2023函数专题之函数求函数的解析式（解析版）

函数专题之函数求函数的解析式一、【方法总结】函数的解析式是函数函数三要素中对应关系的具体表现形式之一，如我们提到一次函数，二次函数，脑海里马上回反应出它们的解析式分别是，，当然还有后来我们学习过的幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等函数，也可以写出它们的解析式，但在实际的学习过程中，会遇到各种知道或不知道函数类型的情况，我们要如何应对才能搞定这些函数的解析式呢？接下来，我们来总结一下，求函数解析式的方法：方法一：待定系数法，该种方法是要知道所求函数解析式的类型，就可以采用。具体函数类型为：一次函数：二次函数：幂函数：指数函数：对数函数：三角函数：①正弦（型）函数；②余弦（型）函数；③正切（型）函数； 方法二：换元法，该种方法针对于已知复合函数的解析式的情况，但在求解的过程要注意新元的取值范围（在确定取值范围的过程要用到求定义域和求值域的知识）。方法三：配凑法，该种方法针对于已知，可将改写成关于的表达式，然后以代替，便得的解析式，在这个过程中要注意所求函数的定义域。方法四：构造法（或解函数方程法），该种方法针对于已知关于与或的表达式，可以根据已知条件再构造出另一个等式，通过借方程组求出。二、【例题精讲】方法一：待定系数法1、已知是二次函数，且，，求的解析式．1、解析：(待定系数法)设，由知，所以又由，得，即，所以，解得所以【跟进训练】已知是一次函数，且3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，则＝__________.解析：待定系数法.因为是一次函数，可设，所以，即，所以所以f(x)的解析式是.方法二：换元法2、已知，求的解析式．2、解析：(换元法)令，得因为，所以………（这个过程包含了求函数定义域值域的过程）代入原函数中解得.故的解析式是【跟进训练】已知，则＝__________.解析：换元法.设，t∈[0，2]，则，因为，所以，∈[0，2].即。方法三：配凑法3、已知，求的解析式．3、解析：(配凑法)因为，所以．【跟进训练】已知，则＝__________.解析：配凑法.，所以方法四：构造法（或解函数方程法）(4)已知函数满足，求的解析式．4、解析：(解方程组法)由，①得.②①×2－②，得，即故的解析式是，x∈R.【跟进训练】已知满足，则＝________.解析：因为，①以代替①中的，得，②①＋②×2得，所以.三、【基础训练】1、(2021江西南昌)已知函数是单调函数，且x∈(0，＋∞)时，有，则＝（）A.－4B.－3C.－1D.01、解析：由题得，设，是一个正数，因为，所以，解得，所以＝－1.故选C.2、已知函数在R上是单调函数，且满足对任意x∈R，都有，则的值是()A.4B.8C.10D.122、解析：根据题意，是单调函数，且，则为定值.设，为常数，则且，即有3t＋t＝4，得，则，故.故选C.3、(2020西湖区)已知函数满足，则的解析式为（）A.B.C.D.3、解析：令，得，①将用代替，可得，②联立①②可得，所以，故选D.4．已知，则＝________.4、解析：(换元法)令，则，代入原式有，所以．5、已知，则＝__________.5、解析：令，则，代入原式得所以6、已知，则＝__________.6、解析：，所以7、已知函数的定义域为(0，＋∞)，且，则＝____7、解析：消去法.在中，将换成，则换成，得，由解得8、设是二次函数，，，则