(新高考)高考数学三轮冲刺解答题核心考点练第18讲《恒成立问题与存在性问题》（解析版）

第18讲恒成立问题与存在性问题高考预测一：不等式的恒成立问题1．已知函数SKIPIF1<0，在点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0处的切线方程为SKIPIF1<0．（1）求SKIPIF1<0的解析式；（2）求证：当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；（3）设实数SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0对SKIPIF1<0恒成立，求SKIPIF1<0的最大值．【解析】解：（1）SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0；（2）原命题等价于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0递增，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（3）SKIPIF1<0对SKIPIF1<0恒成立，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0恒成立，即SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0递增，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，令SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的变化如下：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<00SKIPIF1<0SKIPIF1<0递增极大值递减SKIPIF1<0，显然不成立，综上，满足条件的SKIPIF1<0的最大值是2．2．已知函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）讨论SKIPIF1<0的单调性；（2）若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的取值范围．【解析】解：（1）SKIPIF1<0，①SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0恒成立，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递减，②SKIPIF1<0时，由SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递增，在SKIPIF1<0单调递减；（2）由（1）可得，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递减，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递增，在SKIPIF1<0单调递减，SKIPIF1<0（a）SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0（a）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，易知函数SKIPIF1<0（a）在SKIPIF1<0单调递增，又SKIPIF1<0（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0（a）SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，满足题意，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0（a）SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，不满足题意，综上所述SKIPIF1<0的取值范围为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．3．已知函数SKIPIF1<0．（1）讨论SKIPIF1<0的单调性；（2）若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的取值范围．【解析】解：（1）SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0递增，当SKIPIF1<0时，令SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0递减，在SKIPIF1<0递增；（2）SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0递增，SKIPIF1<0恒成立，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0（a）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（a）SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0（a）递减，又SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，综上：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．4．已知函数SKIPIF1<0，其中实数SKIPIF1<0．（Ⅰ）判断SKIPIF1<0是否为函数SKIPIF1<0的极值点，并说明理由；（Ⅱ）若SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上恒成立，求SKIPIF1<0的取值范围．【解析】解：（Ⅰ）由SKIPIF1<0可得函数SKIPIF1<0定义域为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，经验证SKIPIF1<0（1）SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的判别式△SKIPIF1<0，由二次函数性质可得，1是函数SKIPIF1<0的异号零点，所以1是SKIPIF1<0的异号零点，所以SKIPIF1<0是函数SKIPIF1<0的极值点．（Ⅱ）已知SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时，在区间SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上SKIPIF1<0，所以函数SKIPIF1<0单调递减，所以有SKIPIF1<0恒成立；当SKIPIF1<0时，在区间SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上SKIPIF1<0，所以函数SKIPIF1<0单调递增，所以SKIPIF1<0，所以不等式不能恒成立；所以SKIPIF1<0时，有SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0，SKIPIF1<0恒成立．5．设函数SKIPIF1<0．若对所有的SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0成立，求实数SKIPIF1<0的取值范围．【解析】解法一：令SKIPIF1<0，对函数SKIPIF1<0求导数：SKIPIF1<0令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，对所有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上是增函数，又SKIPIF1<0，所以对SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0，即当SKIPIF1<0时，对于所有SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0．SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，对于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0是减函数，又SKIPIF1<0，所以对SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0，即当SKIPIF1<0时，不是对所有的SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0成立．综上，SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．解法二：令SKIPIF1<0，于是不等式SKIPIF1<0成立即为SKIPIF1<0成立．对函数SKIPIF1<0求导数：SKIPIF1<0令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为增函数，当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为减函数，所以要对所有SKIPIF1<0都有SKIPIF1<0充要条件为SKIPIF1<0．由此得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．6．已知函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为常数，SKIPIF1<0是自然对数的底数），SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的导函数，且SKIPIF1<0，（1）求SKIPIF1<0的值；（2）对任意SKIPIF1<0，证明：SKIPIF1<0；（3）若对所有的SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0成立，求实数SKIPIF1<0的取值范围．【解析】解：（1）SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0（3分）（2）证明：令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0单调递增，从而有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0（8分）（3）令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，所以SKIPIF1<0，从而对所有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上是增函数．故有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0即当SKIPIF1<0时，对于所有SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0．SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，对于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上是减函数，所以对于SKIPIF1<0有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以，当SKIPIF1<0，不是所有的SKIPIF1<0都有SKIPIF1<0成立，综上，SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（14分）7．设函数SKIPIF1<0．（Ⅰ）求函数SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0处的切线方程；（Ⅱ）求SKIPIF1<0的极小值；（Ⅲ）若对所有的SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0成立，求实数SKIPIF1<0的取值范围．【解析】解：（Ⅰ）SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，切点为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所求切线方程为SKIPIF1<0．SKIPIF1<0（2分）（Ⅱ）设SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0；SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0；SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0；则SKIPIF1<0．SKIPIF1<0（6分）（Ⅲ）令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0；SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0；SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0；（1）当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0对所有SKIPIF1<0时，都有SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0恒成立，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上是增函数．又SKIPIF1<0，于是对所有SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0成立．故当SKIPIF1<0时，对所有的SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0成立．（2）当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0对所有SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0恒成立，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上是减函数．又SKIPIF1<0，于是对所有SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0．故当SKIPIF1<0时，只有对仅有的SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0．即当SKIPIF1<0时，不是对所有的SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0．综合（1），（2）可知实数SKIPIF1<0的取值范围SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0（12分）8．设函数SKIPIF1<0．（Ⅰ）求SKIPIF1<0的单调区间；（Ⅱ）如果对任何SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的取值范围．【解析】解：（Ⅰ）SKIPIF1<0．（2分）当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．因此SKIPIF1<0在每一个区间SKIPIF1<0是增函数，SKIPIF1<0在每一个区间SKIPIF1<0是减函数．（6分）（Ⅱ）令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．故当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．（9分）当SKIPIF1<0时，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．故当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0．因此SKIPIF1<0在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上单调增加．故当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．于是，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0．当SKIPIF1<0时，有SKIPIF1<0．因此，SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0．（12分）9．设函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（Ⅰ）证明：SKIPIF1<0；（Ⅱ）若对所有的SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0，求实数SKIPIF1<0的取值范围．【解析】（Ⅰ）证明：令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0递减，在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0递增，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0即SKIPIF1<0成立．（Ⅱ）解：记SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0恒成立，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0递增，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0①当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0成立，即SKIPIF1<0在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0递增，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0成立；②当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0递增，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0必存在SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0恒成立矛盾，故SKIPIF1<0舍去．综上，实数SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0．10．设函数SKIPIF1<0，其中常数SKIPIF1<0．（1）讨论SKIPIF1<0的单调性；（2）若当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0恒成立，求SKIPIF1<0的取值范围．【解析】解：（1）SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0知，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0是增函数；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0是减函数；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0是增函数．综上，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0和SKIPIF1<0是增函数，在区间SKIPIF1<0是减函数．（2）由（1）知，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0或SKIPIF1<0处取得最小值SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由假设知SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．11．已知函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（1）证明SKIPIF1<0为奇函数，并在SKIPIF1<0上为增函数；（2）若关于SKIPIF1<0的不等式SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立，求实数SKIPIF1<0的取值范围；（3）设SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的最大值．【解析】解：（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0为奇函数SKIPIF1<0SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上增，（2）由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，变形得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0只要大于或等于右边式子的最大值即可令SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0；（3）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，等号仅当SKIPIF1<0时成立，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增．而SKIPIF1<0，所以对任意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0．而SKIPIF1<0，因此当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，不满足要求．综上SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的最大值为2．12．设函数SKIPIF1<0且SKIPIF1<0（1）求函数SKIPIF1<0的单调区间；（2）已知SKIPIF1<0对任意SKIPIF1<0成立，求实数SKIPIF1<0的取值范围．【解析】解：（1）函数的导数为SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，即函数在SKIPIF1<0上单调递增，在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0及SKIPIF1<0上单调递减．（2）因为SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，即求函数SKIPIF1<0的最大值即可．由（1）知，函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上单调递减，所以函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，当SKIPIF1<0时取得最大值为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即实数SKIPIF1<0的取值范围SKIPIF1<0．13．设函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（Ⅰ）判断函数SKIPIF1<0的单调性；（Ⅱ）当SKIPIF1<0上恒成立时，求SKIPIF1<0的取值范围；（Ⅲ）证明：SKIPIF1<0．【解析】解：SKIPIF1<0（2分）（Ⅰ）SKIPIF1<0所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0是增函数SKIPIF1<0（4分）当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上是增函数，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上是减函数SKIPIF1<0（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上不恒成立；SKIPIF1<0（8分）当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处取得最大值为SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立，即SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立．所以当SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立时，SKIPIF1<0的取值范围为SKIPIF1<0（10分）（Ⅲ）由（Ⅱ）知当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0（当且仅当SKIPIF1<0时等号成立），令SKIPIF1<0，则得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（12分）从而得SKIPIF1<0，由函数SKIPIF1<0的单调性得SKIPIF1<0（14分）14．已知函数SKIPIF1<0的定义域是SKIPIF1<0．（1）求函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上的最小值；（2）SKIPIF1<0，不等式SKIPIF1<0恒成立，求实数SKIPIF1<0的取值范围．【解析】解：（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上递减；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上递增．SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上递增，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上递减，在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上递增，SKIPIF1<0（1）SKIPIF1<0．SKIPIF1<0SKIPIF1<0．（2）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0恒成立，即SKIPIF1<0恒成立．由（1）可知，SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时取等号，又SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时取等号，SKIPIF1<0当且仅当SKIPIF1<0时，有SKIPIF1<0．SKIPIF1<0．15．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（Ⅰ）若函数SKIPIF1<0在其定义域上是增函数，求实数SKIPIF1<0的取值范围；（Ⅱ）当SKIPIF1<0时，对于任意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，均有SKIPIF1<0恒成立，试求参数SKIPIF1<0的取值范围．【解析】解：（Ⅰ）函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，对于任意SKIPIF1<0上，满足SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时，取最大值5，所以SKIPIF1<0．（Ⅱ）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递增，在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递减，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0恒成立，满足SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．16．已知函数SKIPIF1<0SKIPIF1<0是实数）．（1）当SKIPIF1<0时，求函数SKIPIF1<0在定义域上的最值；（2）若函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上是单调函数，求SKIPIF1<0的取值范围．【解析】解：（1）SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上单调递减，在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上单调递增，因此SKIPIF1<0时函数SKIPIF1<0取得极小值即最小值，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0函数SKIPIF1<0在定义域上有最小值为SKIPIF1<0，无最大值．（2）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0恒成立，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上是单调函数．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上是单调函数．SKIPIF1<0SKIPIF1<0时SKIPIF1<0恒成立，解得SKIPIF1<0，综上所述SKIPIF1<0的取值范围为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．17．设函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（Ⅰ）当SKIPIF1<0为自然对数的底数）时，求SKIPIF1<0的极小值；（Ⅱ）讨论函数SKIPIF1<0零点的个数；（Ⅲ）若对任意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0恒成立，求SKIPIF1<0的取值范围．【解析】解：（Ⅰ）SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取得极小值SKIPIF1<0（e）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的极小值为2；（Ⅱ）由题设SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的唯一极值点，且是极大值点，SKIPIF1<0也是SKIPIF1<0的最大值点，SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0（1）SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0，结合SKIPIF1<0的图象（如图所示），可知①当SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0无零点；②当SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0有且只有一个零点；③当SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0有两个零点；④当SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0有且只有一个零点SKIPIF1<0，综上所述，当SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0无零点；当SKIPIF1<0或SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0有且只有一个零点；当SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0有两个零点；（Ⅲ）对任意的SKIPIF1<0，SKIPIF1<0恒成立，等价于SKIPIF1<0恒成立SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0等价于SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，由SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立，得SKIPIF1<0恒成立，SKIPIF1<0（对SKIPIF1<0，SKIPIF1<0仅在SKIPIF1<0时成立），SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．18．已知函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（Ⅰ）当SKIPIF1<0时，求函数SKIPIF1<0的极值；（Ⅱ）当SKIPIF1<0时，讨论函数SKIPIF1<0单调性；（Ⅲ）是否存在实数SKIPIF1<0，对任意的SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0恒成立？若存在，求出SKIPIF1<0的取值范围；若不存在，说明理由．【解析】解：（Ⅰ）当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．当SKIPIF1<0或SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递增；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递减，所以SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0．（Ⅱ）当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，①当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0单调递增；由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0单调递减；②当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立，此时SKIPIF1<0单调递增；③当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0单调递增；由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0单调递减．综上：当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0增区间为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，减区间为SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0增区间为SKIPIF1<0，无减区间；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0增区间为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，减区间为SKIPIF1<0．（Ⅲ）假设存在实数SKIPIF1<0，对任意的SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0恒成立，不妨设SKIPIF1<0，则由SKIPIF1<0恒成立可得：SKIPIF1<0恒成立，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，所以SKIPIF1<0恒成立，即SKIPIF1<0恒成立，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0恒成立，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0时恒成立，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，对任意的SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0恒成立．高考预测二：不等式存在性问题19．设函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，曲线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（1）SKIPIF1<0处切线的斜率为0．（1）求SKIPIF1<0的值；（2）若存在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的取值范围．【解析】解：（1）函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，导数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0曲线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（1）SKIPIF1<0处的切线斜率为0，SKIPIF1<0（1）SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．（2）函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，由（1）可知：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．①当SKIPIF1<0时，则SKIPIF1<0，则当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递增，SKIPIF1<0存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0的充要条件是SKIPIF1<0（1）SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0；②当SKIPIF1<0时，则SKIPIF1<0，则当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减；当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上单调递增．SKIPIF1<0存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0的充要条件是SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，不符合题意，应舍去．③若SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0（1）SKIPIF1<0，成立．综上可得：SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．20．设函数SKIPIF1<0，曲线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（1）SKIPIF1<0处的切线的斜率为0．（1）求SKIPIF1<0的值；（2）设SKIPIF1<0，若存在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的取值范围．【解析】解：（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0曲