(新高考数学)高考一轮复习核心考点讲与练考点16《 空间几何体》解析版

考点16空间几何体（核心考点讲与练）空间几何体的表面积、体积1.空间几何体的结构特征(1)多面体的结构特征名称棱柱棱锥棱台图形底面互相平行且全等多边形互相平行且相似侧棱平行且相等相交于一点，但不一定相等延长线交于一点侧面形状平行四边形三角形梯形(2)旋转体的结构特征名称圆柱圆锥圆台球图形母线互相平行且相等，垂直于底面相交于一点延长线交于一点轴截面全等的矩形全等的等腰三角形全等的等腰梯形圆侧面展开图矩形扇形扇环2.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S圆柱侧＝2πrlS圆锥侧＝πrlS圆台侧＝π(r1＋r2)l3.空间几何体的表面积与体积公式名称几何体表面积体积柱体(棱柱和圆柱)S表面积＝S侧＋2S底V＝S底h锥体(棱锥和圆锥)S表面积＝S侧＋S底V＝eq\f(1,3)S底h台体(棱台和圆台)S表面积＝S侧＋S上＋S下V＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h球S＝4πR2V＝eq\f(4,3)πR31.求解几何体表面积的类型及求法求多面体的表面积只需将它们沿着棱“剪开”展成平面图形，利用求平面图形面积的方法求多面体的表面积求旋转体的表面积可以从旋转体的形成过程及其几何特征入手，将其展开后求表面积，但要搞清它们的底面半径、母线长与对应侧面展开图中的边长关系求不规则几何体的表面积通常将所给几何体分割成基本的柱体、锥体、台体，先求出这些基本的柱体、锥体、台体的表面积，再通过求和或作差，求出所给几何体的表面积2.求体积的常用方法直接法对于规则的几何体，利用相关公式直接计算割补法首先把不规则的几何体分割成规则的几何体，然后进行体积计算；或者把不规则的几何体补成规则的几何体，不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于计算等体积法选择合适的底面来求几何体体积，常用于求三棱锥的体积，即利用三棱锥的任一个面可作为三棱锥的底面进行等体积变换3.几何体的外接球：一个多面体的顶点都在球面上即为球的外接问题，解决这类问题的关键是抓住外接球的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径.几何体的内切球：求解多面体的内切球问题，一般是将多面体分割为以内切球球心为顶点，多面体的各侧面为底面的棱锥，利用多面体的体积等于各分割棱锥的体积之和求内切球的半径.4.截面问题：在高考立体几何考点中涉及到空间几何体的截面的地方较多，如:判断截面的形状、计算出空间几何体的截面周长或面积、或者求与之相关的体积问题、以及最值问题都在考察之列，但是要顺利地解决前面所提到的诸多问题，关键是根据题意作出截面，并判断其形状.空间几何体的表面积一、单选题1．（2022·海南海口·模拟预测）已知圆柱的侧面积等于上、下底面积之和，圆柱的体积与表面积的数值相同，则该圆柱的高为（

）A．8 B．4 C．2 D．1【答案】B【分析】根据已知条件及圆柱的侧面积、表面积和体积公式即可求解.【详解】设底面圆的半径为SKIPIF1<0，高为SKIPIF1<0，则由题意可知，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.所以该圆柱的高为SKIPIF1<0.故选：B.2．（2022·福建·模拟预测）已知某圆台的高为SKIPIF1<0，上底面半径为SKIPIF1<0，下底面半径为SKIPIF1<0，则其侧面展开图的面积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】可得展开图为圆环的一部分，求出小圆和大圆半径即可求出.【详解】易知母线长为SKIPIF1<0，且上底面圆周为SKIPIF1<0，下底面圆周为SKIPIF1<0，易知展开图为圆环的一部分，圆环所在的小圆半径为3，则大圆半径为6，所以面积SKIPIF1<0.故选：C.3.（2021湖北省黄石市高三上学期9月调研）已知圆锥的母线长为SKIPIF1<0，其侧面展开图是一个圆心角为SKIPIF1<0的扇形，则该圆锥的底面面积是（）．A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】先求圆锥的底面半径，由此即可计算出圆锥的底面面积.【详解】设圆锥的底面半径为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0所以圆锥的底面面积为SKIPIF1<0.故选：B二、多选题4．（2022·山东聊城·二模）用与母线不垂直的两个平行平面截一个圆柱，若两个截面都是椭圆形状，则称夹在这两个平行平面之间的几何体为斜圆柱．这两个截面称为斜圆柱的底面，两底面之间的距离称为斜圆柱的高，斜圆柱的体积等于底面积乘以高．椭圆的面积等于长半轴与短半轴长之积的SKIPIF1<0倍，已知某圆柱的底面半径为2，用与母线成45°角的两个平行平面去截该圆柱，得到一个高为6的斜圆柱，对于这个斜圆柱，下列选项正确的是（

）A．底面椭圆的离心率为SKIPIF1<0B．侧面积为SKIPIF1<0C．在该斜圆柱内半径最大的球的表面积为SKIPIF1<0D．底面积为SKIPIF1<0【答案】ABD【分析】不妨过斜圆柱的最高点SKIPIF1<0和最低点SKIPIF1<0作平行于圆柱底面的截面圆，夹在它们之间的是圆柱，作出过斜圆柱底面椭圆长轴的截面，截斜圆柱得平行四边形，截圆柱得矩形，如图，由此截面可得椭圆面与圆柱底面间所成的二面角的平面角，从而求得椭圆长短轴之间的关系，得离心率，并求得椭圆的长短轴长，得椭圆面积，利用椭圆的侧面积公式可求得斜椭圆的侧面积，由斜圆柱的高比圆柱的底面直径大，可知斜圆柱内半径最大的球的直径与圆柱底面直径相等，从而得其表面积，从而可关键各选项．【详解】不妨过斜圆柱的最高点SKIPIF1<0和最低点SKIPIF1<0作平行于圆柱底面的截面圆，夹在它们之间的是圆柱，如图，矩形SKIPIF1<0是圆柱的轴截面，平行四边形SKIPIF1<0是斜圆柱的过底面椭圆的长轴的截面，由圆柱的性质知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，设椭圆的长轴长为SKIPIF1<0，短轴长为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以离心率为SKIPIF1<0，A正确；SKIPIF1<0，垂足为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0，易知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以斜圆柱侧面积为SKIPIF1<0，B正确；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，椭圆面积为SKIPIF1<0SKIPIF1<0，D正确；由于斜圆锥的两个底面的距离为6，而圆柱的底面直径为4，所以斜圆柱内半径最大的球的半径为2，球表面积为SKIPIF1<0，C错．故选：ABD．5．（2022·河北·模拟预测）已知正四棱台SKIPIF1<0（上下底面都是正方形的四棱台）．下底面ABCD边长为2，上底面边长为1，侧棱长为SKIPIF1<0，则（

）A．它的表面积为SKIPIF1<0B．它的外接球的表面积为SKIPIF1<0C．侧棱与下底面所成的角为60°D．它的体积比棱长为SKIPIF1<0的正方体的体积大【答案】ACD【分析】分别求得上、下底面面积，再求得侧面等腰梯形SKIPIF1<0的面积，即可判断A的正误；如图作辅助线，可求得各个长度，根据三角函数的定义，可判断C的正误；求得SKIPIF1<0的长，分析可得SKIPIF1<0即为正四棱台SKIPIF1<0外接球的球心，且外接球半径SKIPIF1<0，代入表面积公式，可判断B的正误；分别求得正四棱台的体积SKIPIF1<0和正方体的体积SKIPIF1<0，利用作商法比大小，即可判断D的正误，即可得答案.【详解】由题意得：上底面SKIPIF1<0的面积SKIPIF1<0，下底面SKIPIF1<0的面积SKIPIF1<0，侧面SKIPIF1<0为等腰梯形，过SKIPIF1<0分别做AB的垂线，垂足为E、F，如图所示所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以梯形SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0，所以正四棱台SKIPIF1<0的表面积SKIPIF1<0，故A正确；连接SKIPIF1<0，且交于点SKIPIF1<0，连接AC、BD交于点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0垂直底面ABCD，过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于G，则SKIPIF1<0底面ABCD，则四边形SKIPIF1<0为矩形，由题意得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，同理SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即侧棱与下底面所成的角为60°，故C正确所以SKIPIF1<0.连接SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，所以点SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的距离相等，均为SKIPIF1<0，所以点SKIPIF1<0即为正四棱台SKIPIF1<0外接球的球心，且外接球半径SKIPIF1<0，所以外接球的表面积SKIPIF1<0，故B错误；正四棱台的体积SKIPIF1<0，棱长为SKIPIF1<0的正方体的体积SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以正四棱台SKIPIF1<0的体积比棱长为SKIPIF1<0的正方体的体积大，故D正确；故选：ACD【点睛】解题的关键是熟练掌握棱台的表面积、体积的求法及公式，并灵活应用，难点在于求各个棱长及确定SKIPIF1<0为外接球的球心，考查分析理解，数形结合的能力，属中档题.三、填空题6.（2021贵州省贵阳市五校高三上学期联合考试）学生到工厂参加劳动实践，用薄铁皮制作一个圆柱体，圆柱体的全面积为SKIPIF1<0，则该圆柱体的外接球的表面积的最小值是__________________.【答案】SKIPIF1<0【分析】设圆柱底面圆半径为r，结合已知表示出圆柱的高h，再利用球及其内接圆柱的特征求出球的表面积与r的函数关系结合基本不等式即可得解.【详解】设圆柱底面圆半径为r，高为h，则有SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，由球及其内接圆柱的结构特征知，球心是圆柱两底面圆圆心的中点，设球半径为R，于是得SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时取“=”，因此，球的表面积为SKIPIF1<0，所以该圆柱体的外接球的表面积的最小值是SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<07．（2022·广东广州·二模）在梯形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0折起，连接SKIPIF1<0，得到三棱锥SKIPIF1<0，则三棱锥SKIPIF1<0体积的最大值为__________．此时该三棱锥的外接球的表面积为__________．【答案】

SKIPIF1<0

SKIPIF1<0【分析】注意到三棱锥SKIPIF1<0体积最大时，平面SKIPIF1<0平面ABC，可知以B为顶点时，BC为三棱锥的高，然后利用正余弦定理可得各棱长可得体积；利用球心到平面SKIPIF1<0的距离、SKIPIF1<0外接圆半径和球的半径满足勾股定理可得球半径，然后可得表面积.【详解】过点C作SKIPIF1<0，垂足为E，SKIPIF1<0为等腰梯形，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0由余弦定理得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0易知，当平面SKIPIF1<0平面ABC时，三棱锥SKIPIF1<0体积最大，此时，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0易知，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0记O为外接球球心，半径为RSKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0O到平面SKIPIF1<0的距离SKIPIF1<0又SKIPIF1<0的外接圆半径SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0故答案为：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0空间几何体的体积一、单选题1．（2022·辽宁沈阳·二模）现有一个侧面展开图为半圆形的圆锥，其内部放有一个小球，当小球体积最大时，该圆锥与小球的体积之比是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】根据圆锥侧面展开图为半圆，求得母线与底面半径的关系，利用当小球是圆锥的内切球时，小球体积最大，求得小球的半径，可得答案.【详解】由圆锥侧面展开图为半圆，设圆锥母线为l，底面半径为R，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，可知圆锥轴截面为正三角形，圆锥高为SKIPIF1<0,又由当小球是圆锥的内切球时，小球体积最大，轴截面如图示：设此时小球半径为r，则有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故选：A2.（2021重庆市巴蜀中学高三上学期高考适应性月考）在棱长为2的正方体SKIPIF1<0中，点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别为棱SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点，若平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，且平面SKIPIF1<0与棱SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别交于点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，其中点SKIPIF1<0是棱SKIPIF1<0的中点，则三棱锥SKIPIF1<0的体积为（）A．1B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】根据已知条件结合面面平行的性质定理可确定出SKIPIF1<0，根据点SKIPIF1<0的位置可确定出SKIPIF1<0的位置，由此可计算出三棱锥SKIPIF1<0的体积.【详解】如图所示，取SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，由正方体结构特点可知：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0六点共面，又因为平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0为所在边中点可知SKIPIF1<0为SKIPIF1<0中点，同理可知：SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，所以SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两两垂直，所以三棱锥SKIPIF1<0的体积为SKIPIF1<0，故选：D.3.（2021广东省广州市荔湾区高三上学期调研）若圆台的下底面半径为4，上底面半径为1，母线长为5，则其体积为（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】C【分析】画出圆台的轴截面，即可求出圆台的高，从而根据公式求出圆台的体积；【详解】解：圆台的轴截面如图所示：则圆台的高SKIPIF1<0，所以圆台的体积SKIPIF1<0故选：C二、多选题4．（2022·海南海口·模拟预测）如图，在长方体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，E，F分别是棱SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点，则（

）A．△BDF是等边三角形 B．直线SKIPIF1<0与BF是异面直线C．SKIPIF1<0平面BDF D．三棱锥SKIPIF1<0与三棱锥SKIPIF1<0的体积相等【答案】AC【分析】A选项可根据几何关系求三角形的各个边长进行判断；B选项证点SKIPIF1<0，E，B，F四点共面得出矛盾；C选项证SKIPIF1<0，SKIPIF1<0线线垂直，可得线面垂直；D选项点A与点F到平面SKIPIF1<0的距离不相等，即是高不相等，体积也不会相等.【详解】对于A，设AB＝1，则SKIPIF1<0，故△BDF是等边三角形，A正确；对于B，连接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，如图所示：易知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,故点SKIPIF1<0，E，B，F共面，B错误；对于C，设AB＝1，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，同理可知SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面BDF，故C正确；对于D，三棱锥SKIPIF1<0与三棱锥SKIPIF1<0有公共的面SKIPIF1<0，若要它们的体积相等，则点A与点F到平面SKIPIF1<0的距离相等，这显然不成立，故D错误．故选：AC.5．（2022·福建·模拟预测）已知三棱锥SKIPIF1<0外接球的球心为SKIPIF1<0，外接球的半径为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（SKIPIF1<0为正数），则下列命题是真命题的是（

）A．若SKIPIF1<0，则三棱锥SKIPIF1<0的体积的最大值为SKIPIF1<0B．若SKIPIF1<0不共线，则平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0C．存在唯一一点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0【答案】AB【分析】由SKIPIF1<0可求得球心SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离，由此可得三棱锥高的最大值，由棱锥体积公式可知A正确；设SKIPIF1<0的中点为SKIPIF1<0，可证得SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，由外接球性质可知SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，由面面垂直判定可知B正确；设直线SKIPIF1<0与球的另一交点为SKIPIF1<0，可知SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，知C错误；由SKIPIF1<0四点共面可求得SKIPIF1<0，由此可得SKIPIF1<0，知D错误.【详解】对于A，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0外接圆的半径SKIPIF1<0，SKIPIF1<0球心SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三棱锥高的最大值为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0体积的最大值为SKIPIF1<0，A正确；对于B，设SKIPIF1<0的中点为SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0四点共面，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，B正确；对于C，设直线SKIPIF1<0与球的另一交点为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，C错误；对于D，当SKIPIF1<0最大时，SKIPIF1<0四点共面，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，D错误.故选：AB.三、解答题6．（2022·辽宁沈阳·二模）如图，在四棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面ABCD，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求证：SKIPIF1<0；(2)在线段PD上是否存在一点M，使二面角SKIPIF1<0的余弦值为SKIPIF1<0？若存在，求三棱锥SKIPIF1<0体积；若不存在，请说明理由．【答案】(1)证明见解析(2)存在，SKIPIF1<0【分析】（1）证明SKIPIF1<0，结合SKIPIF1<0，证明SKIPIF1<0平面PAC，根据线面垂直的性质定理即可证明结论；（2）建立空间直角坐标系，求得相关点的坐标，设SKIPIF1<0，求出平面MAC的一个法向量，结合平面ACD法向量以及条件可推出SKIPIF1<0即M为PD中点，即可求得答案.(1)因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0平面ABCD，且SKIPIF1<0平面ABCD，所以SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面PAC，SKIPIF1<0平面PAC，所以SKIPIF1<0平面PAC，又因为SKIPIF1<0平面PAC，所以SKIPIF1<0．(2)在BC上取点E，使SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故以A为原点，以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在平面MAC中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设平面MAC的一个法向量为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，可取平面ACD法向量为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以M为PD中点，所以三棱锥SKIPIF1<0的高h为1，SKIPIF1<0．与球有关的内切、外接问题1.（2021河南省联考高三核心模拟卷）在三棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则三棱锥SKIPIF1<0的外接球的表面积为___________.【答案】SKIPIF1<0【分析】根据题设长度关系，可证明SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，由正弦定理可得SKIPIF1<0的外接圆半径为SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0在线段SKIPIF1<0的垂直平分线上，可得SKIPIF1<0，即可得SKIPIF1<0，利用球的表面积公式即得解【详解】在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的外接圆半径为SKIPIF1<0，不妨设SKIPIF1<0的外接圆圆心为SKIPIF1<0，三棱锥SKIPIF1<0的外接球球心为SKIPIF1<0连接SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0在线段SKIPIF1<0的垂直平分线上，即SKIPIF1<0故三棱锥SKIPIF1<0的外接球半径SKIPIF1<0，外接球的表面积为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<02.（2021江西省临川一中、临川一中实验学校高三第一次月考）如图，在底面边长为4，高为6的正四棱柱中，大球与该正四棱柱的五个面均相切，小球在大球上方且与该正四棱柱的三个面相切，也与大球相切，则小球的半径为_____________.【答案】SKIPIF1<0【分析】结合图形，由题意可知大球的半径为SKIPIF1<0，设小球的半径为SKIPIF1<0，利用已知条件，结合勾股定理，推出结果即可．【详解】解：由题意可知大球的半径为SKIPIF1<0，设小球的半径为SKIPIF1<0，如图，设大圆的圆心为O，小圆的圆心为C，E为小圆与上底面的切点，作SKIPIF1<0交于点D，由题意可知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0．3．（2022·天津·南开中学模拟预测）棱长为SKIPIF1<0的正四面体内切一球，然后在正四面体和该球形成的空隙处各放入一个小球，则这些球的最大半径为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】先求出正四面体的体积及表面积，利用SKIPIF1<0求出内切球的半径，再通过SKIPIF1<0求出空隙处球的最大半径即可.【详解】如图，由题意知球和正四面体SKIPIF1<0的三个侧面以及内切球都相切时半径最大，设内切球球心为SKIPIF1<0，半径为SKIPIF1<0，空隙处的最大球球心为SKIPIF1<0，半径为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中心，易知SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0中点，球SKIPIF1<0和球SKIPIF1<0分别与面SKIPIF1<0相切于SKIPIF1<0和SKIPIF1<0.易得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又由SKIPIF1<0和SKIPIF1<0相似，可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即球的最大半径为SKIPIF1<0.故选：C.柱锥台的轴截面问题一、单选题1．（2022·山东·模拟预测）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥.若一个直角圆锥的侧面积为SKIPIF1<0，则它的体积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】由题意知直角圆锥的底面圆半径为r等于高h，再由直角圆锥的侧面积求出底面圆的半径，即可求出其体积.【详解】设该直角圆锥的底面圆半径为r，高为h，母线长为l，因为直角圆锥的轴截面为等腰直角三角形，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.因为直角圆锥的侧面积为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以该直角圆锥的体积为SKIPIF1<0.故选：B.二、多选题2．（2021·广东中山·模拟预测）正四棱锥SKIPIF1<0的所有棱长为2，用垂直于侧棱SKIPIF1<0的平面SKIPIF1<0截该四棱锥，则（

）A．截面可以是三角形B．SKIPIF1<0与底面SKIPIF1<0所成的角为SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0与底面SKIPIF1<0所成的角为SKIPIF1<0D．当平面SKIPIF1<0经过侧棱SKIPIF1<0中点时，截面分四棱锥得到的上下两部分几何体体积之比为3：1【答案】ACD【分析】对于A：取PC的中点E，连结BE、DE、BD.可以证明SKIPIF1<0面BDE，即可判断A；对于B、C：作为SKIPIF1<0与底面SKIPIF1<0所成的角.即可求得；对于D：分别求出上下两部分几何体的体积，即可判断.【详解】对于A:取PC的中点E，连结BE、DE、BD.因为正四棱锥SKIPIF1<0的所有棱长为2，所以△PBC、△PBC为正三角形，所以SKIPIF1<0又SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0面BDE，即△BDE为截面.故A正确；对于B、C:过P作SKIPIF1<0底面ABCD于O，则O为AC中点.则SKIPIF1<0即为SKIPIF1<0与底面SKIPIF1<0所成的角.因为正四棱锥SKIPIF1<0的所有棱长为2，所以SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0.故B错误，C正确；对于D:由A的推导过程可知：平面SKIPIF1<0经过侧棱SKIPIF1<0中点时，平面SKIPIF1<0即为平面BDE.此时SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0.故D正确故选：ACD三、填空题3．（2022·辽宁沈阳·模拟预测）已知圆锥底面圆半径为2，母线与底面成角为60°，则圆锥侧面积为__________，若圆锥底面圆周及顶点均在一球上，则该球体积为__________.【答案】

SKIPIF1<0

SKIPIF1<0【分析】求出圆锥的母线长可得侧面积，求出圆锥轴截面三角形外接圆半径即圆锥外接球半径，从而可得球体积．【详解】如图，SKIPIF1<0是圆锥的轴截面，由题意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，侧面积为SKIPIF1<0；SKIPIF1<0的外接圆半径为SKIPIF1<0，即为圆锥外接球半径，所以球体积为SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0．4．（2021·全国·模拟预测）已知圆锥的轴截面PAB是边长为a的正三角形，AB为圆锥的底面直径，球O与圆锥的底面以及每条母线都相切，记圆锥的体积为SKIPIF1<0，球O的体积为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0______；若M，N是圆锥底面圆上的两点，且SKIPIF1<0，则平面PMN截球O所得截面的面积为______.【答案】

SKIPIF1<0；

SKIPIF1<0.【分析】根据等边三角形的性质求出球O的半径SKIPIF1<0，从而可分别求出圆锥的体积为SKIPIF1<0和球O的体积为SKIPIF1<0；设MN的中点为C，连接PC，DM，首先求出点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离SKIPIF1<0，然后结合球O的半径SKIPIF1<0，即可求出平面PMN截球O所得截面圆的半径为r.【详解】如图，设D为AB的中点，连接PD，由题意知PD为圆锥的高，且SKIPIF1<0，易知球O的半径SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；设MN的中点为C，连接PC，DM，则SKIPIF1<0，易知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.过O点作SKIPIF1<0，垂足为E，易知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.设平面PMN截球O所得截面圆的半径为r，则SKIPIF1<0，所以截面的面积为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0.5.（2021上海市高三春考模拟卷）已知圆锥的母线长为5，侧面积为SKIPIF1<0，过此圆锥的顶点作一截面，则截面面积最大为__________【答案】SKIPIF1<0分析】圆锥轴截面顶角（两母线夹角）小于等于SKIPIF1<0时，轴截面面积最大，轴截面夹角大于SKIPIF1<0时，母线夹角为SKIPIF1<0时截面面积最大.【详解】设圆锥的底面半径为r，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0圆锥的高SKIPIF1<0，设轴截面中两母线夹角为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以当两母线夹角为SKIPIF1<0时，过此圆锥顶点的截面面积最大，最大面积为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0四、解答题6．（2021·湖南·雅礼中学二模）在空间直角坐标系SKIPIF1<0中，以坐标原点SKIPIF1<0为圆心，SKIPIF1<0为半径的球体上任意一点SKIPIF1<0，它到坐标原点SKIPIF1<0的距离SKIPIF1<0，可知以坐标原点为球心，SKIPIF1<0为半径的球体可用不等式SKIPIF1<0表示.还有很多空间图形也可以用相应的不等式或者不等式组表示，记SKIPIF1<0满足的不等式组SKIPIF1<0表示的几何体为SKIPIF1<0.（1）当SKIPIF1<0表示的图形截SKIPIF1<0所得的截面面积为SKIPIF1<0时，求实数SKIPIF1<0的值；（2）祖暅原理“幂势既同，则积不容异”.意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.记SKIPIF1<0满足的不等式组{z2⩽x2+y2⩽16,0⩽z⩽4所表示的几何体为SKIPIF1<0请运用祖暅原理求证SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的体积相等，并求出体积的大小.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）证明见解析，体积为SKIPIF1<0.【分析】（1）由题意可得几何体SKIPIF1<0表示上半球，球半径为4，从而有SKIPIF1<0，进而可求出实数SKIPIF1<0的值；（2）由题意可得几何体SKIPIF1<0为圆柱内挖去一个同底等高的圆锥，且该圆锥的对称轴与母线的夹角为SKIPIF1<0然后由祖暅原理可求得结果【详解】（1）{x2+y2+z当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，截面为圆面，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0（2）设SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0到SKIPIF1<0轴的距离为SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即点SKIPIF1<0到SKIPIF1<0轴的距离为SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0所表示的几何体为圆柱体.由SKIPIF1<0，即点SKIPIF1<0到SKIPIF1<0轴的距离为SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，点SKIPIF1<0在以一直角边在SKIPIF1<0轴上的等腰直角三角形绕SKIPIF1<0轴旋转而成的倒圆锥面上.所以SKIPIF1<0所表示的几何体SKIPIF1<0为圆柱内挖去一个同底等高的圆锥.且该圆锥的对称轴与母线的夹角为SKIPIF1<0在SKIPIF1<0中，平面SKIPIF1<0所截的截面为圆，其面积为SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，平面SKIPIF1<0所截的截面为圆环，在圆柱中的截面圆面积为SKIPIF1<0，在圆锥中的截面圆面积为SKIPIF1<0，所以在SKIPIF1<0中截面面积为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0截SKIPIF1<0所得面积均相等，从而由祖暅原理知SKIPIF1<0体积相等，由SKIPIF1<0为半球知其体积SKIPIF1<0【点睛】关键点点睛：此题考查祖暅原理的应用，考查新定义，考查不等式与几何图形的关系，解题的关键是正确理解新定义和祖暅原理，考查转化思想，属于中档题1.（2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题）已知圆锥的底面半径为SKIPIF1<0，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】B【分析】设圆锥的母线长为SKIPIF1<0，根据圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长可求得SKIPIF1<0的值，即为所求.【详解】设圆锥的母线长为SKIPIF1<0，由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故选：B.2.（2021年全国高考甲卷数学试题）已如A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且SKIPIF1<0，则三棱锥SKIPIF1<0的体积为（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】A【分析】由题可得SKIPIF1<0为等腰直角三角形，得出SKIPIF1<0外接圆的半径，则可求得SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离，进而求得体积.【详解】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为等腰直角三角形，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0外接圆的半径为SKIPIF1<0，又球的半径为1，设SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：A.【点睛】关键点睛：本题考查球内几何体问题，解题的关键是正确利用截面圆半径、球半径、球心到截面距离的勾股关系求解.3.（2020年全国统一高考数学试卷（新课标Ⅰ））埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】C【分析】设SKIPIF1<0，利用SKIPIF1<0得到关于SKIPIF1<0的方程，解方程即可得到答案.【详解】如图，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，由题意SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，化简得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0（负值舍去）.故选：C.【点晴】本题主要考查正四棱锥的概念及其有关计算，考查学生的数学计算能力，是一道容易题.4.（2020年全国统一高考数学试卷（新课标Ⅰ））已知SKIPIF1<0为球SKIPIF1<0的球面上的三个点，⊙SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的外接圆，若⊙SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则球SKIPIF1<0的表面积为（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】A【分析】由已知可得等边SKIPIF1<0的外接圆半径，进而求出其边长，得出SKIPIF1<0的值，根据球的截面性质，求出球的半径，即可得出结论.【详解】设圆SKIPIF1<0半径为SKIPIF1<0，球的半径为SKIPIF1<0，依题意，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0为等边三角形，由正弦定理可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，根据球的截面性质SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0球SKIPIF1<0的表面积SKIPIF1<0.故选：A

【点睛】本题考查球的表面积，应用球的截面性质是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题.一、单选题1．（2022·江西萍乡·二模（理））正方体SKIPIF1<0棱长为SKIPIF1<0，动点SKIPIF1<0在线段SKIPIF1<0上（含端点），以下结论不正确的为（

）A．三棱锥SKIPIF1<0的体积为定值SKIPIF1<0B．过SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三点若可作正方体的截面，则截面图形为三角形或平面四边形C．当点SKIPIF1<0和SKIPIF1<0重合时，三棱锥SKIPIF1<0的外接球体积为SKIPIF1<0D．直线SKIPIF1<0与面SKIPIF1<0所成角的正弦值的范围为SKIPIF1<0【答案】D【分析】根据锥体体积公式、正方体的截面、三棱锥的外接球、线面角等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】A选项，根据正方体的性质可知SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离为定值，设SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0为定值，A选项正确.B选项，当SKIPIF1<0与SKIPIF1<0重合时，截面图形为平面四边形SK