课件-现代控制线性系统

2.由系统微分方程建立状态空间表达式。1)

系统输入中不含导数项.例1.设解：选

y

5

y

8

y

6

y

3u求状态空间表达式。x2

yx1

yx3

y则：

5x3x1

x2.x2

x3.

8x2

x3

y

3u

6x1y

x1状态空间表达式为

1

x

0u2

0

x1

02

x·3

x·

0

x·1

2

x

3

0 0

x

5x3

a

2

x

1

y

1

0

10

6

8

a

0

a

1

3

0如果单输入—单输出线性定常连续系统的微分方程的一般形式为：a0

y

0u1y(n2)y(n)

a

y(n1)

an1

n2则状态空间表达式为：·a

yx

Ax

buy

cx其中：

x

n

x

x

x

n

1

2x1

0

an1

A

0

0

0

.a0

a1

a2

.1

0

1

0

.0

1

.00

0

0

0

0

b

c

10

.

02)

系统输入量中含有导数项如果单输入—单输出系统的微分方程为：一般输入量中导数项的次数小于或等于系统的次数n。为了避免在状态方程中出现u的导数项，可以选择如下的一组状态变量。1

0n1y(n)

ay(n1)

…

a y

a y

bnu(n)

bn1u(n1)

…

b1

u

b0ux

n

1x

n

x

n

1

hn

1

u

x

n

2

hn

2

ux

i

x

i

1

hi

1

ux1

y

h

0

ux

2

x

1

h1

u即：x1

y

h0u

y

x1

h0u

x2

y

h0

u

h1u

y

x2

h0

u

h1u

h0

u

h1

u

h2

uy

x3

x3

y

h0

u

h1

u

h2

uun

0

1

n1x

y(n1)

h

u(n1)

hu(n2)

…

hnn1

h

u(

n1)

h

u(

n2)0

1y(

n1)

x

…

h

uxnn

1

h

u

(

n

1)1

h

u

(

n

)0

y

(

n

)

…

h

u等公式代入得：n

1

h

u

(

n

1)10

y

(

n

)

h

u

(

n

)xn

…

h

u1

0y(n)

an2y(n1)

an1y(n2)

…

a y

a

yn1

0

b

b

u

(

n

)u

(

n

1)n

1

…

b u

b

u

将y,y,y,…,y(n1),y(n)0

11

2y

(

n

)

an

1

xn

an

2

xn

1

…

a

x

a

x

a(h

u

(

n

1)

h

u

(

n

2

)n

1

0

1

…

h

u)n

1u)

a(h

u(n2)

h

u(n3)

…

hn2

0

1

n2

…

a1

(h0

u

h1u

)

a

0

h0u

bnu

(

n

)(

n

1)

bn

1

u

…

b1u

b0

uxn

a0

x1

a1x2

…

an2

xn1

an1xnn1

0h

)u(

n1)

(b

h

)u(n)

(b

h

an

0

n1

1n

1

1n

2

0h

)u

(

n

2

)

(bn

2

h2

ah

a

…

b1

hn1

an1hn2

(b0

an1hn1

an2hn2

an2

hn3

a1h0

)

u…

a1h1

a0h0

)u选择h0

,h1

,…hn

1

，使得上式中u的各阶导数项的系数都等于0，即可解得：hn1

b1

an1hn2h0

bnh1

bn1

an1h0

an2

h0

an1h1

an3h0

an2

h1

an1h2

an2

hn3

…

a1h0h2

bn2h3

bn3…令上式中u的系数为

hn

，则：

hnu

a0

x1

a1

x2

hn

1u

x3

h2u

…

an

2

xn

1

an

1

xnx·nx·n

1

xnx·2…hn

b0

an1hn1

an2hn2最后可得系统的状态方程：x·1

x2

h1u…

a1h1

a0

h0可写成矩阵的形式：x·

Ax

buy

cx

du即：2

0

n1

a010…001…0:::0a10a2…

1…

an

x·n

:

:x·

0

x·

0

x·1

xn1

x1

hn

x

h

2

hn1

2

h1

:

:

u01

xn

x1

x

y

1

:

x

n

0

…

0

2

h

u则：

例2：y

4

y

2

y

y

u

u

3u

试写出它的状态空间表达式。解：n

3,

b3

0,

b2

1,

b1

1,

b0

3a

0

1,

a1

2,

a

2

4

0

a

2

h

0

1h

0

b

3h1

b

2状态空间表达式为h3

b0

a2h2

a1h1

a0h0

13h2

b1

a2

h1

a1h0

3

2

2

2

13

x3

0

0

x

y

1

4x3

0

1

0

1

x

3u1

2

x1

0

x1

1

x·3

x·

0

x·1

补充题：y

28

y196

y

740

y

360u

440u

试写出它的状态空间表达式。解：n

3,

b3

0,

b2

0,

b1

360

,

b0

440a

0

740

,

a1

196

,

a

2

28h

0

b

3

0h1

b

2

a

2

h

0

0h

2

b1

a

2

h1

a

1

h

0

360h

3

b

0

a

2

h

2

a

1

h1

a

0

h

0

9640

2

2

2

9640

0360

7400100x3

0

0

x

x1

y

1u10

196

28

x3

x

x1

x·3

x·

x·1

状态空间表达式为：3.传递函数化为状态空间表达式。一般的单输入—单输出系统

都简称为SI/SO（single

input/single

out)系统，而SI/SO系统的传递函数一般可表示成S的有理分式，即根据传递函数极点情况可分成三种情况：u

(

s

)sn

an1sn1

…

a0w(s)

y

(

s

)

bn

sn

n1bn1s

…b0①

极点互异。可把传递函数化成单元的因式相加的形式，从结构上看，是一种并联结构。设互异的极点为即有传递函数s

i

(

i

1,

2

,

…

,

n

)nk

is

si

i

1

y

(

s

)u

(

s

)w

(

s

)

系数ki

lim(s

si

)w(s)s

sii

1,2,…,

n因此有)u(s)kn

s

snk1

k2

s

s1

s

s2y(s)

(

…

ix

上式表明输出为各个单元的和，若设每个单元环节的输出为状态变量，即有：

u

(

s

)则：xis

si

u(i

1,2,…,

n)

si

xi状态空间表达式x·:x·n2

2

s1

x1

u

s

x

un

n

s

x

u2x·1

n

x

x

:

x

2

x1

矩阵向量形式：

n

n

s

x

10

x

1

2

u0

x1

12:…:

:

0

:

:0s1

0

…

0

s

…x·

y

k1

k2

…

kn

x传递函数极点互异，可化成单元环节的并联结试求其对角线标准形。s

2UY

((ss))s

3s3

2构，对应着对角形系数阵。[例]考虑由下式确定的系统：12

s

1

s

2s2s

3

s

3U

(s)

3s

2 (s

1)(s

2)解：Y

(s)

1

2x

(t)

2

0

x1

(t)

1u(t)0对角线标准形为：x·1(t)

1x

(t)

2

1]x1

(t)

x·

(t)

2

y(t)

[2

重极点的传递函数，可由部分分式展开成和式，再将此和式改成单元因子表达式，②含有重极点（极点s1有n重）设极点s1

有n重，即有：式中的系数：11i1k

lim

1

d

i1[w(s)(s

s

)n

](i1)!

dsi1ssi

1

,

2

,

…

,

n现设状态变量为：k11u(s)ss1(ss1)nw(s)

y(s)

k12(ss1)n1

…

k1n21n

u

(

s

)

s

s1 u

(

s

)

(

s

s1

)

nx

(

s

)

x

(

s

)

x

(

s

)

u

(

s

)

(s

s1

)

n

1:逐次代换，可得：21n

u

(

s

)

s

s

1x

2

(

s

)s

s

1x

3

(

s

)s

s

1x

(

s

)

x

(

s

)

x

(

s

)

:这就相当于串联的形式，一阶微分方程组：x·

1x·

2s

1

x

1s

1

x

2x

2x

3:x·

ns

1

x

n

u可得状态空间表达式s

1

0

1

0

01

1

:

::

x

0

u

:

0

0

0

…

s

s1

1

0

…

0

1

…x·

:k12…

k1n

xy

k11例：设传递函数(

s2)3试写出系统的状态空间表达式。w(s)

2s2

5s1

(s2)k13(s2)2k12(

s2)3k11解：w(s)

而13k12k11k

1

lim [(

s

2)

3

w

(

s

)]

2

lim

(

s

2)

3

w

(

s

)

19s

2ds

2d

22!

s

2ds

lim

d

[(

s

2)

3

w

(

s

)]

13s

2则状态空间表达式为：1

2

1

x

0

u2

x

3

13 2

x0

x1

0

2

1

20

02

x·

3

y

19

x·

0

x·1

③传递函数既有单极点又有重极点将前面两种方法结合起来即可得到设传递函数的分母多项式是n阶，具有k个单极点及m个重极点。总阶数为s

1

,

s

2

…

s

ks

k

1

,

s

k

1

…

s

k

1:s

k

m

,

s

k

m

…

s

k

mk

个单极点l

1

重极点l

m

重极点n

k

l1

…

lm确定系数即可写出状态空间表达式kkssk…k1ss1

w(s)

…kk

1,l1ssk

1…(

ssk

1

)l1kk

1,1s

sk

mkk

m

,1(

s

sk

m

)lm

…

kk

m

,lmsk

0u

xk

1x

0k

1

x1

1

:

:

:

1

:

:

:

:1k

ms1……0

:

00

•

•

:

:

•1

0

1sk

m0:0

:0

0

0

…sk

m

xn•sk

110…0sk

11…:0:•••000…00:1sk

1

:

k

:

x·

x·

k

1

x·1

s1m]x1kk

m,lkk

m,1kk

1,lkk

1,1………

:

:

x·n

:

y

[k1

…

kk上面讲了由系统的传递函数来列写状态空间表达式的几种方法，如果单输入—单输出系统的传递函数为：G

(s)

bn

s

n

bn

1s

n

1

…

b1s

b0s

n

an

1s

n

1

…

a1s

a0将它化为状态空间表达式的形式：x·

Ax

buy

Cx

Du这就称系统{A，b，C，D}，是G（s）的一个实现。如果G（s）的分子与分母没有公因子，即G（s）是不可约的。对于单输入—单输出的线性定常系统来

说，若其传递函数是可实现的，则可有无穷多个不同的状态方程的实现，这些状态方程可有相同阶数或不同阶数，但它们的阶数不会小于传递函数的次数（特征方程的次数）。这时维数最小的实现等于G（s）分母的阶数n，这时系统{A，b，C，D}称为G（s）的一个最小实现—最小实现又称为不可约实现。如果sk1n

x1100

11

0:

x

:

u

0

s1

0

0

:0

0

0

…y

k11

k12

.s1

1

…

0

0

s

1

…x·

:u(s)11

12

1n(ss1

)n

(ss1

)n1

ss1G(s)

y(s)

k

k

…

k 即极点s1

有n重，则可得状态空间表达式为：这时称系统{A，b，C}为G（S）的约当型最小实现。部分分式的形式，1设G（s）（不可约）有5个极点

1

，1

，2

及3，其中1为3重特征根，将G（s）写成

s3k3s2k2s1k13(s1

)2k12(s1

)3k11G(s)

写成状态空间表达式的形式系统{A，b，C}即为G（s）的约当最小实现210

10

0

1

0

x

1

u

0

0

0

0y

k113

k

2

k

3

x0

0

0

0

0k12

k131

1

0

0 0

1

0x·

0

0

1

0若传递函数中已经写成极点的形式，用上述方法当然很好，但如果极点较难求取，该用什么办法来列写系统的状态空间表达式呢？应用长除法：D

(

S

)nnu

(

s

)

N

(

s

)

b

bG

(s)

y

(

s

)s

n

an

1s

n

1

…

a1s

a0bn

s

n

bn1s

n

1

…

b1s

b0s

n

an1s

n1

…

a1s

a0

n

1s

n

1

n

2

s

n

2

…

1

s

0不可约的上式中的系数用长除法得到：

bn

2

a

n

2

bn

bn

1

a

n

1

bn

n

2

n

1

0

b

0

a

0

bn

1

b1

a1

bn:D(

s)④如果把

N

(s)

写成串联分解的形式y01n1n1u

1

z

s…

s

sn

an1sn1

…a1sa0

z

(

s

)u

(

s

)

1

s

n

an

1s

n1

…

a1s

a0n1z(n)

az(n1)…

a

z·

a

z

u1

0选取状态变量01

s

n

1n

1

y

(

s

)z

(

s

)

…

s

y

n

1

z

(

n

1)

…

1

z·

0

z321n

z

(

n

1)x

z,

x

z,

x

z,…

,

x则状态方程为：n

uz

(

n

1)n

1

a0

x1

a1

x2

…

an

1

xn

u

a0

z

a1

z·

…

ax·x·1

x2x·2:

x3输出方程为：y

0

x1

1x2

…

n1

xn写成矩阵形式为：x·

Ax

buy

Cx

0

0A

;

0a010…001…0;;;00…1a1a2…an

1000

b

;

1C

0

,

1

…

n

1

这样的A阵又称友矩阵，若状态方程中的A，b具有这种形式，则称为可控

。当系统{A，b，C，D}称为G（s）的可控标准形最小实现。

N

(

s

)

D

(

s

)nG

(

s

)

b

时，A，b不变。y

Cx

bnu若设则展开式为：当bn

0

时，1

b10

b0n1

bn1n

y

xi

1

ai

y

iuu

(

s

)G

(s)

y

(

s

)bn

s

n

bn

1s

n

1

…

b1s

b0s

n

an

1s

n

1

…

a1s

a01

1

132

a

a

a2

a y

u

yx

xu

(

n3)n2y

(

n3)n2y

(

n2)

u

(

n2)n1

n1x

x2

a

y

b

u

y

(

n1)

a2

n2

y

(

n4)

u

(

n4)n2y

(

n3)u

(

n3)n1

n1(

n2)n

x

ay

u

y

an1

n1

n1n1y

uxn1xn2

…

a1

y

1u

…

a2

y

2u

xn1

an2

y

n2u

y

an1

y

n1

u

an2

y

n2u化为微分方程的形式：1

…

a1

y·

1u·

x·

y(n)

au(n2)n2y(n2)n2u(n1)

an1y(n1)n1

N

(

S

)D

(

S

)s

n

an

1s

n

1

…

a1s

a0又:

n

1s

n

1

n

2

s

n

2

…

1s

0

ay

(

n

)

y

(

n

1)

n

1u

n

1(

n

1)

…

u·

1

u1

00

…

a

y·

a

y

x·1

a0

y

0u

a0

xn

0u列出状态方程：

xn

1

an

1

xnx·n

1

xn

2

an

2

xn

n

1u

n

2u

x1

a1

xn

1ux·nx·2则列写向量—矩阵形式：

u1

an1

01n1

x

2

•

•

•

••

0x·

00

0

…

0

a00

…

0

a11

…

0

a20

…

1则y

0…

0 1

x101

010

n1

b

•

12•

•0

…

0

a0

0

…

0

aA

0

1

…

0

a

•

•0

…1

an

C

0

0

…

1{A，b，C}称为G（s）的可观测型最小实现此处：A为友矩阵的转置，若A，c具有这种，由此可见，可控的各矩阵之间存在如形式，则称可观测与可观测下关系：A

ATC

Ob

CTc

OC

bTC

O下标c表示可控，o表示可观测[例]考虑由下式确定的系统：s

2U

(s)

3s

2Y

(s)

s

3

1x

(t)

2

1]x1

(t)

y(t)

[3x.

(t)

2

3x

(t)

2

2

试求其状态空间表达式之可控标准形、可观测标准形。解：可控标准形为：x.1(t)

0

1

x1

(t)

0u(t)可观测标准形为：

2x1

(t)

3u(t)

3

x

(t)

1x·1(t)

0x·

(t)

1x

(t)

2

1]x1

(t)

2

2

y(t)

[04.状态空间表达式的结构图在状态空间分析中，常以状态结构图来表示各状态变量间的关系，它由积分器，加法器和比例环节构成积分器1s

.x(t

)

x(t

)

代替加法器有时也可以用1x

3xxk

kx比例环节绘制步骤：①在适当位置画出积分器，个数=状态变量数，各个积分器的输出=对应的状态变量。②由状态方程和输出方程画出加法器和比例环节。③用箭头连接。状态空间·表达式：x

Ax

buy

Cx

Du画出结构图：

表示单个信号的传递BACux+xyD∫有时也用积分器表示“向量信号”的传递表示例：某系统状态空间表达式为：试绘制其结构图

1

0

1

x

0

u6

3

2y

1

1

0x0

0

1

0

x·

0分析：本系统状态变量有三个，则有三个积分器，且积分器的输出为三个变量x1,x2

,x31

2

3x

x

,

x

,

x

T

一个输入量u，一个输出量为y原系统可画为：x·1

x2x·2x·3

x3

6x1

3x2

2x3

uy

x1

x2反过来，也可以由系统的结构图出发，写出状态空间表达式。

1S

1S

1S-2-3-6ux3x3=x2x2=x1x1y例：解：有几个积分器，就有几个状态变量，由结构图得：1S1S1S-6-11-6ux3x3x2x1y-6令：x·1

x2x·2

x3x·3

6x1

11x2

6x3

6uy

x1x

3

T则y

1

0

0x

0

61

x