N维空间几何体质心的计算方法

N维空间几何体质心的计算方法摘要:本文主要是求一个图形或物体的质心坐标的问题，通过微积分方面的知识来求解•从平面推广到空间，问题也由易到难。首先提出质心或形心问题，然后给出重心的定义,再由具体的例子来求解相关问题。关键字:质心重心坐标平面薄板二重积分三重积分质心或形心问题：这类问题的核心是静力矩的计算原理。1.均匀线密度为M的曲线形体的静力矩与质心：静力矩的微元关系为dMxyudldMyxudl.其中形如曲线L（（，yfxaxb=壬的形状体对x轴与y轴的静力矩分别为（ayfxSJsR77T<(byaMufx=1设曲线ABL的质心坐标为(，xy,则,，yxMMMM其中（baMuxdxu1J为ABL的质量,L为曲线弧长。若在式yM与式XMyM两端同乘以2兀,则可得sHTTf.到22(bayxlfxS兀兀baxylfxS兀兀J，其中XS与yS分别表示曲线ABL绕x轴与y轴旋转而成的旋转体的侧面积。2.均匀密度平面薄板的静力矩与质心：设f(x为[]，ab上的连续非负函数,考虑形如区域{}(,,0(Dxyaxbyfx=««的薄板质心，设M为其密度，利用微元法，小曲边梯形MNPQ的形心坐标为1(,(，2yfyxyxx«+A，当分割无限细化时，可当小曲边梯形MNPQ的质量视为集中于点1(,(2xfx处的一个质点，将它对x轴与y轴分别取静力矩微元可有1((2dMufxfxdx(ydMuxfxdx.两个静力矩为21(2bxaMufxdxJ(bMuxfxdx=J.设质心坐标为（,xy,则有（ybaMuxxfxdxMM=J21（2ybaMuyfxdxMM=J.其中(baMufxdxMAJ为该均匀密度薄板的质量,A为面积。二.平面图形的重心:给定一个曲线yfxyfxxaxb==围成的图形，它是一个物质平面图形，我们考虑均匀的面密度，即单位面积的质量为常数，它在图形的各部分都等于6.将所给图形用直线l,,,nxaxxxxb==，划分成宽为12,,,nxxxAAA的窄条，每个窄条的质量等于它的面积和密度6的乘积。如果每个窄条用以ixA为底，高为21((iiff^-的矩形来代替，其中，则这窄条的质量将近似等于[]21(((1,2„iiiimffxin8q^A=-A=，这个窄条的重心将近似位于相应的矩形的重心上：21(((,Qiiiiicffxy胶+=现在把每个窄条用一个质点来代替，它的质量等于对应窄条的质量,并旦集中于该窄条的重心处，我们来求整个图形的重心坐标的近似值。[][]2121((((1ffxxffx[][][]1221211((((2((i11111c111ffffxyffx&&顽吟公-当max0ix△一•时取极限则得((((bacbaxfxfxdxxfxfxdx-JL[][][]21212U((((2((bacbafxfxfxfxdxyfxfxdx+-=JJ.这些公式任何均匀的平面图形都适用，可看出重心的坐标是与密度无关的。例:求抛物线与直线所围成的重心的坐标(如图解:在这种情况下，\/ax.21((fxfx=因此Ocy=.重心1.物体的重心是指物体各部分所受重力的合力的作用点，在生产实际中,常常要确定物体的重心。例如:炼钢用钢水包的包轴位置，就与钢水包的重心有关，如果包轴低于重心,用天平调动钢包时就会翻转，如果包轴高于重心过多，则倒出钢水时翻转困难。因此,我们总是将包轴安装于略高于重心的地方，这时显然需要确定重心的位置。本段将利用定积分来计算任意形状的均匀平面薄板的重心位置，显然，若于其重心处支持之，则此薄板必保持水平平衡而不倾斜。设均匀薄板是由曲线l(yyx=,2(yyx=和直线xb=围成的平面图形，我们要求此平面的重心(,Gxy,用u表示此薄板单位面积的重量，则微面积sd的重量为12(uyydx-,其重心G的坐标为

(,2yyx十,显然整个薄板的重量为12(bauyydx-J,由力学知，合力yydxf1-=-LJ对任一轴的力矩,等于各分力对该轴力矩之和，取对yyydxf1-=-LJ1212((bbaauyydxxuxJJ，取对X轴的力矩得121212((2bbaayyuyydxyuyydxaayyuyydxyuyydx」1-・=-•LJJJ,由此两式，即得确定薄板重心坐标的公式:12122222121212((((111((22(bbaabaaxyydxxyydxxsyydxyydxyydxysyydxb-lJ其中s标薄板的面积，由公式(1知均匀薄板的重心只与薄板的形状有关,而与薄板单位面积的重量无关。特别，若2(0yx三,则得曲边梯形薄板重心坐标公式：babaxydxxydx=J[12babaydxyydx=JJ.例:试求半径为R的半圆形均匀薄板的重心。解:由于22RS7T=,iy=2尸=故知重心G的坐标(,xy为：==r2-V2Jr：一『JR：一『120232222(222(40.42332bRaRxyydxxsRRxRRR7T71JI22121(20bayydxys-==f.利用二重积分来求一般的非均匀薄板的重心设有非均匀平面薄板D，其上每点的密度为(,xypp=，设薄板D的重心坐标为(,xy，考虑D中微面积dD，它的微质量为：(,dmxydDp=，它关于y轴与x轴的力矩分别为：(,xdmxxydDp=-^(,ydmyxydDp=把这些微质量的力矩加起来，即得薄板D关于y轴与x轴的力矩为：(,(，DDxdmxxydDxxydxdypp==nnn与（,（，DDDydmyxydDyxydxdypp==nnn薄板的总质量，于是根据重心的定义，得求重心坐标的公式:（,（，（2（,（，DDDDDDxdmxxydxdyxmxydxdyydmyxydxdyymx|II=IUUUUUUU特别，若薄板是均匀的，即(,xyp=常数，则得求均匀薄板重心坐标公式:DxdxdyxDJJ,DydxdyyDu对于均匀薄板，我们有[]21((21((yxbbayxaDxdxdydxxdyxyxyxdx=-JJJJL[][]{)2211(2(((222121((2yxyxbbbayydxdydxydydxyxyxdx(2lbaxyydxxDJ,(222112bayydxyD.=设一立体在空间占据区域T,那么立体的体积为TVdxdydz=JU设（,,xyzpp=,（,,xyzT仁是立体在点（,,xyz的密度，其中T是它所占据的空间区域,那么该立体的质量为（,,TMxyzdxdydzp=J[[立体重心的坐标公式为：1TxxdxdvdzVITyydxdydzJJJ,ITzzdxdvdzJVIII-这里x,y,z是区域T的几何重心的坐标。例:求平面Ox=,0z=,ly=,3y=,23xz十=所围之棱柱的重心坐标。解:先求棱柱的体积3332013330103203(321(3zTVdxdydzdxdydzdxdyxdxxx_=.==-=.=J[[[[[JU现在求重心的坐标338201022199xTxxdxdydzxdxdydz-===201022299xTyydxdydzdxydydz-==JJjJJJ,3382010221992xTzzdxdydzdxdyzdz-==ffffff•参考文献：《微积分与解析几何》电子工业出版社，L,