代数式与整式讲义

代数式与整式代数式［夯实基础‘一．代数式及其分类.代数式定义：用运算符号，如■■■若，将数或表示数的字母连接起来，所得的式子叫做代数式。单独的一个数或一个字母也叫做代数式。示例：3■2c，x■x■2x■y，ab，2a■3b，3(n■2m)，3a，7，—等。不知识点睛"①代数式中除含有数、字母和运算符号外，还可以有括号，因为有时需要用括号指明运算顺序。②代数式中不含有"・"■■"■等。管对于用字母表示的数，如果没有特别说明，就应理解为它可以表示任何一个数。，.代数式的分类■多项式■■分式■■无理式有理式：只含有加、减、乘、除、乘法(包括数字开方运算)的代数式，叫做有理式。无理式：含有关于字母开方运算的代数式，叫做无理式。例1：下列各式中哪些是代数式？哪些不是？为什么？x12m()(2-()5■6()■—()m■—()■■x2二．列代数式把问题中与数量有关的词语，用含有数、字母和运算符号的式子表示出来，这就是列代数式。.列代数式的一般步骤如下：(1)列代数式要认真审题，仔细分析问题中基本术语的含义。如：和、差、积、商、大、小、多、少、几倍、几分之几、增加、增加到、减少、减少到、扩大、缩小、除、除以等。(2)要注意问题的语言叙述表示的运算顺序，一般来说，先读的先写。如：设甲数为a，乙数为b，用代数式表示下列语句的含义:111111①甲数的不与乙数的5的差：先读的是甲数的了，所以耳a应写在前面，即飞a■5b。②甲乙两数的平方和：“平方和”是指先平方，后求和，即a2■b2。③甲乙两数和的平方：“和的平方”是指先求和，后平方，即■■b・。（3）要弄清题中的数量关系及运算顺序，注意正确使用表明运算顺序的括号。在比较复杂的语句中，一般会有多个“的”字出现。列代数式时，可抓住各个“的”字将句子分为几个层次，逐步列出代数式。如：用代数式表示比m、n两数和的2倍大p的数。将此句划分为三层：第一层是“m、n两数的和”，因为第一层需要先算，所以需用括号将“m■n”括上；第二层是“m、n两数和的2倍”，简单地说，就是“和的2倍”，应表示为2（m■n）；第三层是“比m、n两数的和的2倍大p的数”就是比2（m■n）大p的数，应表示为2（m■n）■p。（4）在同一问题中，不同的数量，必须用不同的字母来表示。如：用代数式表示甲、乙两数的积减去甲、乙两数的和，在这个问题中，甲数和乙数必须用不用的字母来表示，即甲数用x表示，乙数就不能用x来表示了。.代数式的书写要求（1）字母与字母相乘，数字与字母相乘（数字应写在字母前面），乘号通常写作“■”，或者省略不写。但为避免误会，数与数相乘时仍用“X"，不宜用“"'，更不能省略乘号。（2）在代数式中出现除法运算时，一般按照分数的写法来写。（3）带分数与字母相乘，省略乘号时应把带分数化成假分数。（4）实际问题中需用单位是，若代数式的最后结果含有加、减运算，则要将整个式子用括号括起来，再写单位；否则，可直接写单位。例如：5xkm,（x■y）天。温温馨提示①列代数式时，注意书写规范。②列代数式时，相同字母的积用乘方表示。如a"a"a，一般写成a3。③实际问题中的数量关系可以用代数式表示，另一方面，同一个代数式可以揭示多种不同的＜实际意义。注意说出代数式表示的实际意义时，数与字母的含义必须与实际相符。例2：用适当的式子表示：（1比除以的倍的商大的数；（2与的平方和的相反数；（3除以的平方的商；（4的平方与的立方的倒数的差。掌握方法J一．列代数式的方法列代数式时，要善于将文字语言转化为数学语言，一般是先读的先写，并注意括号的使用。对实际问题中的代数式，要明确各量之间的关系，如：路程=速度X时间，利润=售价-成本，工作量=工作效率X工作时间等，根据实际问题提供的数量关系列出代数式。例1：某市出租车收费标准为：不超过3千米（含3千米）时，需付起步价5元，超过千米后每千米价格为元，则乘坐出租车走（,且为正整数）千米应付元。二．多位数的表示方法如果一个三位数，百位数字为〃，十位数字为b，个位数字为J不能把这个三位数直接写成abc，而是把各数位上的数字乘相应的倍数，相加后即为所求的三位数。即100a■10b■c。例：一个三位数，十位数字为，个位数字比十位数字小，百位数字是十位数字的倍，则这个三位数为。三．求代数式的值的方法求代数式值的一般方法是“用数值代替代数式中的每个字母”，然后计算求得结果。对于特殊的代数式，也可以采用如下方法来解：（1）给出代数式中所有字母的值，该类题一般是先化简代数式，再代入字母的值，然后进行计算。（2）给出代数式中所含几个字母之间的关系，不直接给出字母的值，该类型一般是把所要求的代数式通过恒等变形，转化成为用已知关系表示的形式，再代入计算。（3）在给定条件中，字母之间的关系不明显，字母的值隐含在题设条件中，该类型应先由题设条件求出字母的值，再求代数式的值。

例：已知6求代数式-的值。例：已知工-工二3,用整体代入法求一一：可一如的值。xyx-2xy-y例5：整体代入（1已知当时，代数式-，求时，I1+的值。（2已知-：求交警二里的值。k一/冥y一y例6：阅读下列文字，并解决问题。已知，求（--）的值。分析：考虑到满足的、的可能值较多，不可以逐一代人求解，故考虑整体思想，将整体代入。解：（--）--（）-（）-X-X-X-：请你用上述方法解决问题：已知，求（-）•a-b的值。四．列代数式在探索规律问题中的应用方法根据一系列数式关系或一组相关图形的变化规律，从中总结其反映的规律。其中，以图形为载体的数字规律最为常见。猜想这种规律，需要把图形中的有关数量关系列式表达出来，再对所列式进行观察对比，仿照数式规律的方法猜想得到最终结论。这类问题是近年来中考例7：例7：找规律：（1）等差型：（2）等比型：（：）指数型：（：）和差型：，…用表示为；，…用表示为；6，…用表示为5，…用表示为例8：观察下列算式找规律填空。若字母表示自然数，请你把你观察到的规律用含的式子表示出来例：(秋晋城校级期中)找规律：观察下面的星阵图和相应的等式，探究其中的规律.()在④、⑤和⑥后面的横线上分别写出相应的等式：(2通过猜想，写出第个星阵图相对应的等式：整式“夯实基础一．整式（1）整式：单项式与多项式统称整式。它们的关系如图所示：--'、•・•、、、一一一代数式温馨提示①所有的整式的分母中不含字母。②所有的整式都是代数式，但并不是所有的代数式都是整式。、二.单项式11.定义：像■x,-m2,吗42・r，都是数与字母的乘积，这样的式子叫做单项式。特别地，单独的一个数或一个字母也是单项式。巧记方法：单项式中“只含乘除，不含加减”。厂温馨提示\x■2①单项式中不能含有加减运算，例如—不是单项式。②单项式可以是数和数的积，如6・；可以是数和字母的积，如3；可以是字母和字母的积，37如ab；可以是多个数与多个字母的积，如5a2b3c5。…,,,1（③由于■是常数，所以-也是常数，是单项式。2.单项式的系数单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。温温馨提示①一个单项式只含有字母因数，它的系数就是1或■1。②一个单项式是一个常数，它的系数就是它本身。③负数作系数时，应包括前面的符号。④当一个单项式的系数是1或■1时，“1”通常省略不写。如：a2、■mn；单项式的系数I13是带分数时，通常写成假分数，如1-x2y写成2x2丁。3.单项式的次数一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数。温馨提示Q单项式的次数与系数没有关系，例如：23a2b3的次数是5,不要误认为是8。例1：填表：单项式m2■3ab32x5x2y33■r2h系数次数例：单项式2Bx的系数是例：单项式3・2x”的次数是。例：写出三个系数是：含有字母，的四次单项式。三．多项式1.多项式的定义：几个单项式的和叫做多项式。如：x2■2xy■y2，a2■b2等。在多项式中,每个单项式叫做多项式的项。温温馨提示\①多项式的每一项都包括它前面的符号，如3x2■6x■7，这个多项式的项是3x2，■6x，7。②多项式中的单项式的个数叫做多项式的项数。如3a2■2a■5的项数是3,叫做三项式。叱多项式中，不含字母的项叫做常数项。j例5：填表：多项式3a■13x2■2x■132a2b■3ab2■4b3■6项常数项2.多项式的次数多项式中，次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。,知识延伸多项式通常以它的项的次数和项数来命名，称几次几项式。最高次项的次数是几，是几次式，项数是几，是几项试。例如：多项式64■2x2j2■3xy■4是五次四项式。<例6：指出下列多项式是几次几项式，并指出常数项。111（12X2y2■—X3y■5xy3■9;（2）x5y2z2■4z3（3■3X2■2X■57例：请你写出一个关于，的四次多项式。掌握方法．整式的识别方法识别整式要注意以下几点：（1）单项式中不能含有加减运算，多项式中一定含有加减运算。如2x■y，2b2■1等都是多项式。（2）单项式与多项式中都可以有除法运算，但是要写成分数的形式且分母中不能含有字母。sta■2b2x■y如■-是单项式；-^是是多项式；-,—x2-既不是单项式，也不是多项式。（3）一个整式不是单项式就是多项式。判断一个式子是否为整式的关键是看分母是否含有字母。例8已知代数式：①■x■y:②卫：③2;④2a■b2；⑤y;⑥竺理•，⑦32xa0;⑧■1。其中单项式有；多项式有；整式2有。二．利用多项式概念确定字母取值的方法单项式的次数是各个字母指数的和，而多项式的次数是构成多项式的项中次数最高的项的次数。如构成多项式的项中最高次数为7，那么此多项式的次数也为7.例：已知多项式■2X2ym■■xy2■3x3■6是六次四项式，单项式■X2ny51m与该多项式的次数相同，求m,n的值。代数式与整式整式的加减1夯实基力础．同类项1.定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。几个常数项也是同类项。12.示例：■a2b与3a2b是同类项，■-x2y3与y3x2是同类项。「温馨提示①判断同类项的标准是“两相同"，即所含字母相同，相同字母的指数也相同，二者缺一不可。_3[②同类项与系数无关，与字母的排列顺序也无关。如2x3y4与■-y4x3是同类项。\2例1：下列各组中的项是同类项的有（）1111①2x2y与一yx2；②-a2b与-ab2；③4abc与■2ab;④■m2n3与-n3m2；2522⑤■b与a⑥0与■。组A.3组B.4组C.5组．合并同类项1.合并同类项的定义及法则定义依据示例合并同类项把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项逆用乘法对加法的分配律■2a与5a合并同类一…1一，项后为3a，-x2y与5x2y合并同类项后11为方x2y法则合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母连同它的指数不变2.合并同类项的一般步骤（1）准确找出同类项（初学者可先用不同记号标出同类项）；（2）利用法则，把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变；（3）写出合并后的结果，注意不要漏项。厂温馨提示、①如果两个同类项的系数互为相反数，合并同类项后，结果为0。②合并同类项时，只能把同类项合并，不是同类项的不能合并；不能合并的项，在每步运算中不要漏掉。/例：合并同类项：11（13a■b■—a■—b;23（：）2x2y■3xy2■5x2y■xy■4y2x；（33—■b■i■■!■b■2a■b・.4,■b■—b・三．去括号与添括号.去括号法则括号前面是“+”，把括号和它后面的“+”去掉，括号内各项都不改变符号；括号前面是“-”，把括号和它前面的“-”去掉，括号内各项都改变符号。如：■■—■b■《■a■b■c；■■■b■c，l—Ib■c。.添括号法则所添括号前面是“+”，括到括号里面的各项都不改变符号；所添括号前面是“-”，括到括号里的各项都要改变符号。如：aIb■c■JRIb■c1；aIb■cIa■b■c・（温馨提示:①整式的加减的实质是去括号，合并同类项。②去括号时，首先要看清括号前面是“”还是“”，其次注意法则中的“都”字，即变号时，括号里各项都变号；不变号时，括号里的各项都不变号。若括号前有数字因数，应利用乘法分配律，先将该数与括号内的各项分别相乘再去括号，添括号与去括号类似。管添括号是否正确可以用去括号检验，二者互逆。,例：下列去括号正确的是（）aI（bAI.c）IaIbIcaI（IbIc）IaBI.bIca■(bCIc)■ab■ca■a■(bCIc)■ab■c四．化简求值化简求值是指我们不直接把字母的值代入代数式中计算，而是先化简（即去括号，合并同类项），然后再代入求值。厂温馨提示、①一般情况下，字母取值不同，代数式的值也不同。②当字母的取值是分数或者负数时，代入时要注意将分数或负数添上括号。、③把数值代入时，原代数式中的系数、指数及运算符号都不改变\3一、一，1例：先化简，再求值：a2■（5a2■3b）■2（2b■a2）,其中a■m,b■―。2EQ掌握方法,J一．同类项概念的应用方法根据同类项的概念，寻找同类项的过程就是把多项式的项按所含字母及字母的次数进行分类的过程。如果几个单项式所含的字母的顺序不同，可以根据乘法的交换律把字母按照一定的顺序（如英文字母表顺序）排列，以便比较其字母是否相同，在同类项的概念的应用中，一般是根据同类项中“相同字母的指数相同”建立方程或方程组求解，充分理解同类项概念是解题的关键。例：若2Xm■y2与■x2yn的和是单项式，则（即）n■。二．去括号的方法（1）去括号是合理地进行整