《矢量运算》ppt课件

1、矢量运算一、标量与矢量一、标量与矢量标量只需大小，例如：质量、长度、时间、标量只需大小，例如：质量、长度、时间、密度、能量、温度等。密度、能量、温度等。矢量既有大小又有方向，并满足矢量合成的矢量既有大小又有方向，并满足矢量合成的平行四边形法那么。例如：位移、速度、加平行四边形法那么。例如：位移、速度、加速度、角速度、力矩、电场强度等。速度、角速度、力矩、电场强度等。矢量的表示：矢量的表示：A1 1、作图表示：有指向的线段。线段的长、作图表示：有指向的线段。线段的长度表示矢量的大小，箭头所指的方向表示度表示矢量的大小，箭头所指的方向表示矢量的方向。矢量的方向。2 2、书写表示：在字母的上加一箭头

2、、书写表示：在字母的上加一箭头AA矢量的大小：也叫矢量的模，表示为矢量的大小：也叫矢量的模，表示为AAe 单位矢量：大小单位矢量：大小1的矢量，用于表示的矢量，用于表示矢量的方向。矢量的方向。eAA 因此有：因此有：两矢量相等：应大小相等，方向一样。两矢量相等：应大小相等，方向一样。二、矢量的相加与相减二、矢量的相加与相减两矢量相加满足平行四边形法那么或三角形法那两矢量相加满足平行四边形法那么或三角形法那么么ABCABC多个矢量相加满足多个矢量相加满足多边形法那么：多边形法那么：ABCRCBAR 加法满足加法满足交换律：交换律：结合律：结合律：CBACBAABBA )()(两矢量相减两矢量相减

3、)( BABA 其中其中B 与与B大小相等而方向相反大小相等而方向相反ABB BA 三、矢量的数乘三、矢量的数乘矢量的数乘满足矢量的数乘满足结合律：结合律：分配律：分配律：BABAAA )( ) () ( AC AC AC CA 平平行行于于平平行行于于方方向向大大小小00矢量与一实数相乘后仍是一矢量。矢量与一实数相乘后仍是一矢量。四、矢量的正交分解四、矢量的正交分解一个矢量可分解为两个或多个分矢量，其结果一个矢量可分解为两个或多个分矢量，其结果并非独一的。通常将矢量分解到两个或三个相互垂并非独一的。通常将矢量分解到两个或三个相互垂直的方向上，即所谓正交分解。直的方向上，即所谓正交分解。zxy

4、oAxAzAyAkijkAjAiAAzyx 其大小其大小222zyxAAAA 利用矢量的正交分解很容易求多个矢量的加减：利用矢量的正交分解很容易求多个矢量的加减：kBAjBAiBAkBjBiBkAjAiABAzzyyxxzyxzyx)()()()()( 1222 coscoscoscos,cos,cos且且AAAAAAzyx设设A与三个坐标轴的夹角分别为与三个坐标轴的夹角分别为 ,那那么么五、矢量乘积五、矢量乘积矢量的标积点乘矢量的标积点乘 AB cosABBA两矢量点乘的结果为一标量。两矢量点乘的结果为一标量。标积适用标积适用交换律：交换律：分配律：分配律：CA BACB AABBA )(留

5、意：留意：02AAA假假设设0BA能够是能够是 BABA或或00,用坐标分解求点乘：用坐标分解求点乘：zwyvxukwj vi ukzj yi xBA )()(对单位矢量有：对单位矢量有：01 ikkjjikkjjii大小：大小：C= A B sin , ( 0 )等于图中平行四边形的面积。等于图中平行四边形的面积。矢量的矢积叉乘矢量的矢积叉乘BAC 两矢量叉乘还是一矢量。两矢量叉乘还是一矢量。 ABC方向：垂直于由方向：垂直于由BA,构成的平面构成的平面满足右手螺旋定那么。满足右手螺旋定那么。ABC矢量运算的性质：矢量运算的性质：jkiijkkijjikikjkjikkjjiiBA CCA

6、BCBA AACA BA CBA ABBA ,)()()()(00矢量叉乘的正交分解式矢量叉乘的正交分解式wvuzyxkjikyuxvjxwzuizvywkwj vi ukzj yi xBA )()()()()(矢量的非法运算包括矢量的非法运算包括DeCBA,ln,1矢量与标量不能相等矢量与标量不能相等 ！三个矢量的混合积三个矢量的混合积CA BAC BBA CCBA )()()()（结果为以为棱的平行六面体的体积。结果为以为棱的平行六面体的体积。CBA,六、矢量的导数六、矢量的导数矢量函数矢量函数假设矢量随标量假设矢量随标量 t 的变化而变，那么称的变化而变，那么称矢量矢量是标量是标量 t

7、的一个矢量函数的一个矢量函数AA)(tAA 在三维直角坐标系中作正交分解，有：在三维直角坐标系中作正交分解，有：ktAjtAitAtAzyx)()()()( 其大小：其大小：)()()()(tAtAtAtAzyx222 矢量函数的导数矢量函数的导数)(tA)(ttA A 如图，矢量函数在如图，矢量函数在t 时间内的时间内的增量为：增量为：)()(tAttAA 定义：矢量的平均变化率定义：矢量的平均变化率tA 在在 t 0 时的极限时的极限dtAdttAttAtAtt )()(limlim00为矢量函数对为矢量函数对 t 的导数。的导数。)(tA)(ttA A dtAd留意：当矢量的大小不变，仅方留意：当矢量的大小不变，仅方向变化时，同样有矢量增量，且向变化时，同样有矢量增量，且此时有：此时有：AdtAd 在三维直角坐标系中，矢量导数在三维直角坐标系中，矢量导数kdtdAjdtdAidtdAdtAdzyx 其大小其大小222 dtdAdtdAdtdAdtAdzyx矢量函数的求导法那么：矢量函数的求导法那么：是是常常矢矢量量CCdtddtBdABdtAdBAdtddtBdABdtAdBAdtddtAdtfAdttdfAtfdtddtBddtAdBAdtd,)()()()()()()(0 矢量函数的积分矢量函数的积分