新人教版高中数学必修第二册第十章概率课件

10.1.1有限样本空间与随机事件第十章

10.1随机事件与概率学习目标XUEXIMUBIAO1.理解随机试验、样本点与样本空间，会写试验的样本空间.2.了解随机事件的有关概念，掌握随机事件的表示方法及含义.NEIRONGSUOYIN内容索引知识梳理题型探究随堂演练1知识梳理PARTONE我们把对随机现象的

和对它的

称为

，简称

，常用字母

表示.我们感兴趣的是具有以下特点的随机试验：(1)试验可以在相同条件下

进行；(2)试验的所有可能结果是

，并且

；(3)每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果.知识点一随机试验实现观察随机试验试验E重复明确可知的不止一个我们把随机试验E的每个可能的

称为

，全体样本点的集合称为试验E的

，一般地，用Ω表示样本空间，用ω表示样本点，如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}为

.知识点二样本空间基本结果样本点样本空间有限样本空间1.一般地，随机试验中的

都可以用这个试验的样本空间的

来表示，为了叙述方便，我们将样本空间Ω的子集称为

，简称

，并把只包含

的事件称为

.当且仅当A中某个样本点出现时，称为

.2.Ω作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，我们称Ω为

.3.空集

不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称为∅为

.知识点三随机事件、必然事件与不可能事件每个随机事件子集随机事件事件一个样本点基本事件事件A发生必然事件不可能事件∅思考辨析判断正误SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU1.对于随机试验，当在同样的条件下重复进行试验时，每次试验的所有可能结果是不知道的.(

)2.连续抛掷2次硬币，该试验的样本空间Ω＝{正正，反反，正反}.(

)3.“已知一个盒中装有4个白球和5个黑球，从中任意取1个球，该球是白球或黑球”，此事件是必然事件.(

)4.“某人射击一次，中靶”是随机事件.(

)××√√2题型探究PARTTWO例1

写出下列试验的样本空间：(1)同时掷三颗骰子，记录三颗骰子出现的点数之和；一、样本空间的求法解该试验的样本空间Ω1＝{3,4,5，…，18}.(2)从含有两件正品a1，a2和两件次品b1，b2的四件产品中任取两件，观察取出产品的结果；解该试验，所有可能的结果如图所示，因此，该试验的样本空间为Ω2＝{a1a2，a1b1，a1b2，a2b1，a2b2，b1b2}.(3)用红、黄、蓝三种颜色给图中3个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，观察涂色的情况.

解如图，用1,2,3分别表示红色、黄色与蓝色三种颜色，则此试验的样本空间为Ω3＝{(1,1,1)，(1,1,2)，(1,1,3)，(1,2,1)，(1,2,2)，(1,2,3)，(1,3,1)，(1,3,2)，(1,3,3)，(2,1,1)，(2,1,2)，(2,1,3)，(2,2,1)，(2,2,2)，(2,2,3)，(2,3,1)，(2,3,2)，(2,3,3)，(3,1,1)，(3,1,2)，(3,1,3)，(3,2,1)，(3,2,2)，(3,2,3)，(3,3,1)，(3,3,2)，(3,3,3)}.延伸探究本例(2)中“任取两件”改为连续取两次，且每次取出后又放回，此时样本空间又是什么？解如图，所以样本空间为Ω4＝{(a1，a1)，(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，a1)，(a2，a2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(b1，a1)，(b1，a2)，(b1，b1)，(b1，b2)，(b2，a1)，(b2，a2)，(b2，b1)，(b2，b2)}.反思感悟写样本空间的关键是找样本点，具体有三种方法(1)列举法：适用样本点个数不是很多，可以把样本点一一列举出来的情况，但列举时必须按一定的顺序，要做到不重不漏.(2)列表法：适用于试验中包含两个或两个以上的元素，且试验结果相对较多的样本点个数的求解问题，通常把样本归纳为“有序实数对”，也可用坐标法，列表法的优点是准确、全面、不易遗漏.(3)树状图法：适用较复杂问题中的样本点的探求，一般需要分步(两步及两步以上)完成的结果可以用树状图进行列举.跟踪训练1

写出下列试验的样本空间：(1)随意安排甲、乙、丙、丁4人在4天节日中值班，每人值班1天，记录值班的情况；解如图，设甲、乙、丙、丁分别为1,2,3,4，所以样本空间Ω1＝{(1,2,3,4)，(1,2,4,3)，(1,3,2,4)，(1,3,4,2)，(1,4,2,3)，(1,4,3,2)，(2,1,3,4)，(2,1,4,3)，(2,3,1,4)，(2,3,4,1)，(2,4,1,3)，(2,4,3,1)，(3,1,2,4)，(3,1,4,2)，(3,2,1,4)，(3,2,4,1)，(3,4,1,2)，(3,4,2,1)，(4,1,2,3)，(4,1,3,2)，(4,2,1,3)，(4,2,3,1)，(4,3,1,2)，(4,3,2,1)}.(2)从一批产品中，依次任选三件，记录出现正品与次品的情况.解设正品为H，次品为T，样本空间Ω2＝{HHH，HHT，HTH，THH，HTT，TTH，THT，TTT}.二、随机事件的表示例2

试验E：甲、乙两人玩出拳游戏(锤子、剪刀、布)，观察甲、乙出拳的情况.设事件A表示随机事件“甲乙平局”；事件B表示随机事件“甲赢得游戏”；事件C表示随机事件“乙不输”.试用集合表示事件A，B，C.解设锤子为w1，剪刀为w2，布为w3，用(i，j)表示游戏的结果，其中i表示甲出的拳，j表示乙出的拳，则样本空间E＝{(w1，w1)，(w1，w2)，(w1，w3)，(w2，w1)，(w2，w2)，(w2，w3)，(w3，w1)，(w3，w2)，(w3，w3)}.因为事件A表示随机事件“甲乙平局”，则满足要求的样本点共有3个：(w1，w1)，(w2，w2)，(w3，w3)，∴事件A＝{(w1，w1)，(w2，w2)，(w3，w3)}.事件B表示“甲赢得游戏”，则满足要求的样本点共有3个：(w1，w2)，(w2，w3)，(w3，w1)，∴事件B＝{(w1，w2)，(w2，w3)，(w3，w1)}.因为事件C表示“乙不输”，则满足要求的样本点共有6个，(w1，w1)，(w2，w2)，(w3，w3)，(w2，w1)，(w1，w3)，(w3，w2)，∴事件C＝{(w1，w1)，(w2，w2)，(w3，w3)，(w1，w3)，(w2，w1)，(w3，w2)}.反思感悟对于随机事件的表示，应先列出所有的样本点，然后，确定随机事件中含有哪些样本点，这些样本点作为元素表示的集合即为所求.跟踪训练2

如图，从正方形ABCD的四个顶点及其中心O这5个点中，任取两点观察取点的情况，设事件M为“这两点的距离不大于该正方形的边长”，试用样本点表示事件M.解M＝{AB，AO，AD，BC，BO，CD，CO，DO}.三、随机事件的含义例3

在试验E：“连续抛掷一枚均匀的骰子2次，观察每次掷出的点数”中，指出下列随机事件的含义：(1)事件A＝{(1,3)，(2,3)，(3,3)，(4,3)，(5,3)，(6,3)}；解事件A中所含的样本点中的第二个数为3，根据样本空间知第二个数为3的样本点都在事件A中，故事件A的含义为连续抛掷一枚均匀的骰子2次，第二次掷出的点数为3.(2)事件B＝{(1,5)，(5,1)，(2,4)，(4,2)，(3,3)}；解事件B中所含的样本点中两个数的和均为6，且样本空间中两数和为6的样本点都在事件B中，故事件B的含义为连续抛掷一枚均匀的骰子2次，2次掷出的点数之和为6.(3)事件C＝{(1,3)，(3,1)，(4,2)，(2,4)，(3,5)，(5,3)，(4,6)，(6,4)}.解事件C的所含样本点中两个数的差的绝对值为2，且样本空间中两个数差的绝对值为2的样本点都在C中，故事件C的含义为连续抛掷一枚均匀的骰子2次，两次掷出的点数之差的绝对值为2.反思感悟解答此类题目，应先理解事件中样本点的意义，再观察事件中样本点的规律，才能确定随机事件的含义.跟踪训练3

柜子里有3双不同的鞋，随机抽取2只，用A1，A2，B1，B2，C1，C2分别表示3双不同的鞋，其中下标为奇数表示左脚，下标为偶数表示右脚.指出下列随机事件的含义.(1)M＝{A1B1，A1B2，A1C1，A1C2，A2B1，A2B2，A2C1，A2C2，B1C1，B1C2，B2C1，B2C2}；解事件M的含义是“从3双不同的鞋中随机抽取2只，取出的2只鞋不成双”.(2)N＝{A1B1，B1C1，A1C1}；解事件N的含义是“从3双不同鞋中，随机抽取2只，取出的2只鞋都是左脚的”.(3)P＝{A1B2，A1C2，A2B1，A2C1，B1C2，B2C1}.解事件P的含义是“从3双不同鞋中，随机抽取2只，取到的鞋一只是左脚的，一只是右脚的，但不成双”.3随堂演练PARTTHREE1.下列事件是必然事件的是A.从分别标有数字1,2,3,4,5的5张标签中任取一张，得到标有数字4的标签B.函数y＝logax(a>0且a≠1)为增函数C.平行于同一条直线的两条直线平行D.随机选取一个实数x，得2x<012345√解析A.是随机事件，5张标签都可能被取到；B.是随机事件，当a>1时，函数y＝logax为增函数，当0<a<1时，函数y＝logax为减函数；C.是必然事件，实质是平行公理；D.是不可能事件，根据指数函数y＝2x的图象可得，对任意实数x,2x>0.2.集合A＝{2,3}，B＝{1,2,4}，从A，B中各任意取一个数，构成一个两位数，则所有基本事件的个数为A.8 B.9C.12 D.11√12345解析从A，B中各任意取一个数，可构成12,21,22,24,42,13,31,23,32,34,43，共11个.123453.元旦期间，小东和爸爸、妈妈外出旅游，一家三口随机站成一排，则小东恰好站在中间的站法种数为A.2 B.3C.4 D.5√4.抛掷3枚硬币，试验的样本点用(x，y，z)表示，集合M表示“既有正面朝上，也有反面朝上”，则M＝_________________________________________________________.12345{(正正反)，(正反正)，(反正正)，(正反反)，(反正反)，(反反正)}解析试验的样本空间为Ω＝{(正正正)，(正正反)，(正反正)，(反正正)，(正反反)，(反正反)，(反反正)，(反反反)}，则M＝{(正正反)，(正反正)，(反正正)，(正反反)，(反正反)，(反反正)}.123455.抛掷一枚质地均匀的骰子两次，事件M＝{(2,6)，(3,5)，(4,4)，(5,3)，(6,2)}，则事件M的含义是_____________________________.抛骰子两次，向上点数之和为81.知识清单：(1)随机试验.(2)样本空间.(3)随机事件.2.方法归纳：列表法、树状图法.3.常见误区：在列举样本点时要按照一定的顺序，要做到不重、不漏.课堂小结KETANGXIAOJIE10.1.2事件的关系和运算第十章

10.1随机事件与概率学习目标XUEXIMUBIAO1.理解事件的关系与运算.2.通过事件之间的运算，理解互斥事件和对立事件的概念.NEIRONGSUOYIN内容索引知识梳理题型探究随堂演练1知识梳理PARTONE知识点一事件的关系

定义符号图示包含关系一般地，若事件A发生，则事件B一定发生，称事件B包含事件A(或事件A包含于事件B)B⊇A(或A⊆B)

相等关系如果事件B包含事件A，事件A也包含事件B，即B⊇A且A⊇B，则称事件A与事件B相等A＝B

知识点二交事件与并事件

定义符号图示并事件(或和事件)一般地，事件A与事件B至少有一个发生，这样的一个事件中的样本点或者在事件A中，或者在事件B中，我们称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)A∪B(或A＋B)

交事件(或积事件)一般地，事件A与事件B同时发生，这样的一个事件中的样本点既在事件A中，也在事件B中，我们称这样的一个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)A∩B(或AB)

知识点三互斥事件和对立事件

定义符号图示互斥事件一般地，如果事件A与事件B不能同时发生，也就是说A∩B是一个不可能事件，即A∩B＝∅，则称事件A与事件B互斥(或互不相容)A∩B＝∅

对立事件一般地，如果事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生，即A∪B＝Ω，且A∩B＝∅，那么称事件A与事件B互为对立，事件A的对立事件记为A∪B＝ΩA∩B＝∅

思考辨析判断正误SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU1.若A，B表示随机事件，则A∩B与A∪B也表示事件.(

)2.若两个事件是互斥事件，则这两个事件是对立事件.(

)3.若两个事件是对立事件，则这两个事件也是互斥事件.(

)4.若事件A与B是互斥事件，则在一次试验中事件A和B至少有一个发生.(

)××√√2题型探究PARTTWO例1

某县城有甲、乙两种报纸供居民订阅，记事件A为“只订甲报”，事件B为“至少订一种报”，事件C为“至多订一种报”，事件D为“不订甲报”，事件E为“一种报也不订”.判断下列事件是否为互斥事件，如果是，判断它们是否为对立事件.(1)A与C；一、互斥事件和对立事件的判断解由于事件C“至多订一种报”中可能只订甲报，即事件A与事件C有可能同时发生，故A与C不是互斥事件.(2)B与E；解事件B“至少订一种报”与事件E“一种报也不订”是不可能同时发生的，故事件B与E是互斥事件.由于事件B和事件E必有一个发生，故B与E也是对立事件.(3)B与D；解事件B“至少订一种报”中有可能只订乙报，即有可能不订甲报，也就是说事件B发生，事件D也可能发生，故B与D不是互斥事件.(4)B与C；解事件B“至少订一种报”中有3种可能：“只订甲报”，“只订乙报”，“订甲、乙两种报”.事件C“至多订一种报”中有3种可能：“一种报也不订”“只订甲报”“只订乙报”.即事件B与事件C可能同时发生，故B与C不是互斥事件.(5)C与E.解由(4)的分析可知，事件E“一种报也不订”仅仅是事件C的一种可能，事件C与事件E可能同时发生，故C与E不是互斥事件.反思感悟判断两个事件是否为互斥事件，主要看它们在一次试验中能否同时发生，若不能同时发生，则这两个事件是互斥事件，若能同时发生，则这两个事件不是互斥事件；判断两个事件是否为对立事件，主要看在一次试验中这两个事件是否同时满足两个条件：一是不能同时发生；二是必有一个发生.这两个条件同时成立，那么这两个事件是对立事件，只要有一个条件不成立，那么这两个事件就不是对立事件.跟踪训练1

(1)从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么下列各对事件中，互斥而不对立的是A.至少有一个红球与都是红球B.至少有一个红球与都是白球C.至少有一个红球与至少有一个白球D.恰有一个红球与恰有两个红球√解析根据互斥事件与对立事件的定义判断.A中两事件不是互斥事件，事件“三个球都是红球”是两事件的交事件；B中两事件是对立事件；C中两事件能同时发生，如“恰有一个红球和两个白球”，故不是互斥事件；D中两事件是互斥而不对立事件.(2)有一个游戏，其规则是甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北四个方向前进，每人一个方向，事件“甲向南”与事件“乙向南”是A.互斥但非对立事件B.对立事件C.非互斥事件D.以上都不对√解析由于每人一个方向，故“甲向南”意味着“乙向南”是不可能的，故是互斥事件，但不是对立事件.二、事件的运算例2

在掷骰子的试验中，可以定义许多事件.例如，事件C1＝{出现1点}，事件C2＝{出现2点}，事件C3＝{出现3点}，事件C4＝{出现4点}，事件C5＝{出现5点}，事件C6＝{出现6点}，事件D1＝{出现的点数不大于1}，事件D2＝{出现的点数大于3}，事件D3＝{出现的点数小于5}，事件E＝{出现的点数小于7}，事件F＝{出现的点数为偶数}，事件G＝{出现的点数为奇数}，请根据上述定义的事件，回答下列问题：(1)请举出符合包含关系、相等关系的事件；解因为事件C1，C2，C3，C4发生，则事件D3必发生，所以C1⊆D3，C2⊆D3，C3⊆D3，C4⊆D3.同理可得，事件E包含事件C1，C2，C3，C4，C5，C6；事件D2包含事件C4，C5，C6；事件F包含事件C2，C4，C6；事件G包含事件C1，C3，C5.且易知事件C1与事件D1相等，即C1＝D1.(2)利用和事件的定义，判断上述哪些事件是和事件.解因为事件D2＝{出现的点数大于3}＝{出现4点或出现5点或出现6点}，所以D2＝C4∪C5∪C6(或D2＝C4＋C5＋C6).同理可得，D3＝C1＋C2＋C3＋C4，E＝C1＋C2＋C3＋C4＋C5＋C6，F＝C2＋C4＋C6，G＝C1＋C3＋C5.反思感悟事件间运算方法(1)利用事件间运算的定义.列出同一条件下的试验所有可能出现的结果，分析并利用这些结果进行事件间的运算.(2)利用Venn图.借助集合间运算的思想，分析同一条件下的试验所有可能出现的结果，把这些结果在图中列出，进行运算.跟踪训练2

抛掷相同硬币3次，设事件A＝{至少有一次正面向上}，事件B＝{一次正面向上，两次反面向上}，事件C＝{两次正面向上，一次反面向上}，事件D＝{至少一次反面向上}，事件E＝{3次都正面向上}.(1)试判断事件A与事件B，C，E的关系；解B⊆A，C⊆A，E⊆A，且A＝B＋C＋E.(2)试求事件A与事件D的交事件，事件B与事件C的并事件，并判断二者的关系.解A∩D＝{有正面向上，也有反面向上}，B∪C＝{1次正面向上或2次正面向上}，A∩D＝B∪C.三、随机事件的表示及含义例3

设A，B，C表示三个随机事件，试将下列事件用A，B，C表示出来.(1)三个事件都发生；解ABC(2)三个事件至少有一个发生；解A∪B∪C(3)A发生，B，C不发生；(4)A，B都发生，C不发生；(5)A，B至少有一个发生，C不发生；(6)A，B，C中恰好有两个发生.延伸探究本例条件不变，试用A，B，C表示以下事件.(1)三个事件都不发生；(2)三个事件至少有两个发生.反思感悟清楚随机事件的运算与集合运算的对应关系有助于解决此类问题.符号事件的运算集合的运算A随机事件子集A的对立事件A的补集AB事件A与B的交事件集合A与B的交集A∪B事件A与B的并事件集合A与B的并集跟踪训练3

5个相同的小球，分别标上数字1,2,3,4,5，依次有放回的抽取两个小球.记事件A为“第一次抽取的小球上的数字为奇数”，事件B为“抽取的两个小球上的数字至少有一个是偶数”，事件C为“两个小球上的数字之和为偶数”，试用集合的形式表示解总的样本空间为Ω＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)}，A＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)}，B＝{(1,2)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,2)，(5,4)}，C＝{(1,1)，(1,3)，(1,5)，(2,2)，(2,4)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(4,2)，(4,4)，(5,1)，(5,3)，(5,5)}.A∩B＝{(1,2)，(1,4)，(3,2)，(3,4)，(5,2)，(5,4)}，3随堂演练PARTTHREE1.某人射击一次，设事件A为“击中环数小于4”，事件B为“击中环数大于4”，事件C为“击中环数不小于4”，事件D为“击中环数大于0且小于4”，则正确的关系是A.A与B为对立事件B.B与C为互斥事件C.C与D为对立事件D.B与D为互斥事件12345√2.抽查10件产品，记事件A为“至少有2件次品”，则A的对立事件为A.至多有2件次品B.至多有1件次品C.至多有2件正品D.至少有2件正品√12345解析至少有2件次品包含2,3,4,5,6,7,8,9,10件.共9种结果，故它的对立事件为含有1或0件次品，即至多有1件次品.123453.设M，N，P是三个事件，则M，N至少有一个不发生且P发生可表示为√4.甲、乙两人破译同一个密码，令甲、乙破译出密码分别为事件A，B，则表示的含义是___________________，事件“密码被破译”可表示为_______________.12345只有一人破译密码123455.从0,1,2,3,4,5中任取两个数字组成一个不重复的两位数.事件A表示组成的两位数是偶数，事件B表示组成的两位数中十位数字大于个位数字，则事件A∩B用样本点表示为___________________________.{10,20,30,40,50,32,42,52,54}1.知识清单：(1)事件的包含关系与相等关系.(2)交事件和并事件.(3)互斥事件和对立事件.2.方法归纳：列举法、Venn图法.3.常见误区：互斥事件和对立事件之间的关系易混淆.课堂小结KETANGXIAOJIE10.1.3古典概型第十章

10.1随机事件与概率学习目标XUEXIMUBIAO1.理解古典概型的概念及特点.2.掌握利用古典概型概率公式解决简单的概率计算问题.NEIRONGSUOYIN内容索引知识梳理题型探究随堂演练1知识梳理PARTONE知识点一随机事件的概率对随机事件发生

的度量(数值)称为事件的概率，事件A的概率用

表示.可能性大小P(A)知识点二古典概型一般地，若试验E具有以下特征：(1)有限性：样本空间的样本点只有

；(2)等可能性：每个样本点发生的可能性

.称试验E为古典概型试验，其数学模型称为

模型，简称

.有限个相等古典概率古典概型知识点三古典概型的概率公式一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)＝

＝

.思考辨析判断正误SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU1.古典概型中每个事件发生的可能性相同.(

)2.古典概型有两个重要条件：①样本空间中样本点总数是有限的，每次试验只出现其中的一个结果；②各个样本点的出现是等可能的.(

)3.用古典概型的概率公式可求“在线段[0,5]上任取一点，此点小于2”的概率.(

)4.从甲地到乙地共n条线路，且这n条线路长短各不相同，求某人任选一条路线正好选中最短路线的概率是古典概型问题.(

)××√√2题型探究PARTTWO例1

下列概率模型是古典概型吗？为什么？(1)从区间[1,10]内任意取出一个实数，求取到实数2的概率；一、古典概型的判断解不是古典概型，因为区间[1,10]中有无限多个实数，取出的实数有无限多种结果，与古典概型定义中“所有可能结果只有有限个”矛盾.(2)向上抛掷一枚不均匀的旧硬币，求正面朝上的概率；解不是古典概型，因为硬币不均匀导致“正面朝上”与“反面朝上”的概率不相等，与古典概型定义中“每一个试验结果出现的可能性相同”矛盾.(3)从1,2,3，…，100这100个整数中任意取出一个整数，求取到偶数的概率.解是古典概型，因为在试验中所有可能出现的结果是有限的，而且每个整数被抽到的可能性相等.反思感悟古典概型需满足两个条件(1)样本点总数有限.(2)各个样本点出现的可能性相等.跟踪训练1

下列问题中是古典概型的是A.种下一粒杨树种子，求其能长成大树的概率B.掷一颗质地不均匀的骰子，求掷出1点的概率C.在区间[1,4]上任取一数，求这个数大于1.5的概率D.同时掷两颗质地均匀的骰子，求向上的点数之和是5的概率√解析A，B两项中的样本点的出现不是等可能的；C项中样本点的个数是无限多个；D项中样本点的出现是等可能的，且是有限个.故选D.二、古典概型概率的计算例2

一个口袋内装有大小相等的1个白球和已编有不同号码的3个黑球，从中摸出2个球.求：(1)样本空间的样本点的总数n；解由于4个球的大小相等，摸出每个球的可能性是均等的，所以是古典概型.将黑球编号为黑1，黑2，黑3，从装有4个球的口袋内摸出2个球，样本空间Ω＝{(黑1，黑2)，(黑1，黑3)，(黑1，白)，(黑2，黑3)，(黑2，白)，(黑3，白)}，其中共有6个样本点.(2)事件“摸出2个黑球”包含的样本点的个数；解事件“摸出2个黑球”＝{(黑1，黑2)，(黑2，黑3)，(黑1，黑3)}，共3个样本点.(3)摸出2个黑球的概率.反思感悟求古典概型概率的步骤(1)确定样本空间的样本点的总数n.(2)确定所求事件A包含的样本点的个数m.(3)P(A)＝

.跟踪训练2

为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是_____.解析从4种颜色的花中任选2种颜色的花种在一个花坛中，余下2种颜色的花种在另一花坛的种数有：红黄—白紫、红白—黄紫、红紫—白黄、黄白—红紫、黄紫—红白、白紫—红黄，共6种，其中红色和紫色的花不在同一花坛的种数有红黄—白紫、红白—黄紫、黄紫—红白、白紫—红黄，共4种，故所求概率为

.三、较复杂的古典概型的概率计算例3

先后抛掷两枚质地均匀的骰子.(1)求点数之和为7的概率；解如图所示，从图中容易看出样本点与所描点一一对应，共36种.记“点数之和为7”为事件A，从图中可以看出，事件A包含的样本点共有6个：(6,1)，(5,2)，(4,3)，(3,4)，(2,5)，(1,6).(2)求掷出两个4点的概率；解记“掷出两个4点”为事件B，从图中可以看出，事件B包含的样本点只有1个，即(4,4).(3)求点数之和能被3整除的概率.解记“点数之和能被3整除”为事件C，则事件C包含的样本点共12个：(1,2)，(2,1)，(1,5)，(5,1)，(2,4)，(4,2)，(3,3)，(3,6)，(6,3)，(4,5)，(5,4)，(6,6).反思感悟在求概率时，若事件可以表示成有序数对的形式，则可以把全体样本点用平面直角坐标系中的点表示，即采用图表的形式可以准确地找出样本点的个数.故采用数形结合法求概率可以使解决问题的过程变得形象、直观，更方便.跟踪训练3

某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1，A2，A3和3个欧洲国家B1，B2，B3中选择2个国家去旅游.(1)若从这6个国家中任选2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率；解由题意知，从6个国家中任选2个国家，其一切可能的结果有(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)，共15个.所选2个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)，共3个，(2)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，求这2个国家包括A1但不包括B1的概率.解从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，其一切可能的结果有(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)，共9个.包括A1但不包括B1的事件所包含的基本事件有(A1，B2)，(A1，B3)，共2个，3随堂演练PARTTHREE1.下列不是古典概型的是A.从6名同学中，选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性的大小B.同时掷两颗质地均匀的骰子，点数和为7的概率C.近三天中有一天降雨的概率D.10个人站成一排，其中甲、乙相邻的概率12345√解析A，B，D为古典概型，因为都适合古典概型的两个特征：有限性和等可能性，而C不满足等可能性，故不为古典概型.2.甲、乙、丙三名同学站成一排，甲站在中间的概率是12345√解析样本点有：甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙甲共六个.甲站在中间的事件包括：乙甲丙、丙甲乙，共2个，123453.已知5件产品中有2件次品，其余为合格品.现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为A.0.4 B.0.6C.0.8 D.1√解析记3件合格品分别为A1，A2，A3,2件次品分别为B1，B2，从5件产品中任取2件，有(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)，共10种可能，其中恰有一件次品有6种可能，由古典概型得所求事件概率为

＝0.6.4.用1,2,3组成无重复数字的三位数，这些数能被2整除的概率是12345√解析用1,2,3组成的无重复数字的三位数共6个，分别为123,132,213,231,312,321，其中能被2整除的有132,312这2个数，故能被2整除的概率为

.123455.从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数，则其和为5的概率是______.0.2解析两数之和等于5有两种情况(1,4)和(2,3)，总的样本点有：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10种，所以P＝

＝0.2.1.知识清单：(1)古典概型.(2)古典概型的概率公式.2.方法归纳：常用列举法(列表法、树状图)求样本点的总数.3.常见误区：列举样本点的个数时，要按照一定顺序，做到不重、不漏.课堂小结KETANGXIAOJIE10.1.4概率的基本性质第十章

10.1随机事件与概率学习目标XUEXIMUBIAO1.理解概率的基本性质.2.掌握利用互斥事件和对立事件的概率公式解决与古典概型有关的问题.NEIRONGSUOYIN内容索引知识梳理题型探究随堂演练1知识梳理PARTONE知识点概率的基本性质性质1对任意的事件A，都有P(A)

0.性质2必然事件的概率为

，不可能事件的概率为

，即P(Ω)＝

，P(∅)＝

.性质3如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝

.性质4如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝

，P(A)＝

.性质5如果A⊆B，那么

.性质6设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(A∪B)＝______________

.≥1010P(A)＋P(B)1－P(A)1－P(B)P(A)≤P(B)P(A)＋P(B)－P(A∩B)思考(1)如果事件A1，A2，…，An两两互斥，那么事件A1，A2，…，An的和事件的概率等于事件A1，A2，…，An的概率和吗？答案相等.P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An).(2)对于任意事件A，事件A的概率的范围是多少？答案因∅⊆A⊆Ω，∴0≤P(A)≤1.思考辨析判断正误SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU1.A，B为两个事件，则P(A＋B)＝P(A)＋P(B).(

)2.若事件A，B，C两两互斥，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1.(

)3.事件A，B满足P(A)＋P(B)＝1，则A，B是对立事件.(

)4.如果事件A与事件B互斥，那么P(A)＋P(B)≤1.(

)××√×2题型探究PARTTWO例1

某射手在一次射击中射中10环、9环、8环、7环、7环以下的概率分别为0.24,0.28,0.19,0.16,0.13.计算这个射手在一次射击中：(1)射中10环或9环的概率；一、互斥事件与对立事件概率公式的应用解“射中10环”“射中9环”“射中8环”“射中7环”“射中7环以下”是彼此互斥的，可运用互斥事件的概率加法公式求解.设“射中10环”“射中9环”“射中8环”“射中7环”“射中7环以下”的事件分别为事件A，B，C，D，E，则P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.24＋0.28＝0.52，所以射中10环或9环的概率为0.52.(2)至少射中7环的概率；解方法一P(A＋B＋C＋D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＋P(D)＝0.24＋0.28＋0.19＋0.16＝0.87，所以至少射中7环的概率为0.87.方法二事件“至少射中7环”的对立事件是“射中7环以下”，其概率为0.13，则至少射中7环的概率为1－0.13＝0.87.(3)射中8环以下的概率.解P(D＋E)＝P(D)＋P(E)＝0.16＋0.13＝0.29，所以射中8环以下的概率为0.29.反思感悟运用互斥事件的概率加法公式解题的一般步骤(1)确定各事件彼此互斥.(2)求各事件分别发生的概率，再求其和.注意：(1)是公式使用的前提条件，不符合这点，是不能运用互斥事件的概率加法公式的.跟踪训练1

在数学考试中，小明的成绩在90分及90分以上的概率是0.18，在80～89分(包括80分与89分，下同)的概率是0.51，在70～79分的概率是0.15，在60～69分的概率是0.09,60分以下的概率是0.07.计算下列事件的概率：(1)小明在数学考试中取得80分及80分以上的成绩；解分别记小明的成绩“在90分及90分以上”，“在80～89分”，“在70～79分”，“在60～69分”为事件B，C，D，E，显然这四个事件彼此互斥.小明的成绩在80分及80分以上的概率是P(B＋C)＝P(B)＋P(C)＝0.18＋0.51＝0.69.(2)小明考试及格(60分及60分以上为及格).解方法一小明考试及格的概率是P(B＋C＋D＋E)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＋P(E)＝0.18＋0.51＋0.15＋0.09＝0.93.方法二因为小明考试不及格的概率是0.07，所以小明考试及格的概率是1－0.07＝0.93.二、互斥、对立事件与古典概型的综合应用例2

一盒中装有各色球12个，其中5个红球、4个黑球、2个白球、1个绿球，从中随机取出1球，求：(1)取出1球是红球或黑球的概率；解记事件A1＝{任取1球为红球}；A2＝{任取1球为黑球}；A3＝{任取1球为白球}；A4＝{任取1球为绿球}，根据题意，事件A1，A2，A3，A4彼此互斥.方法一由互斥事件概率公式，得取出1球为红球或黑球的概率为方法二取出1球为红球或黑球的对立事件为取出1球为白球或绿球，即A1＋A2的对立事件为A3＋A4，所以取出1球为红球或黑球的概率为P(A1＋A2)＝1－P(A3＋A4)＝1－P(A3)－P(A4)(2)取出1球是红球或黑球或白球的概率.解方法一取出1球为红球或黑球或白球的概率为方法二A1＋A2＋A3的对立事件为A4，反思感悟求复杂事件的概率通常有两种方法(1)将所求事件转化成几个彼此互斥的事件的和事件.(2)若将一个较复杂的事件转化为几个互斥事件的和事件时，需要分类太多，而其对立面的分类较少，可考虑利用对立事件的概率公式，即“正难则反”，它常用来求“至少……”或“至多……”型事件的概率.跟踪训练2

某学校的篮球队、羽毛球队、乒乓球队各有10名队员，某些队员不止参加了一支球队，具体情况如图所示.现从中随机抽取一名队员，求：(1)该队员只属于一支球队的概率；解分别令“抽取一名队员只属于篮球队、羽毛球队、乒乓球队”为事件A，B，C.由题图知3支球队共有球员20名.令“抽取一名队员，该队员只属于一支球队”为事件D.则D＝A＋B＋C，∵事件A，B，C两两互斥，(2)该队员最多属于两支球队的概率.解令“抽取一名队员，该队员最多属于两支球队”为事件E，核心素养之逻辑推理HEXINSUYANGZHILUOJITUILI正难则反思想的应用典例一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1,2,3，这三张卡片除标记的数字外完全相同.随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a，b，c.(1)求“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率；解由题意知，(a，b，c)所有可能的结果为(1,1,1)，(1,1,2)，(1,1,3)，(1,2,1)，(1,2,2)，(1,2,3)，(1,3,1)，(1,3,2)，(1,3,3)，(2,1,1)，(2,1,2)，(2,1,3)，(2,2,1)，(2,2,2)，(2,2,3)，(2,3,1)，(2,3,2)，(2,3,3)，(3,1,1)，(3,1,2)，(3,1,3)，(3,2,1)，(3,2,2)，(3,2,3)，(3,3,1)，(3,3,2)，(3,3,3)，共27种.设“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”为事件A，则事件A包含的样本点有(1,1,2)，(1,2,3)，(2,1,3)，共3个.(2)求“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率.解设“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”为事件B，则事件B的对立事件包括的样本点有(1,1,1)，(2,2,2)，(3,3,3)，共3种.素养提升当正面考虑所解决的问题比较繁琐复杂时，可以通过逻辑推理，找到所求事件的对立事件，利用对立事件的概率的公式求解.3随堂演练PARTTHREE1.在一个试验中，若P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝1，事件A与事件B的关系是A.互斥不对立B.对立不互斥C.互斥且对立

D.以上答案都不对12345√2.口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黑球的概率是A.0.42 B.0.28C.0.3 D.0.712345√解析∵摸出黑球是摸出红球或摸出白球的对立事件，∴摸出黑球的概率是1－0.42－0.28＝0.3，故选C.3.在一次随机试验中，彼此互斥的事件A，B，C，D的概率分别是0.2,0.2,0.3,0.3，则下列说法正确的是A.A＋B与C是互斥事件，也是对立事件B.B＋C与D是互斥事件，也是对立事件C.A＋C与B＋D是互斥事件，但不是对立事件D.A与B＋C＋D是互斥事件，也是对立事件√解析由于A，B，C，D彼此互斥，且P(A＋B＋C＋D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＋P(D)＝1，知A＋B＋C＋D是一个必然事件，故四个事件的关系如图所示.由图可知，任何一个事件与其余3个事件的和事件必然是对立事件，任何两个事件的和事件与其余两个事件的和事件也是对立事件，故选D.123454.从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的概率是12345√解析记3个红球分别为a1，a2，a3,2个白球分别为b1，b2，从3个红球、2个白球中任取3个，则样本空间Ω＝{(a1，a2，a3)，(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a3，b1)，(a1，a3，b2)，(a2，a3，b1)，(a2，a3，b2)，(a1，b1，b2)，(a2，b1，b2)，(a3，b1，b2)}，共含10个样本点，样本点出现的机会均等，因此这些样本点的出现是等可能的.用事件A表示“所取的3个球中至少有1个白球”，12345123455.中国乒乓球队中的甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛，甲夺得冠军的概率为

，乙夺得冠军的概率为

，那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为_____.解析由于事件“中国队夺得女子乒乓球单打冠军”包括事件“甲夺得冠军”和“乙夺得冠军”，但这两个事件不可能同时发生，即彼此互斥，所以可按互斥事件的概率加法公式进行计算，1.知识清单：性质1对任意的事件A，都有P(A)≥0.性质2必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P(∅)＝0.性质3如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B).性质4如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B).性质5如果A⊆B，那么P(A)≤P(B).性质6设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B).课堂小结KETANGXIAOJIE2.方法归纳：(1)将所求事件转化为互斥事件的并事件.(2)将求复杂事件的概率转化为求其对立事件的概率.3.常见误区：将事件拆分成若干个互斥的事件，不能重复和遗漏.10.2事件的相互独立性第十章概率学习目标XUEXIMUBIAO1.在具体情境中，了解两个事件相互独立的概念.2.能利用相互独立事件同时发生的概率公式解决一些简单的实际问题.NEIRONGSUOYIN内容索引知识梳理题型探究随堂演练1知识梳理PARTONE对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝

成立，则称事件A与事件B相互独立，简称独立.知识点一相互独立事件的概念P(A)P(B)知识点二相互独立事件的性质思考辨析判断正误SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU1.不可能事件与任何一个事件相互独立.(

)2.必然事件与任何一个事件相互独立.(

)3.“P(AB)＝P(A)·P(B)”是“事件A，B相互独立”的充要条件.(

)4.如果两个事件相互独立，则它们的对立事件也是相互独立的.(

)√√√√2题型探究PARTTWO例1

判断下列事件是否为相互独立事件.(1)甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”.一、事件独立性的判断解“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生，对“从乙组中选出1名女生”这一事件是否发生没有影响，所以它们是相互独立事件.(2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”.可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以二者不是相互独立事件.反思感悟两个事件是否相互独立的判断(1)直接法：由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响.(2)公式法：若P(AB)＝P(A)·P(B)，则事件A，B为相互独立事件.跟踪训练1

分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A是“第一枚为正面”，事件B是“第二枚为正面”，事件C是“两枚结果相同”，则下列事件具有相互独立性的是_________.(填序号)①A，B；②A，C；③B，C.①②③解析根据事件相互独立性的定义判断，只要P(AB)＝P(A)P(B)，P(AC)＝P(A)P(C)，P(BC)＝P(B)P(C)成立即可.利用古典概型概率公式计算可得P(A)＝0.5，P(B)＝0.5，P(C)＝0.5，P(AB)＝0.25，P(AC)＝0.25，P(BC)＝0.25.可以验证P(AB)＝P(A)P(B)，P(AC)＝P(A)P(C)，P(BC)＝P(B)P(C).所以根据事件相互独立的定义，事件A与B相互独立，事件B与C相互独立，事件A与C相互独立.二、相互独立事件概率的计算例2

根据资料统计，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险的概率为0.6，购买甲、乙保险相互独立，各车主间相互独立.(1)求一位车主同时购买甲、乙两种保险的概率；记C表示事件“同时购买甲、乙两种保险”，则C＝AB，所以P(C)＝P(AB)＝P(A)·P(B)＝0.5×0.6＝0.3.(2)求一位车主购买乙种保险但不购买甲种保险的概率.解记D表示事件“购买乙种保险但不购买甲种保险”，延伸探究本例中车主至少购买甲、乙两种保险中的一种的概率是多少？解记E表示事件“至少购买甲、乙两种保险中的一种”，方法二事件“至少购买甲、乙两种保险中的一种”与事件“甲、乙两种保险都不购买”为对立事件.反思感悟(1)求相互独立事件同时发生的概率的步骤①首先确定各事件之间是相互独立的.②求出每个事件的概率，再求积.(2)使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公式的适用条件，即各个事件是相互独立的.跟踪训练2

甲、乙两人破译一密码，他们能破译的概率分别为

，两人能否破译密码相互独立，求两人破译时，以下事件发生的概率：(1)两人都能破译的概率；解记事件A为“甲独立地破译出密码”，事件B为“乙独立地破译出密码”.(2)恰有一人能破译的概率；(3)至多有一人能破译的概率.解至多有一人破译出密码的对立事件是两人都破译出密码，三、相互独立事件概率的综合应用(1)假设甲、乙、丙三人同时进行理论与实际操作两项考试，谁获得合格证书的可能性最大？解记“甲获得合格证书”为事件A，“乙获得合格证书”为事件B，“丙获得合格证书”为事件C，因为P(C)>P(B)>P(A)，所以丙获得合格证书的可能性最大.(2)这三人进行理论与实际操作两项考试后，求恰有两人获得合格证书的概率.解设“三人考试后恰有两人获得合格证书”为事件D，由题易知三人是否获得合格证书相互独立，反思感悟求较复杂事件的概率的一般步骤如下(1)列出题中涉及的各个事件，并且用适当的符号表示.(2)理清事件之间的关系(两个事件是互斥还是对立，或者是相互独立的)，列出关系式.(3)根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算.(4)当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时，可先间接地计算其对立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率.跟踪训练3

三个元件T1，T2，T3正常工作的概率分别为

将它们中某两个元件并联后再和第三个元件串联接入电路，它们是否正常工作相互独立.在如图所示的电路中，电路不发生故障的概率是多少？解记T1正常工作为事件A，T2正常工作为事件B，T3正常工作为事件C，核心素养之数学抽象HEXINSUYANGZHISHUXUECHOUXIANG方程思想在相互独立事件概率中的应用解记事件A，B，C分别为甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品.素养提升对于相互独立事件中的概率问题，可先从问题的数量关系入手，根据概率的定义、公式等构造方程(组)，通过解方程(组)解决问题，提升数学抽象素养.3随堂演练PARTTHREE1.坛子里放有3个白球，2个黑球，从中不放回地摸球，用A1表示第1次摸到白球，A2表示第2次摸到白球，则A1与A2A.是互斥事件B.是相互独立事件C.是对立事件D.不是相互独立事件12345√解析互斥事件和对立事件是同一次试验的两个不同时发生的事件，故选项A，C错.而事件A1的发生对事件A2发生的概率有影响，故两者是不相互独立事件.2.一个电路上装有甲、乙两根保险丝，甲熔断的概率为0.85，乙熔断的概率为0.74，甲、乙两根保险丝熔断与否相互独立，则两根保险丝都熔断的概率为A.1 B.0.629C.0 D.0.74或0.85√12345解析设“甲保险丝熔断”为事件A，“乙保险丝熔断”为事件B，则P(A)＝0.85，P(B)＝0.74，由事件A与B相互独立，得“两根保险丝都熔断”为事件AB，∴P(AB)＝P(A)·P(B)＝0.85×0.74＝0.629.12345√解析由题意知三