高考数学(理数)一轮复习教案：7.4《基本不等式及应用》(含解析)

7.4基本不等式及应用典例精析题型一利用基本不等式比较大小【例1】(1)设x，y∈R＋，且xy－(x＋y)＝1，则()A.x＋y≥2(eq\r(2)＋1) B.x＋y≤2(eq\r(2)＋1)C.x＋y≤2(eq\r(2)＋1)2 D.x＋y≥(eq\r(2)＋1)2(2)已知a，b∈R＋，则eq\r(ab)，eq\f(a＋b,2)，eq\r(\f(a2＋b2,2))，eq\f(2ab,a＋b)的大小顺序是.【解析】(1)选A.由已知得xy＝1＋(x＋y)，又xy≤(eq\f(x＋y,2))2，所以(eq\f(x＋y,2))2≥1＋(x＋y).解得x＋y≥2(eq\r(2)＋1)或x＋y≤2(1－eq\r(2)).因为x＋y＞0，所以x＋y≥2(eq\r(2)＋1).(2)由eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)有a＋b≥2eq\r(ab)，即a＋b≥eq\f(2ab,\r(ab))，所以eq\r(ab)≥eq\f(2ab,a＋b).又eq\f(a＋b,2)＝eq\r(\f(a2＋2ab＋b2,4))≤eq\r(\f(2(a2＋b2),4))，所以eq\r(\f(a2＋b2,2))≥eq\f(a＋b,2)，所以eq\r(\f(a2＋b2,2))≥eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)≥eq\f(2ab,a＋b).【点拨】本题(2)中的结论由基本不等式简单推导而来，可作为结论使用.【变式训练1】设a＞b＞c，不等式eq\f(1,a－b)＋eq\f(1,b－c)＞eq\f(λ,a－c)恒成立，则λ的取值范围是.【解析】(－∞，4).因为a＞b＞c，所以a－b＞0，b－c＞0，a－c＞0.而(a－c)(eq\f(1,a－b)＋eq\f(1,b－c))＝[(a－b)＋(b－c)](eq\f(1,a－b)＋eq\f(1,b－c))≥4，所以λ＜4.题型二利用基本不等式求最值【例2】(1)已知x＜eq\f(5,4)，则函数y＝4x－2＋eq\f(1,4x－5)的最大值为；(2)已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的导数f′(x)，f′(0)＞0，对任意实数x，有f(x)≥0，则eq\f(f(1),f′(0))的最小值为()A.3 B.eq\f(5,2) C.2 D.eq\f(3,2)【解析】(1)因为x＜eq\f(5,4)，所以5－4x＞0.所以y＝4x－2＋eq\f(1,4x－5)＝－(5－4x＋eq\f(1,5－4x))＋3≤－2＋3＝1.当且仅当5－4x＝eq\f(1,5－4x)，即x＝1时，等号成立.所以x＝1时，ymax＝1.(2)选C.因为f(x)≥0，所以所以c≥eq\f(b2,4a).又f′(x)＝2ax＋b，所以f′(0)＝b＞0，eq\f(f(1),f′(0))＝eq\f(a＋b＋c,b)＝1＋eq\f(a＋c,b)≥1＋eq\f(4a2＋b2,4ab)≥1＋eq\f(2\r(4a2b2),4ab)＝2，当且仅当c＝eq\f(b2,4a)且4a2＝b2时等号成立.【点拨】应用基本不等式求最值时，常见的技巧是“拆或凑”，同时注意“一正、二定、三相等”这三个条件，避免出现错误.【变式训练2】已知x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列，求eq\f((a＋b)2,cd)的取值范围.【解析】由等差数列、等比数列的性质得a＋b＝x＋y，cd＝xy，所以eq\f((a＋b)2,cd)＝eq\f((x＋y)2,xy)＝2＋eq\f(x,y)＋eq\f(y,x)，当eq\f(y,x)＞0时，eq\f((a＋b)2,cd)≥4；当eq\f(y,x)＜0时，eq\f((a＋b)2,cd)≤0，故eq\f((a＋b)2,cd)的取值范围是(－∞，0]∪[4，＋∞).题型三应用基本不等式解实际应用问题【例3】某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格为1800元，面粉的保管等其他费用为平均每吨每天3元，购面粉每次需支付运费900元.(1)求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少(所购面粉第二天才能使用)；(2)若提供面粉的公司规定：当一次购买面粉不少于210吨时，其价格可享受9折优惠(即原价的90%)，问该厂是否可以利用此优惠条件？请说明理由.【解析】(1)设该厂x天购买一次面粉，其购买量为6x吨，面粉的保管等其他费用为3[6x＋6(x－1)＋…＋6×2＋6×1]＝9x(x＋1).设平均每天所支付的总费用为y1，则y1＝eq\f(1,x)[9x(x＋1)＋900]＋6×1800＝eq\f(900,x)＋9x＋10809≥2＋10809＝10989，当且仅当9x＝eq\f(900,x)，即x＝10时，取等号.即该厂应10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少.(2)若厂家利用此优惠条件，则至少应35天购买一次面粉，设该厂利用此优惠条件后，每x(x≥35)天购买一次面粉，平均每天支付的总费用为y2，则y2＝eq\f(1,x)[9x(x＋1)＋900]＋6×1800×0.9＝eq\f(900,x)＋9x＋9729(x≥35).因为y2′＝9－eq\f(900,x2)，当x≥35时，y2′＞0.所以y2＝eq\f(900,x)＋9x＋9729在[35，＋∞)上是增函数.所以x＝35时，y2取最小值eq\f(70488,7).由eq\f(70488,7)＜10989知，该厂可以利用此优惠条件.【点拨】解决这类应用题，首先要依题意构造出相应的数学模型，并通过适当的变形使所得到的模型符合基本不等式的结构，再求最值.当等号不能成立时，常利用函数的单调性来处理.【变式训练3】已知a＞0，b＞0，且2a＋b＝1，求S＝2eq\r(ab)－4a2－b2的最大值.【解析】因为a＞0，b＞0,2a＋b＝1，所以4a2＋b2＝(2a＋b)2－4ab＝1－4ab，且1＝2a＋b≥2eq\r(2ab)，即eq\r(ab)≤eq\f(\r(2),4)，ab≤eq\f(1,8).所以S＝2eq\r(ab)－4a2－b2＝2eq\r(ab)－(1－4ab)＝2eq\r(ab)＋4ab－1≤eq\f(\r(2)－1,2)，当且仅当a＝eq\f(1,4)，b＝eq\f(1,2)时，等号成立.总结提高1.基本不等式的几种常见变形公式：ab≤(eq\f(a＋b,2))2≤eq\f(a2＋b2,2)(a，b∈R)；eq\f(2ab,a＋b)≤eq