(新高考)高考数学三轮冲刺解答题核心考点练第15讲《利用几何性质解决解析几何问题》（解析版）

第15讲利用几何性质解决解析几何问题1．在平面直角坐标系SKIPIF1<0中，已知椭圆SKIPIF1<0的左、右顶点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，右焦点为SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0且斜率为SKIPIF1<0的直线交椭圆SKIPIF1<0于另一点SKIPIF1<0．（1）求椭圆的离心率；（2）若SKIPIF1<0，设直线SKIPIF1<0，延长SKIPIF1<0交直线SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，线段SKIPIF1<0的中点为SKIPIF1<0，求证：点SKIPIF1<0关于直线SKIPIF1<0的对称点在直线SKIPIF1<0上．【解析】解：（1）椭圆SKIPIF1<0的SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0时，椭圆方程为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，可得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，可得直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，即有SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0，而直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0关于直线SKIPIF1<0的对称点在直线SKIPIF1<0上．2．已知点SKIPIF1<0为抛物线SKIPIF1<0的焦点，点SKIPIF1<0在抛物线SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，（Ⅰ）求抛物线SKIPIF1<0的方程；（Ⅱ）已知点SKIPIF1<0，延长SKIPIF1<0交抛物线SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，证明：以点SKIPIF1<0为圆心且与直线SKIPIF1<0相切的圆，必与直线SKIPIF1<0相切．【解析】解法一：SKIPIF1<0由抛物线定义可得：SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．SKIPIF1<0抛物线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0；SKIPIF1<0证明：SKIPIF1<0点SKIPIF1<0在抛物线SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，不妨取SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0直线SKIPIF1<0的方程：SKIPIF1<0，联立SKIPIF1<0，化为SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0轴平分SKIPIF1<0，因此点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的距离相等，SKIPIF1<0以点SKIPIF1<0为圆心且与直线SKIPIF1<0相切的圆，必与直线SKIPIF1<0相切．解法二：SKIPIF1<0同解法一．SKIPIF1<0证明：点SKIPIF1<0在抛物线SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，不妨取SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0直线SKIPIF1<0的方程：SKIPIF1<0，联立SKIPIF1<0，化为SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0，可得直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的方程分别为：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离SKIPIF1<0，同理可得点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离SKIPIF1<0．因此以点SKIPIF1<0为圆心且与直线SKIPIF1<0相切的圆，必与直线SKIPIF1<0相切．3．已知点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0关于坐标原点SKIPIF1<0对称，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0且与直线SKIPIF1<0相切．（1）若SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0上，求SKIPIF1<0的半径；（2）是否存在定点SKIPIF1<0，使得当SKIPIF1<0运动时，SKIPIF1<0为定值？并说明理由．【解析】解：（1）因为SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以圆心SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的垂直平分线上．由已知SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0关于坐标原点SKIPIF1<0对称，所以SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0上，故可设SKIPIF1<0．因为SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0相切，所以SKIPIF1<0的半径为SKIPIF1<0．由已知得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，故可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．故SKIPIF1<0的半径SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．（2）存在定点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0为定值．理由如下：设SKIPIF1<0，由已知得SKIPIF1<0的半径为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．由于SKIPIF1<0，故可得SKIPIF1<0，化简得SKIPIF1<0的轨迹方程为SKIPIF1<0．因为曲线SKIPIF1<0是以点SKIPIF1<0为焦点，以直线SKIPIF1<0为准线的抛物线，所以SKIPIF1<0．因为SKIPIF1<0，所以存在满足条件的定点SKIPIF1<0．4．已知椭圆SKIPIF1<0的左顶点为SKIPIF1<0，两个焦点与短轴一个顶点构成等腰直角三角形，过点SKIPIF1<0且与SKIPIF1<0轴不重合的直线SKIPIF1<0与椭圆交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0不同的两点．（Ⅰ）求椭圆SKIPIF1<0的方程；（Ⅱ）当SKIPIF1<0与SKIPIF1<0垂直时，求SKIPIF1<0的长；（Ⅲ）若过点SKIPIF1<0且平行于SKIPIF1<0的直线交直线SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，求证：直线SKIPIF1<0恒过定点．【解析】解：（Ⅰ）因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0因为两个焦点与短轴一个顶点构成等腰直角三角形，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以椭圆方程为SKIPIF1<0（Ⅱ）设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0与SKIPIF1<0垂直，所以点SKIPIF1<0在以SKIPIF1<0为直径的圆上，又以SKIPIF1<0为直径的圆的圆心为SKIPIF1<0，半径为SKIPIF1<0，方程为SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（舍SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0（Ⅲ）直线SKIPIF1<0恒过定点SKIPIF1<0设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由题意，设直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，显然，△SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0平行，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的直线方程为SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0因为SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以直线SKIPIF1<0恒过定点SKIPIF1<0．5．在平面直角坐标系SKIPIF1<0中，点SKIPIF1<0与点SKIPIF1<0关于原点SKIPIF1<0对称，SKIPIF1<0是动点，且直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的斜率之积等于SKIPIF1<0．（Ⅰ）求动点SKIPIF1<0的轨迹方程；（Ⅱ）设直线SKIPIF1<0和SKIPIF1<0分别与直线SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，问：是否存在点SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的面积相等？若存在，求出点SKIPIF1<0的坐标；若不存在，说明理由．【解析】解：（Ⅰ）因为点SKIPIF1<0与SKIPIF1<0关于原点SKIPIF1<0对称，所以点SKIPIF1<0得坐标为SKIPIF1<0．设点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0SKIPIF1<0化简得SKIPIF1<0．故动点SKIPIF1<0轨迹方程为SKIPIF1<0（Ⅱ）解：若存在点SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的面积相等，设点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0则SKIPIF1<0．因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0故存在点SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的面积相等，此时点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0．6．如图，已知椭圆SKIPIF1<0左、右焦点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，右顶点为SKIPIF1<0，上顶点为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为椭圆上在第一象限内一点．（1）若SKIPIF1<0，求椭圆的离心率；（2）若SKIPIF1<0，求直线SKIPIF1<0的斜率SKIPIF1<0．【解析】解：（1）因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以椭圆的离心率为SKIPIF1<0；（2）设直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍去），即SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0．7．如图，在平面直角坐标系SKIPIF1<0中，椭圆SKIPIF1<0的焦点为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0轴的垂线SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0轴的上方，SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0，与椭圆SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0．连结SKIPIF1<0并延长交圆SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，连结SKIPIF1<0交椭圆SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，连结SKIPIF1<0．已知SKIPIF1<0．（1）求椭圆SKIPIF1<0的标准方程；（2）求点SKIPIF1<0的坐标．【解析】解：（1）如图，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则椭圆方程为SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．SKIPIF1<0椭圆SKIPIF1<0的标准方程为SKIPIF1<0；（2）由（1）知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，联立SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0．解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍SKIPIF1<0．SKIPIF1<0SKIPIF1<0