§4 曲线的挠率和Frenet公式

第二章曲线的局部微分几何§4曲线的挠率和Frenet公式从上节内容已经知道，曲率是刻划曲线弯曲程度的一个重要的几何量；同时，曲率和弧长并不能够完全确定曲线的全部几何性质，例如曲率为常数的曲线可以是圆周，也可以是圆柱螺线.用专业术语来表达，此即曲率和弧长并不能够构成曲线的完全的几何不变量系统.从圆周和圆柱螺线的对照也可以观察到，需要另外的几何不变量来刻划密切平面的行为.为简便起见，本节中不声明时，总考虑无逗留点的弧长参数化曲线C:,=尸(s)，并且用“〃'表示对弧长参数的导数，而对其他正则参数的导数则用微商表示.注意到上节定理1*的一般结论，将从法向量对弧长求导，就可以刻划密切平面沿着曲线的变化状况；结合曲率向量的行为，就可进一步刻划Frenet标架沿着曲线的变化状况.再考虑到Frenet标架场与曲线之间的天然联系，则有理由预期，这样做是有意义的.以下将顺此思路进行考察.一.挠率首先分析从法向量B(s)对弧长s求导所得向量B'(s)的行为.由于从法向量是单位向量场，易知Bf(s)lB(s)；而由B(s)=T(s)xN(s)对弧长s求导得B=T，xN+TxN'=TxN'1T.于是，B'〃N.把B'(s)在Frenet标架｛r(s);T(s),N(s),B(s)｝下的分量抽象出来，将找到所需要的几何量.定义1对于无逗留点的曲线C，称t=-B'•N为曲线的挠率函数，其中B为从法向量对弧长的导数；当挠率非零时，称其倒数为挠率半径可证(留作习题)挠率在容许参数变换下不变.按挠率定义和Frenet标架的单位正交右手性质，可写B'(s)=-tNt=-(TxN))•N=-(TxN')•N=(T,N,N')=•⑶Tr〃(s)|，|r〃(础+"(矽17|r〃(s)|)=(riskr(skrK= "(s)|2_(>(s),r"(s),r"'(s))一 K(s)2定理1对曲率非零的曲线C而言，C为平面曲线的充要条件是其挠率函数恒等于零.证明由上节例4的结论可知，只要证明“从法向量恒等于常向量”等价于“挠率函数恒等于零”，而这由(4.1)式即可得证.口定理2设无逗留点的弧长s参数化曲线C:r=r(s)与C*:r*=r*(s)合同，则两条曲线在对应点r(s)与r*(s)处的挠率T(s)与T*(s)总相等.证明与上一节定理2的证明相同，对曲线C*各相应量的记号总打星号表示，并设矩阵AeSO(3)和位置向量OP=(b1,b2,b3)，使r=OP+r*A，T=T*A，T=T*'A，k=k*.将曲率向量用主法向量表示出来，则进一步有N=N*A，N=N*'A.故由(4.2)式便知有t=(T,N,N')=(T*A,N*A,N*A)=(T*,N*,N*')|A|=(T*,N*,N*')=t*. □上面两个定理说明，挠率确实是刻划曲线弯曲状况的又一个重要的几何量，因而又可称之为曲线的第二曲率；又由于它体现了密切平面的扭转状况，通常说它表示了曲线的扭曲程度在一般参数下，挠率的用位置向量表示的计算公式可以利用复合求导而由弧长参数下的计算公式(4.2)式和(3.9)式推出(参见习题4)，也可以如下从(3.8)式和(3.9)式导出：t=-B'・N

dr d2r |dr|d2r x | 1 (d dt dt2)(dt dt2=-* |dr d2r|•*| dr d2r|[drd2r]dr~d?.~dtT~d?)孚牛x半Idtdtdt2此即也ffdf) [drd2r]dr~d?.~dtT~d?)孚牛x半Idtdtdt2此即也ffdf) (|专噬ds |_dr d2r|~dtx~dt2dt21手x柴1 1手II字[dr d2r]dr~d?.~dtT~d?)d"dt''dtxdt2drd3,

~r~x~-

dtdt3•(-d2Tdt2d2rdt2|_drd2r|■|drd2r|

dtxdt2dtxdt2dr d3rx

dt dt3(4.3)(drd2rd3r)

dt'dt2,dt3(4.3)T=例1对常数a>0和常数》，计算曲线r(t)=(acost,asint,bt)的挠率.解：(注意解法有多种：可先作弧长参数化，再用定义式计算；或先确定参数与弧长参数的关系，再利用复合求导以及定义式计算；或代入公式(4.3)计算.这里采用第二种算法，按上节性接着计算.)已算得ds=|r'(t)|dt=、•.,；a2+b2dt,N(t)=(-cost,-sint,0),B(t)=~,] (bsint,-bcost,a).a2+b2

JB叫=一ds —dsdt•N1a2+b2(bcost,bsint,0)•(—cosJB叫=一ds —dsdt•N1a2+b2ba2+b2曲率函数K和挠率函数T都处处非零的曲线通常称为挠曲线.单位切向与固定方向交于定角的挠曲线通常称为一般螺线.T例2试证：一般螺线C的挠率函数T与曲率函数K的比值了为非KT零常数；反之，若曲线C满足；三C更0，则C为一般螺线.K证明：设一般螺线C的单位切向T与固定单位向量i交于定角e，可设eG[0,兀].C既不是直线，也不是平面曲线，故e更0,f，兀.若有必要则将l反向，可不妨设ee(0,言)，即有T,l三cose>0.不妨设C已经弧长参数化，则上式求导即得KN・l三0，由曲率非零即得N・l三0将单位向量l在Frenet标架下分解，则可写l=Tcose土Bsine此式再对弧长求导则有0=kNcose土(-TN)sineT此即——三土cote丰0.KT反之，若曲线c满足m三牌0，则取定e使cote=c.此时作Kl=Tcose+Bsine，对弧长求导则有l=T'cose+Bsine=kNcose+(-TN)sine三0，此即l为固定的单位向量.此时，曲线C作为挠曲线与l夹固定角e.口

二.Frenet公式按照标架运动的一般规律，对于无逗留点的曲线,，其Frenet标架关于曲线弧长s的运动公式（作微小位移时的变换公式）现在已经可以确定(4.4)fd(4.4)fdr=Tds；(T\(0kds0)(T\'dN=-Kds0Tds N■VB)V0 -Tds0八B)这组公式称为曲线论基本方程，它包含了曲线几何的最基本信息：弧长，曲率，挠率.在本章的后续内容中，可以进一步体会出这组公式的重要含义.鉴于其重要地位，这组公式用其发现者的名字命名以纪念他们的贡献，称为Frenet-Serret公式，或简称为Frenet公式，并通常写为(4.5)dr(客d(4.5)dr(客dds=T；(T\N:3(0-KV0K0-T在明确了Frenet公式之后，Frenet标架关于弧长的各阶导向量在Frenet标架下的分量就都可以用曲率、挠率以及它们的各阶导数等几何量具体表示出来.因此，利用Frenet公式和微积分学的一般知识，就有求解曲线几何问题的常用一般步骤：将几何条件表示成解析表达式；分析条件，合理进行求导（或积分等等）运算和代数运算若干次，寻找所求几何结论所对应的解析表达式；从解析式表述几何结论在学习过程中，特别需要注意培养和提高恰当地使用这种步骤的能力.不仅仅局限在曲线几何上，从更为一般的角度讲，上述步骤实际上是“翻译”和“推演”这两类过程在进行适当的结合和互相提示；这种思维方式是重要的，适用于一般场合下利用已知知识参与解决问题的过程，特别适用于理性的数量关系问题的求解过程，当然包括适用于对曲面几何问题的讨论.具体的例子，读者可以回头总结前面的相关例题、定理和公式的证明过程，直至理论框架.典型的使用过程，也可以参阅第七章§6中球面曲线的局部特征定理及其证明.本章§7中也经常使用这些步骤.试证：挠率在容许参数变换下不变.求以下曲线的挠率.r=(t,t,t3)；r=(etcost,etsint,2t)；r=(cos31,sin31,cos2t)；r=(t,t2,et).求曲线｛x2+y2+匕=9的在点(2,1，2)处的挠率.X2-y2=3证明对正则曲线r(t)的弧长参数，有喙器著」肯"唱器,.设弧长s参数化挠曲线C:r(s)的挠率t>0；作曲线。*:r*(s)=fB(s)ds，并加星号表示相应各量.试证：k*=t,t*=k.沿弧长s参数化无逗留点曲线r(s)，试求向量场p(s)使以下三式同时成立：dT dN dBds=pxT，ds=pxN，ds=pB7・设两条弧长参数挠曲线r(s)和r*(s*)之间存在连续可微的对应关系s*=s*(s)，使得两条曲线的从法线总在对应点重合.试证：两条曲线重合，且s*=s+const..弧长s参数化曲线C:r(s)的单位切向、主法向量、从法向量作为位置向量分别定义了单位球面上的曲线(分别称之为C的切线标线、主法线标线、从法线标线)，分别记为C1:r1(s)=T(s)，C2:r2(s)=N(s)，C3:r3(s)=B(s).试证：对C的弧长s’，i=1,2