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文档简介
3.1微学值理
罗尔定定1[罗()定如果函数
f()
满足(1在闭区间(2在开区间
[a,](,b
上连续;内可导;(3
f()f(b)
,则在
(,b
内至少存在一点使得f
罗尔定理的几何意义是:在区间
[,]
连续光滑曲线
yf()
在两端点的值相等,(,b
内的每点都有不垂直于x轴切线,则在曲线弧上至少有一点,在该点处曲线的切线平行于轴.例1验罗尔定理对
f()x
2
在间[
上的正确性.解存一点
f()x函数使得
2
在间[
上满足罗尔定理的三个条件罗尔定理至少f
事实上,由
f
x
得
时,有
f
)
拉格朗日值定理定拉朗()中定]如果函数
f()
满足(1)在闭区间(2在开区间
[a,](,b
上连续;内可导,则在
(,b
内至少存在一点使得f
)
f(bf(a)b
罗尔定理是拉格朗日中值定理的特殊情例2验拉格朗日中值定理对
f(
在区间
[1,e]
上的正确性.解
函数
f(ln在间[1,e]
上满足拉格朗日中值定理的两个条件,由拉格朗日中
值定理,则至少存在一点
,使得f
)
f(efe事实上,由
f
1x
,得
f
所以fef(1)111,于是有
e
定
如果函数
f()
满足在开区间
(,b
内的导数恒为零,则
f()
在
(,b
内是一个常数证
设
x
,x
是
(b
内的任意两点
x
在
[x]
上应用拉格朗日中值定理,有
f()f(x)
x)(x
x)
由假设
f
)
,得
f(x)(x)1
,即f()fx)因为x,是(,b)2
内的任意两点,所以上式表明
f()在(b
内任意两点的值总是相等的,这就是说
f()
在
(b
内是一个常数.例3证
arccosx
2
,
x
证
因为
x)
11
2
11
2
所以上式中令x0,有
arccosc为数).carcsinarccos0
2
,即有arccosx
2
柯西中定理定柯()值理]若函数
f()
和
()
在闭区间
[,]
上连续,在开
区间
(,b
内可导,且
,则至少存在一点
,b
,使得f()f(af)()g
比较拉格朗日中值定理与柯西中值定理拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特(令
()x
)罗尔定理
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