新教材3.1函数的概念及其表示 3.1.2分段函数(第二课时) 教案

3.1.2分函（二时【学标1．知识与技能（1掌握分段函数的定义（2会求分段函数的解析式，求分段函数的定义域和函数值（3会运用分段函数的知识解实际问题2．过程与方法（1初步掌握解决分段函数问的基本方法。（2通过教师引导，学生讨论培养学生自学、分析和解决问题的能力。3．情感、态度与价值观培养理解和掌握分类讨论的数学思想方法；培养学生养成探究式学习、自主式学习、合作式学等优秀的学习品质。【学点难】（1）重：段函数的概念；运用分段函数的知识解决实际问题（2）难：立实际问题的分段函数关系【学法讲、议结合，通过实际例子引出分段函数的定义，创设情境，激发兴趣。通过学生的主动参与加深学生对分段函数的认识，同时寻找解决分段函数基本问题的基本方法。【时排课【学程一、复习函数的定义及表示方法1、函数的定义2、函数的三种表示方法：解析、列表法、图像法二、基础知识分段函数：如果函数在定义域的不同的范围内，有着不同的对应关系，这样的函数为分段函.思考：分段函数对于自变量

的不同取值对应关系不同，那么分段函数是一个函数还是几个函数？（意分函数在整个定义域上仍然是一个函,而不是几个函只不过这个函数在定义域的不同范围内有不同的对应法则,需要相应的解析式来表.）三基自1.函数()

的定义域为（）A.C.

[(1,

B.D.

((1,[解析]:由函数解析式得

xx

，解得

xx.故函数的定义域为

[

，选A.2.若A.C.

(x0)x，0)

f[f(3B.5D.

（）1

[解析]:∵

，∴

f(2

，又，f[f(f(2)yx3.函数的图象是（）

2

4

，选C.[解析]:因为

y|

xx0)x0)

，所以选正.4.（2020江苏州高一期中测试）已知函数x[解析]:∵，f(x)x

f(x)

xx0)

，则

f[f(

的值为.∴

f(

，∴

f[f(f(1)

.【型究题一

分函的值题例1已知数

xf()2)2x(

.（1求

f(f(3),f[(2)]

；（2若

f(a)

，求的值.[分析]:分段函数的解析式求数值或已知函数列方程求字母的.[解析]:（1）

f(

，ff0

，f[f(f(0)

2

；2

（2当

a

时，

a

，可得

a

，不符合题意；当

时，，可得，符合题意；当时2a，得a，合题意综上可知，

a

.[归纳提升]：求分段函数函数值方法（1先确定要求值的自变量属哪一段区.（2然后代入该段的解析式求，直到求出值为当出现

f[f()]

的形式时，应从内到外依次求.【对点练习】①已知A.18C.

f(x)

xf[f(5)](xB.21

，则f的是）[解析]:题二

f(5)f[f(10)],f(10)f[ff(5)f(21)分函的象应

.故选A.例2已知数

f()

|

x

.（1用分段函数的形式表示函

f()

；（2画出函数（3写出函数

f()f()

的图象；的值域[分析]:先据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，再利用描点法作出函数[解析]:（1）当

0时f(x

x

；当

时，

f()

.所以

fx)(0)

；（2函数

f()

的图象如图所示：3

（3由（）知，

f(x)在(2,2]上值域为[.[归纳提升]：1.由分段函数的图确定函数解析式的步骤（1定类型：根据自变量在不范围内图象的特点，先确定函数的类.（2设函数式：设出函数的解.（3列方程（组）：根据图象的已知点，列出方程或方程组，求出该段内的解析（4下结论：最后用“{”示出各段的解析式，注意自变量的取值范.2.作分段函数图象的注意点作分段函数的图象时，定义域分界点处的函数取值情况决定着图象在分界点处的断开或连接，别注意端点处是实心点还是空心点.【对点练习】②已函数

()

xxx(x

.（1画出函数的图象；（2若

f(x)

，求的值.[解析]:（1）函数图象如图所示：（2由

f(x)

和函数图象综合判断可知，当

x

时，得

f(

，

解得x；当

x

时，得

f(x)

x

，4

xyxxyx解得或2（去.综上可知的值为0或1.题三分函的用题例3如，在边长为的方形ABCD的上有一，折线BCDA由点B（点）向点（终点）运动，设点P运的路程为，APB的积.（1求y关x的数关系式

yf(

：（2画出

yf(x)

的图象；（3若的积不小于2，的值范围[分析]:（1）点P置不同ABP的状样吗？（2注意该函数的定义域.[解析]:（1）

；（2

yf(x)

2(12的图象如图所示：（3即

f(x)2

，当

0时

，∴

x

，当

8

时，

，∴

x，x的取值范围是

1

.5

[归纳提升]：利用分段函数求解际应用题（1首要条件：把文字语言转为数学语言．（2解题关键：建立恰当的分函数模型．（3思想方法：解题过程中运分类讨论的思想方法．【对点练习】③某市有

A

两家羽毛球俱乐部，两家设备和服务都很好，但收费方式不同，A俱部每块场地每小时收费

元；B俱乐按月计费，一个月中

20

小时以内（含

20

小时）每块场地收费

90

元，超过20小的部分，每块场地每小时元某企业准备下个月从这两家俱乐部中的一家租用一块场地开展活动，其活动时间不少小，也不超过0小．（1设在A乐部租一块场地开展活动小的收费为

f()元(12x

，在B俱部租一块场地开展活动小时的收费为

()

元

x

，试求

f()

与

(

的解析式；（2问该企业选择哪家俱乐部较合算，为什么？[解析]:（1）由题

f)x

，x)x

；（2

时，

，解得：

，即当

2

时，

f()()

，当

时，

f(x)g(x

，当

时，

f(x)g(x

．当

20

时，

f(x)

，故当

12

时，选A家乐部合算．当时两家俱乐部一样合算，当5

时，选B家乐部合算．【区示分段函数概念的理解错误例4求函

x0)(x(x0)

的定义域．[错解]:∵

x

时，

f(2

，

x

时，

f()

，∴当

时，

f()

的定义域为

[

，当

x

时，

f()

的定义域为

(

．[错因分析]:错解的原因是对分函数概念不理解，认为分段函数是两个函数．

()x(0)[正解]：函数

f()

的定义域为

([0,即(

，∴函数

f()

的定义域为

(

．【科养建模应用能力数学建模是对现实问题进行数学抽象数学语言表达问题数知识与方法构建模型解决问题过程．主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题，提出问题，分析问题，构建模型，求解结论验证结果并改进模型，最终解决实际问.数学模型构建了数学与外部世界的桥梁，是数学应用的重要形式．数学建模是应用数学解决实问题的基本手段，也是推动数学发展的动力．在数学建模核心素养的形成过程中，积累用数学解决实际问题的经验．学生能够在实际情境中发现和提出问题；能够针对问题建立数学模型；能够运用数学知识求解型，并尝6

试基于现实背景验证模型和完善模型；能够提升应用能力，增强创新意识．例5某行车厂为共享单车公生产新样式的单车，已知生产新样式单车的固定成本为元，每生产一件新样式单车需要增加投入00元据步测算行车厂的总收单位)满足分段函数

(x)

，其中

hx)

1x4002

，是样式单车的月产(单位：，利润＝总收益－总成本．x（1试将自行车厂的利润表为月产量的数；（2当月产量为多少件时自行厂的利润最大？最大利润是多少？[分析]总成本＝固定成本＋可变本，本题中，固定成本为[解析]:（1）依题设，总成本为，1且xx；则y