河北省部分重点高中2024届高三上学期期末考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河北省部分重点高中2024届高三上学期期末考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（）A. B. C. D.【答案】B【解析】.故选：B2.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】对于集合，由解得，所以.因为，当且仅当时，等号成立，所以，所以.故选：A3.“是第二象限角”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】充分性：若是第二象限角，则，，可推出，充分性成立；必要性：若，即与异号，则为第二象限或第三象限角，必要性不成立；故选：A4.已知、是不重合的两条直线，、是不重合的两个平面，则下列结论正确的是（）A.若，，，则B.若，，，则C.若，，，则D.若，，则【答案】A【解析】对于A，因为，，所以，又，，所以，A正确；对于B，在正方体中，记平面为，平面为，为，为，则，，，但与不平行，B错误；对于C，记平面为，平面为，为，为，由正方体性质可知，平面，平面，所以，则，，，但不垂直，C错误；对于D，记为，为，平面为，则，，但与不垂直，D错误.故选：A5.我们把形如：和：的两个双曲线叫做共轭双曲线.已知与互为共轭双曲线，且的离心率，则的离心率（）A. B.2 C. D.【答案】C【解析】由，得，，解得.故选：C.6.折纸既是一种玩具，也是一种艺术品，更是一种思维活动.如图，有一张直径为4的圆形纸片，圆心为，在圆内任取一点，折叠纸片，使得圆周上某一点刚好与点重合，记此时的折痕为，点在上，则的最小值为（）A.5 B.4 C.3 D.2【答案】D【解析】如图，设关于对称的点为，则在圆上，连接，，则有，故.故选：D7.在中，为边上的高，且向量，，则向量（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为，，所以，设，则，解得，则.故选：D.8.已知，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】令，，当时，，当时，.在0,+∞上，，所以，在0,+∞上均单调递增，由，即可得，因为幂函数在0,+∞上单调递增，所以，指数函数在R上单调递减，所以，综上可知，.又因为对数函数在0,+∞上单调递增，所以，即.故选：B.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.函数图象的对称轴方程可能为（）A.0 B. C. D.【答案】AD【解析】，则图象的对称轴方程为，..故选:AD.10.一家公司为了解客户对公司新产品的满意度，随机选取了名客户进行评分调查，根据评分数进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出的频率分布直方图如图所示，其中有8名客户的评分数落在40,50内，则（）A.图中的B.C.同组数据用该组区间的中点值作代表，则评分数的平均数为76.2D.该公司计划邀请评分数低于第25百分位数的客户参与产品改进会议，若客户甲的评分数为71，则甲将会被邀请参与产品改进会议【答案】ABC【解析】由频率分布直方图可知：，解之得，A正确；评分落在40,50内的有8人，所以，B正确；评分的平均数为，C正确；，所以甲不会被邀请，D错误.故答案为：ABC11.球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科.如图，球的半径为，，，为球面上三点，劣弧的弧长记为，设表示以为圆心，且过，的圆，同理，圆，的劣弧，的弧长分别记为，，曲面（阴影部分）叫做曲面三角形，若，则称其为曲面等边三角形，线段，，与曲面围成的封闭几何体叫做球面三棱锥，记为球面.设，，，则下列结论正确的是（）A.若平面是面积为的等边三角形，则B.若，则C.若，则球面的体积D.若平面为直角三角形，且，则【答案】BC【解析】若平面是面积为的等边三角形，则，则，.A不正确.若，则，则.B正确.若，则，，则平面的外接圆半径为，则到平面的距离，则三棱锥的体积，则球面的体积.C正确.由余弦定理可知因为，所以，则.取，，则，，则.D不正确.故选：BC12.已知函数及其导函数的定义域均为，且，的图象关于点对称，则（）A.B.为偶函数C.的图象关于点对称D.【答案】ABD【解析】由，可得，则，令，得，A正确.令，则，故为偶函数，B正确.假设的图象关于点1,0对称，则，则，即关于直线x=1对称，又fx不是常函数，这与f'x的图象关于点1,0对称矛盾，假设不成立，C因为f'x的图象关于点1,0对称，所以令，则，则（为常数），则，从而，即，由，得，D正确.故选：ABD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.抛物线的顶点到它准线的距离为_______.【答案】1【解析】抛物线即的准线方程为，顶点到它准线的距离为1.故答案为：1.14.已知函数的最小值为0，则_______.【答案】【解析】因为，所以.若，则在上单调递减，无最小值.若，则在上单调递减，在上单调递增，所以，解得.故答案为：15.单调递增的等比数列的前项和为，若，，则_______.【答案】31【解析】数列为等比数列，所以，，因为an单调递增，所以，，设公比为q,,则.故答案为：31.16.将1，2，3，…，9这9个数填入如图所示的格子中（要求每个数都要填入，每个格子中只能填一个数），记第1行中最大的数为，第2行中最大的数为，第3行中最大的数为，则的填法共有_______种.【答案】60480【解析】第3行，，可选的位置有3个，其余2个位置任取2个数，共有种情况.第2行，取剩下6个数中最大的数为，可选的位置有3个，其余2个位置任取2个数，共有种情况，第1行，剩下3个数任意排列，则有种情况，故共有种填法故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.的内角，，的对边分别为，，.已知.（1）求的值；（2）若，，求的面积.解：（1）因为，所以，则.又，所以，则，即.（2）由（1）及已知有，则，则.，所以的面积.18.如图，在四棱锥中，平面，底面为直角梯形，，，，，.（1）证明：.（2）求直线与平面所成角的正弦值.证明：（1）连接，因，，，所以，由，得，则则，从而又平面，平面，所以.因平面，平面,所以平面又平面，所以解：（2）以为坐标原点，，所在的直线分别为轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则P0,0,1，，，D0,1,0，，，PD=0,1,-1.设平面的法向量为m=x,y,z由得令，得.，故直线与平面所成角的正弦值为.19.在数列an中，，且.（1）求an（2）若，数列的前项和为，求解：（1）当时，，则.当时，由，得，则，则.因为，所以an从第2项起成等比数列，.（2），当为大于1的奇数时，，当为偶数时，..，则，则，，则，则.20.某学校组织知识竞赛，题库中试题分，两种类型，每个学生选择2题作答，第1题从，两种试题中随机选择一题作答，学生若答对第1题，则第2题选择同一种试题作答的概率为，若答错第1题，则第2题选择同一种试题作答的概率为.已知学生甲答对种试题的概率均为，答对种试题的概率均为，且每道试题答对与否相互独立.（1）求学生甲2题均选择种试题作答的概率；（2）若学生甲第1题选择种试题作答，记学生甲答对的试题数为，求的分布列与期望.解：（1）若学生甲第1题选择种试题作答并且答对，则第2题选择种试题作答的概率，若学生甲第1题选择种试题作答并且答错，则第2题选择种试题作答的概率，故学生甲2题均选择种试题作答的概率.（2）由题可知，的取值可能为0，1，2，且，，，故的分布列为012则.21.已知，分别是椭圆：的左、右顶点，是椭圆的上顶点，且，的周长为.（1）求椭圆的方程.（2）为坐标原点，斜率为的直线与椭圆相交于，两点，直线，的斜率分别为，.是否存在常数，使得为定值？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.解：（1）因为，所以，则，又的周长为，所以，解得，则，故椭圆的方程为.（2）设直线的方程为，Mx1,y1联立方程组，整理得，，由韦达定理得，，又，所以，又，，所以，令，即，则为定值，故存在，使得为定值.22.已知函数.（1）当时，求曲线y=fx在处的切线方程；（2）当时，证明：恰有三个不同的极值点，，，且.参考数据