有限元课件第5讲结构单元

第5讲结构单元第5讲结构单元第5讲结构单元5.1结构力学问题5.2杆件单元轴力杆单元弯曲梁单元一般杆件单元5.3板壳单元板单元壳单元第5讲结构单元5.1结构力学问题5.1结构力学问题杆件和板壳结构在工程中广泛应用。特点：杆件——两个方向的尺度比其它方向小得多板壳——一个方向的尺度比其它方向小得多杆件和板壳结构在分析时可以根据其特性进行一定的简化。当然，简化后仍然包括三大类基本方程和两类边界条件，只是表达形式一般与通用表达式有所不同。以平面细长梁的弹性纯弯曲为例进行说明。5.1结构力学问题杆件和板壳结构在工程中广泛应用。平面假定——变形前垂直中心线（轴线）的截面变形后保持为平面，且仍然垂直中心线。单向受力假定——梁内各纵向纤维仅承受轴向拉应力或轴向压应力(其它应力分量很小，忽略不计)平面细长梁的弹性纯弯曲梁的形状与尺寸由其轴线与横截面确定。梁的变形可用横截面形心的线位移及截面的转角（角位移）描述。平面假定——变形前垂直中心线（轴线）的截面变形后保持为平面，三大类基本变量位移：轴线的挠度轴向应力：轴向应变：v(x)y注：中面上没有弯曲应力三大类基本变量位移：轴线dx

dMz

=FQy=qdxdFQyFQy

+dFQyFQyd2Mzdx2=qcΣFy=0:FQy+qdx-FQy

-dFQy=0ΣMc=0:-Mz+(Mz+dMz)-FQydx-qdx.dx/2=0平衡方程dxdMz=FQy=qdxdFQyFQy+dF几何方程v(x)y小挠度情形下：细长梁几何方程v(x)y小挠度情形下：细长梁物理方程物理方程结构力学问题的有限元分析原则上，可以使用2D、3D实体单元分析杆件和板壳结构问题，但存在一定的困难。为了获得一定的计算精度，单元划分时必须保持单元在各个方向上尺度相近，这样导致单元总数过分庞大，计算效率过低。关于杆件和板壳结构，如前所述，通常是根据结构的特点在应变和应力方面引入一定的假定，对问题进行简化，从而构造适合杆件和板壳结构分析的单元。结构单元是杆件单元和板壳单元的总称。结构力学问题的有限元分析原则上，可以使用2D、3D实体单元分5.2杆件单元轴力杆单元弯曲梁单元一般杆件单元5.2杆件单元轴力杆单元轴力杆单元（2节点）几何方程：物理方程：轴力杆单元（2节点）几何方程：物理方程：有限元课件第5讲结构单元弯曲梁单元（2节点）基于Kirchhoff假设的经典梁单元（不考虑剪切变形的细长梁单元）考虑剪切变形的梁单元经典梁理论基础上引入剪切变形

——截面转动和挠度仍然相关（C1）Timoshenko梁单元

——挠度和截面转动独立插值（C0）弯曲梁单元（2节点）基于Kirchhoff假设的经典梁单元两种梁弯曲理论的比较不同点：经典梁理论——截面变形后仍垂直中心线考虑剪切变形的梁理论——截面变形后不再垂直中心线共同点：平面假定两种梁弯曲理论的比较不同点：共同点：平面假定经典梁单元(细长梁)经典梁单元(细长梁)位移插值函数节点位移条件位移插值函数节点位移条件有限元课件第5讲结构单元梁的曲率式中B矩阵梁的曲率式中B矩阵单元应变能单元应变能单元刚阵单元刚阵考虑剪切变形的梁单元（非细长梁）只有当梁的高度远小于跨度时，才能忽略横向剪切变变形的影响。而高粱的情况下，梁内的横向剪切力将产生剪切变形并引起梁的附加挠度，使原来垂直于中面的截面变形后不再和中面垂直，但仍假定截面保持平面。经典梁单元基础上引入剪切变形的梁单元（C1）挠度和转角独立插值的Timoshenko梁单元（C0）修正系数考虑剪切变形的梁单元（非细长梁）只有当梁的高度远小于跨度时，经典梁单元基础上引入剪切变形的梁单元对于弯曲引起的挠度，采用经典梁的三次多项式插值函数：参见经典梁的表达形式经典梁单元基础上引入剪切变形的梁单元对于弯曲引起的挠度，采用位移插值函数节点位移条件对于剪切引起的附加挠度，采用线性插值函数：剪应变位移插值函数节点位移条件对于剪切引起的附加挠度，采用线性插值剪切变形使梁的刚度减弱当梁的高度h远远小于梁的跨度l时，剪切变形的影响可以忽略剪切变形使梁的刚度减弱挠度和转角独立插值的Timoshenko梁单元采用线性插值函数，可以得到：剪应变梁的曲率挠度和转角独立插值的Timoshenko梁单元采用线性插值函单元刚阵形式令单元刚阵形式令当h/l趋于0时（即梁很薄）时，希望剪应变为零要使该式在梁单元内恒成立，不仅常数项为零，还必须一次项为零，因此要求从而这意味着梁不能发生弯曲，与真实情况相违背，这种现象称为剪切锁死(shearlocking)。当h/l趋于0时（即梁很薄）时，希望剪应变为零要使该式在在剪切应变的表达式中，和的函数表达式不是相同的阶次，无法恒满足细长梁的约束条件关于剪切锁死换句话说，在梁很薄的情况下，不适当地夸大了剪切应变能的量级造成了剪切锁死现象。克服“剪切锁死”，可以采用的方案减缩积分（reducedintegration）假设剪切应变（assumedshearstrains）在剪切应变的表达式中，和的函数表达式关于剪切锁死关于减缩积分在计算的积分时，不采用精确积分，而用一点积分（单元的中心）来计算，这样相当于将原来的线性变化关系改为常数(中点平均值)，使得和保持同阶，就有可能做到使细长梁的约束条件恒得到满足。如此，考虑剪切变形的Timoshenko梁单元也可以用于细长梁的分析。关于减缩积分在计算的积分时，不采用精确积分，而用剪切应变能项刚度矩阵减缩积分精确积分减缩积分剪切应变能项刚度矩阵减缩积分精确积分减缩积分一般杆件单元轴力杆单元+弯曲梁单元一般杆件单元轴力杆单元+弯曲梁单元弯曲单元采用经典梁单元的情况211122弯曲单元采用经典梁单元的情况211122应用举例：平面杆件系统思路：单元特性分析基于局部坐标系；组装时基于

整体坐标系（经坐标变换）应用举例：平面杆件系统思路：单元特性分析基于局部坐标系；组装平面梁单元的坐标变换局部坐标系下节点位移列阵整体坐标系下节点位移列阵注：转角在两个坐标系下相同同样：平面梁单元的坐标变换局部坐标系下节点位移列阵整体坐标系下节点北京航空航天大学T——正交矩阵变换矩阵T北京航空航天大学T——正交矩阵变换矩阵T局部整体局部到整体的变换公式局部整体局部到整体的变换公式北京航空航天大学5.3板壳单元板单元两类板弯曲理论基于Kirchhoff理论的板单元基于Mindlin理论的板单元壳单元壳弯曲理论平板壳元曲面壳元北京航空航天大学5.3板壳单元板单元板弯曲理论单位长度上的弯矩、扭矩、剪力满足：板弯曲理论单位长度上的弯矩、扭矩、剪力满足：Kirchhoff薄板理论（不考虑剪切变形）yzwxzw中面法线绕x轴的转动：中面法线绕y轴的转动：薄板中面的挠度：Kirchhoff薄板理论（不考虑剪切变形）yzwxzw中面直法线假定忽略厚度方向的应力中面无横向变形进一步结合直法线假定，可以推论出：且直法线保持长度不变直法线假定忽略厚度方向的应力中面无横向变形进一步结合直法线假几何方程几何方程物理方程平面应力问题的弹性矩阵物理方程平面应力问题的弹性矩阵xzMindlin板理论

(考虑剪切变形的影响)w法线保持直线，但不再垂直中面。挠度和转角是各自独立的场函数。xzMindlin板理论(考虑剪切变形的影响)w法线保持直基于Kirchhoff薄板理论的板单元（4节点）节点参数：位移函数：基于Kirchhoff薄板理论的板单元（4节点）节点参数：位有限元课件第5讲结构单元刚度矩阵Ke的表达式非常冗长！转角是挠度的导数，要求C1连续性。可以证明这种单元是非协调单元，但能通过分片试验。刚度矩阵Ke的表达式非常冗长！转角是挠度的导数，要求C1连续基于Mindlin板理论的板单元（4节点）节点参数：挠度和转角独立插值，只要求C0连续性推导过程和考虑剪切变形的Timoshenko梁单元相同（省略）。这种单元也可以用于薄板问题的分析。基于Mindlin板理论的板单元（4节点）节点参数：挠度和转两类板单元的比较Kirchhoff板单元——只适合薄板问题的分析Mindlin板单元——不仅适合中厚板的分析，经过适当的处理也可以对薄板问题进行分析。两类板单元的比较Kirchhoff板单元——只适合薄板问题的壳弯曲理论和板弯曲理论基本一致：Kirchhoff壳理论——薄壳Mindlin壳理论——中厚壳不同点：板弯曲——不考虑中面的面内变形壳弯曲——考虑中面的面内变形壳弯曲例如：壳弯曲理论和板弯曲理论基本一致：壳弯曲例如：平板壳元平板壳元在局部坐标系内建立单元的刚度矩阵，并求出等效节点载荷将单元的刚度矩阵和等效节点载荷向整体坐标系转换，并集成求出整体坐标系下的位移向量转换到局部坐标系下的位移向量局部坐标系下计算应变应力在局部坐标系内建立单元的刚度矩阵，并求出等效节点载荷关于平板壳元平板壳元是平面应力单元和平板弯曲单元的组合。平板弯曲单元稍加扩充就可以应用于壳体分析。然而用折板代替壳体，网格需要合理的密度才能得到满足实际要求的计算精度。采用曲面壳元能够更好地反映壳体的真实几何形状，通常可以得到比平板壳元更好的结果。曲面壳元关于平板壳元平板壳元是平面应力单元和平板弯曲单元的组合。平板曲面壳元基于薄壳理论的曲面壳元需要构造具有C1连续性同时满足完备性要求的插值函数是非常困难的。基于Mindlin壳理论，构造位移和转动独立插值的曲面壳元，只要求满足C0连续性，自然要容易的多，而且这类壳单元经过适当的处理也可以进行薄壳分析（注意剪切锁死）。下面介绍一类从三维实体单元退化而来的超参数壳元（最简单的4节点单元）。曲面壳元基于薄壳理论的曲面壳元需要构造具有C1连续性同时满足退化的Mindlin超参壳元1243在三维实体中引入壳体理论假设，将壳体上下表面上一对节点的6个自由度退化为壳体中面上一个节点的5个自由度。退化的Mindlin超参壳元1243在三维实体中引入壳体理论节点坐标：节点中面法线单位向量：坐标插值函数的构造节点坐标：节点中面法线单位向量：坐标插值函数的构造节点中面法线任意点坐标：单元内任意点坐标：节点中面法线任意点坐标：单元内任意点坐标：位移函数的构造节点自由度：5个位移函数的构造节点自由度：5个单元内任意点位移单元内任意点位移有限元课件第5讲结构单元关于超参壳元

几何变换采用的节点自由度数（24）大于位移变换所采用的节点自由度数（20）。关于超参壳元几何变换采用的节点自由度数（24）大于位移经典梁和板壳理论中应用了中面的法线在变形后仍和中面垂直的直法线假设(即Kirchhoff假设)，因此基于该理论建立的梁单元和板壳单元，在单元交界面上提出了变形前的法线在变形后保持连续的要求。由于法线的转动是由挠度的导数表示的，因此实际上是要求挠度的一阶导数保持连续（梁和板壳的能量泛函中包含挠度的二阶导数），即梁、板壳单