柱体储油罐,底面是长轴为,短轴为的椭圆,现将储油罐平放,当油罐中油面高度为时