(新高考)高考数学三轮冲刺解答题核心考点练第19讲《不等式的证明》（解析版）

第19讲不等式的证明高考预测一：一元不等式的证明1．证明：（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0．【解析】证明：（1）令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0时单调递减，SKIPIF1<0成立，SKIPIF1<0SKIPIF1<0；SKIPIF1<0，等号成立；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0时单调递增，SKIPIF1<0SKIPIF1<0成立，SKIPIF1<0SKIPIF1<0．令SKIPIF1<0，则它的导数为SKIPIF1<0．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，故函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上是减函数．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，故函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上是增函数．故当SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0取得最小值为0，故有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0SKIPIF1<0；（2）设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上是增函数，SKIPIF1<0．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上是减函数，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0对SKIPIF1<0都有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．2．设函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处取得极值．（1）求SKIPIF1<0的值及函数SKIPIF1<0的单调区间；（2）证明对任意的正整数SKIPIF1<0，不等式SKIPIF1<0．【解析】（1）解：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处取得极值，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的增区间为SKIPIF1<0，减区间为SKIPIF1<0．（2）证明：当SKIPIF1<0时，左边SKIPIF1<0，右边SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成立；当SKIPIF1<0时，左边SKIPIF1<0，右边SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成立；当SKIPIF1<0时，原不等式等价于SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0递减，所以，当SKIPIF1<0时，有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，综上所述：对任意的正整数SKIPIF1<0，不等式SKIPIF1<0都成立．3．设函数SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0（1）若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的极小值；（2）如果SKIPIF1<0在定义域内既有极大值又有极小值，求实数SKIPIF1<0的取值范围；（3）证明不等式：SKIPIF1<0【解析】解：（1）由题意知，SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0SKIPIF1<0时，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0舍去），当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0单调递减；当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0单调递增，所以SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0（2）由题意SKIPIF1<0在SKIPIF1<0有两个不等实根，即SKIPIF1<0在SKIPIF1<0有两个不等实根，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解之得SKIPIF1<0（3）当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0．令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上恒正SKIPIF1<0在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上单调递增，当SKIPIF1<0时，恒有SKIPIF1<0即当SKIPIF1<0时，有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．4．当SKIPIF1<0时，求证：SKIPIF1<0．【解析】证明：令SKIPIF1<0SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减．所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0属SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减．所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．高考预测二：函数不等式证明中的变形原理5．已知函数SKIPIF1<0．SKIPIF1<0讨论函数SKIPIF1<0的单调性；SKIPIF1<0若SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（1）SKIPIF1<0处的切线斜率为SKIPIF1<0．SKIPIF1<0求SKIPIF1<0的解析式；SKIPIF1<0求证：当SKIPIF1<0．【解析】解：由题意可得，SKIPIF1<0定义域为SKIPIF1<0SKIPIF1<0对函数求导可得，SKIPIF1<0①SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0由SKIPIF1<0可得，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递增，在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递减②SKIPIF1<0时，令SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递减，在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递增SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，同理可得SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递减，在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递增SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0SKIPIF1<0在SKIPIF1<0增SKIPIF1<0（6分）SKIPIF1<0解：由SKIPIF1<0知）知SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0．（8分）SKIPIF1<0证明：SKIPIF1<0SKIPIF1<0令SKIPIF1<0故当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递增，SKIPIF1<0（1）SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递增，SKIPIF1<0（1）SKIPIF1<0又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0综上所述，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0（14分）6．已知函数SKIPIF1<0SKIPIF1<0求曲线在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（1）SKIPIF1<0处的切线方程；（Ⅱ）若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的取值范围；（Ⅲ）证明：SKIPIF1<0．【解析】解：SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0（1）SKIPIF1<0，所以切线方程SKIPIF1<0（Ⅱ）SKIPIF1<0，即：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0，即要使SKIPIF1<0成立．令SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0，可知当SKIPIF1<0时单调增，当SKIPIF1<0时单调减．故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处取最大值为SKIPIF1<0，那么要使得SKIPIF1<0成立，则有SKIPIF1<0．（Ⅲ）由（Ⅱ）可得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0．SKIPIF1<0综上所述，SKIPIF1<07．已知函数SKIPIF1<0，曲线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（1）SKIPIF1<0处的切线方程为SKIPIF1<0．（1）求SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的值；（2）如果当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的取值范围．【解析】解：切线方程为SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，（1）SKIPIF1<0由于直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0，且过点SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（2）由（1）知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．考虑函数SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0设SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0知，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，从而当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0设SKIPIF1<0．由于当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0（1）SKIPIF1<0，故当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，与题设矛盾．SKIPIF1<0设SKIPIF1<0．此时SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0（1）SKIPIF1<0，故当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，与题设矛盾．综合得，SKIPIF1<0的取值范围为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．8．已知函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是自然对数的底数）．（1）求SKIPIF1<0的单调区间；（2）设SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的导函数．证明：对任意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．【解析】解：（1）求导数得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0．因此SKIPIF1<0的单调递增区间为SKIPIF1<0，单调递减区间为SKIPIF1<0．证明：（2）因为SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0，求导得SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0单调递增；当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0单调递减．所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0．又当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．综上所述，对任意SKIPIF1<0，SKIPIF1<09．已知函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0且为常数，SKIPIF1<0为自然对数的底数）．（1）讨论函数SKIPIF1<0的极值点的个数；（2）当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0对任意的SKIPIF1<0恒成立，求实数SKIPIF1<0的取值范围．【解析】解：（1）函数SKIPIF1<0的你定义域为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上单调递增，且SKIPIF1<0，①当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上恒成立，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，此时无极值点；②当SKIPIF1<0时，方程SKIPIF1<0有唯一解，设为SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0单调递减，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0单调递增，SKIPIF1<0是函数SKIPIF1<0的极小值点，即函数只有一个极值点；综上，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0无极值点，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0有一个极值点；（2）当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0对任意的SKIPIF1<0恒成立，即SKIPIF1<0对SKIPIF1<0恒成立，即SKIPIF1<0对SKIPIF1<0恒成立，记SKIPIF1<0，记SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上单调递增，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，综上所述，实数SKIPIF1<0的取值范围为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．10．已知函数SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是自然对数的底数）．（1）若对任意SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的取值范围；（2）设SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，证明：SKIPIF1<0．【解析】解：（1）SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0若SKIPIF1<0时，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上递增，且SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0不恒成立，故SKIPIF1<0不符合条件；SKIPIF1<0若SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0符合条件；SKIPIF1<0若SKIPIF1<0时，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上递减；当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上递增，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，综上，SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（2）SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，于是当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0递减；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0递增，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0递增；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0递减，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；要使SKIPIF1<0，等价于SKIPIF1<0，等价于SKIPIF1<0，由（1）知SKIPIF1<0时，得SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0时，得SKIPIF1<0，用SKIPIF1<0替代SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，用SKIPIF1<0替代SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0（当且仅当SKIPIF1<0时取等号），取SKIPIF1<0，显然SKIPIF1<0成立，综上知，SKIPIF1<0．高考预测三：函数不等式证明中的隐零点问题11．已知函数SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．（1）求SKIPIF1<0；（2）证明：SKIPIF1<0存在唯一的极大值点SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．【解析】解：（1）因为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0等价于SKIPIF1<0，求导可知SKIPIF1<0．则当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0（1）SKIPIF1<0，矛盾，故SKIPIF1<0．因为当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0、当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0（1）SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0；另解：因为SKIPIF1<0（1）SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0等价于SKIPIF1<0在SKIPIF1<0时的最小值为SKIPIF1<0（1），所以等价于SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处是极小值，所以解得SKIPIF1<0；（2）由（1）可知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，记SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上单调递减，在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上单调递增，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上存在唯一零点，所以SKIPIF1<0有解，即SKIPIF1<0存在两根SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且不妨设SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上为正、在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上为负、在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上为正，所以SKIPIF1<0必存在唯一极大值点SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可知SKIPIF1<0；由SKIPIF1<0可知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上单调递减，所以SKIPIF1<0；综上所述，SKIPIF1<0存在唯一的极大值点SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．12．已知函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）设SKIPIF1<0，①当SKIPIF1<0时，求曲线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（1）SKIPIF1<0处的切线方程；②当SKIPIF1<0时，求证：SKIPIF1<0对任意SKIPIF1<0恒成立．（2）讨论SKIPIF1<0的极值点个数．【解析】解：（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，①当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0切线方程为SKIPIF1<0；②证明：即证对任意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，只需证SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0对任意SKIPIF1<0都成立，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单减，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单增，SKIPIF1<0（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单增，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0对任意SKIPIF1<0恒成立．（2）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0只有一个极值点或三个极值点，令SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0只有一个极值点时，SKIPIF1<0的图象必穿过SKIPIF1<0轴且只穿过一次，即SKIPIF1<0为单调减函数或者SKIPIF1<0极值同号，SKIPIF1<0为单调减函数时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立，则△SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0；SKIPIF1<0极值同号时，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为极值点，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0有解，则SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，同理SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，化简得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0只有一个极值点；当SKIPIF1<0有三个极值点时，SKIPIF1<0，同理可得SKIPIF1<0，综上，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0有且仅有一个极值点；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0有三个极值点．13．设函数SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0为自然对数的底数．（1）若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的单调区间；（2）若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求证：SKIPIF1<0无零点．【解析】解：（1）若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递减，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递增．SKIPIF1<0单调递减区间为SKIPIF1<0，单调递增区间为SKIPIF1<0．（2）由SKIPIF1<0可知，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，显然SKIPIF1<0没有零点；当SKIPIF1<0时，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递增，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上存在唯一一个零点，不妨设为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上单调递增，SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，两边取对数可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，（当且仅当SKIPIF1<0时取等号），令SKIPIF1<0（a）SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（a）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0（a）SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0（a）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（a）在SKIPIF1<0上单调递增，在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上单调递减．又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（e）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0（a）SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时取等号，由SKIPIF1<0可知当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，故当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0（a）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0没有零点．14．已知函数SKIPIF1<0．（其中常数SKIPIF1<0，是自然对数的底数）（1）求函数SKIPIF1<0的极值；（2）当SKIPIF1<0时，若SKIPIF1<0恒成立，求实数SKIPIF1<0的取值范围．【解析】解：（1）SKIPIF1<0，①SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，SKIPIF1<0没有极值；②SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，在SKIPIF1<0上单调递增，函数SKIPIF1<0存在极小值，其极小值为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0没有极大值；③SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，在SKIPIF1<0上单调递减，函数SKIPIF1<0存在极大值，其极大值为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0没有极小值；（2）当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0恒成立，SKIPIF1<0恒成立，SKIPIF1<0．设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，下面证明SKIPIF1<0有唯一解．又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递增，SKIPIF1<0（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有零点，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0式等价于SKIPIF1<0，由（1）知当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递增，所以SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递增，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（1）SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0有唯一解SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因此方程SKIPIF1<0有唯一解，代入得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0有唯一解．SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递减；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递增；所以SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．即SKIPIF1<0的取值范围为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．15．已知函数SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0且SKIPIF1<0为常数，SKIPIF1<0为自然对数的底数，SKIPIF1<0．（Ⅰ）若函数SKIPIF1<0的极值点只有一个，求实数SKIPIF1<0的取值范围；（Ⅱ）当SKIPIF1<0时，若SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0恒成立，求SKIPIF1<0的最小值SKIPIF1<0的最大值．【解析】解：（Ⅰ）函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，其导数为SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0．即SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上递增，在区间SKIPIF1<0上递减，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，又当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0恒成立．SKIPIF1<0当SKIPIF1<0或SKIPIF1<0时，方程SKIPIF1<0无根，函数SKIPIF1<0只有SKIPIF1<0一个极值点．当SKIPIF1<0时，方程SKIPIF1<0的根也为SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0的因式SKIPIF1<0恒成立，故函数SKIPIF1<0只有SKIPIF1<0一个极值点．当SKIPIF1<0时，方程SKIPIF1<0有两个根SKIPIF1<0、SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0单调递减；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递增；SKIPIF1<0单调递减；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递增，此时函数SKIPIF1<0有SKIPIF1<0、1、SKIPIF1<0三个极值点．综上所述，当SKIPIF1<0或SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0只有一个极值点．（Ⅱ）依题意得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则对SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0成立．SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，注意到SKIPIF1<0，SKIPIF1<0若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0成立，这与SKIPIF1<0恒成立矛盾；当SKIPIF1<0时，因为SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上为减函数，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上单调递增，在SKIPIF1<0上单调递减，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，若对SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0成立，则只需SKIPIF1<0成立，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，则SKIPIF1<0的最小值SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上递增，在SKIPIF1<0上递减，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0的最小值SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0；综上所述，SKIPIF1<0的最小值SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0．16．已知函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为自然对数的底数．（1）当SKIPIF1<0时，讨论函数SKIPIF1<0的单调性；（2）求证：对任意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，存在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上恒有SKIPIF1<0．【解析】解：（1）SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0递减；（2）证明：当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，要证明对任意的SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则只需证明任意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0（a）SKIPIF1<0，看作以SKIPIF1<0为变量的一次函数，要使SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0恒成立，SKIPIF1<0①恒成立，对于②，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，设SKIP