计算机图形学基础课件

第二章

计算机图形学基础CAD/CAM技术本章学习目标

掌握二维图形处理技术基础知识了解三维图形变换方法理解图形消隐技术和光照处理技术原理学习二维裁剪技术重点：二维图形几何变换难点：投影变换学习内容第一节计算机图形学概述第二节图形的几何变换

第三节图形裁剪技术第四节图形的消隐技术第五节图形的真实感图形——采用参数法描述的图形（矢量图形）形状参数：描述图形的方程系数，线段或多边形的端点坐标等

；

属性参数:灰度、色彩、线型等非几何属性。

构成图形的要素有两个：几何要素——刻画形状的点、线、面、体…

非几何要素——反映物体表面属性或材质的明暗、灰度、色彩…图形图像

—采用点阵法描述的图形（点阵图形）

照片、位图、图片存储信息：灰度，色彩

图像图像放大前放大后图形

三计算机图形学的应用（1）在机械设计中的应用（a）工程图（b）线框图（c）实体图（4）过程监控（5）计算机辅助教学（6）虚拟现实技术

用曲线来模拟火箭发射的飞行轨迹，同时不断修正参数。

利用计算机图像可以清楚的表现数学曲线、几何曲面的形成。

用计算机技术来生成一个逼真的三维视觉、听觉、触觉或嗅觉等感觉世界，让用户可以从自己的视点出发，利用自然的技能和某些设备对这一生成的虚拟世界客体进行浏览和交互考察。虚拟现实（VirtualReality第二节图形的几何变换图形变换基本知识

二维图形基本几何变换二维图形的复合变换三维图形的几何变换投影变换图形变换指对图形的几何信息经过几何变换后产生新的图形，提出的构造或修改图形的方法。除图形的位置变动外，可以将图形放大或缩小，或者对图形作不同方向的拉伸来使其扭曲变形…1．构成图形的基本要素及其表示方法

点是构成图形的基本要素。

任何一个图形都可以认为是点之间的连线构成，对一个图形作几何变换，实际上就是对一系列点进行变换。点和图形的表示：

二维平面内，一个点通常用坐标(x,y)来表示，矩阵形式为：

或

三角形的三个顶点坐标a(x1,y1),b(x2,y2),c(x3,y3)，用矩阵表示：

1．构成图形的基本要素及其表示方法三维形体矩阵表示形式为：采用齐次坐标表示的主要优点：（1）为几何图形的二维、三维甚至高维空间的坐标变换提供统一的矩阵运算方法，并可以方便地将它们组合在一起进行组合变换。

平移、比例和旋转等变换的组合变换处理形式不统一，将很难把它们联系在一起。（2）无穷远点的处理比较方便。

如：对二维的齐次坐标[ABH]，当H→0时，表示直线上Ax+By=0的连续点（x，y）逐渐趋近于无穷点

三维情况下，利用齐次坐标表示视点在世界坐标系原点时的投影变换变换矩阵：

设一个几何图形的齐次坐标矩阵为A，另有一个矩阵T，则由矩阵乘法运算可得一新矩阵B：

B＝A•T矩阵B是矩阵A经变换后的图形矩阵用来对原图形施行坐标变换矩阵T

称为变换矩阵

根据矩阵运算原理，二维图形变换矩阵T为3×3阶矩阵，三维图形的变换矩阵T为4×4阶矩阵。

通过矩阵的乘法可以对图形进行诸如比例、对称、旋转、平移、投影等各种变换。图形变换的主要工作就是求解变换矩阵T

。平移变换

图形的每一个点在给定的方向上移动相同距离所得的变换称为平移变换。图形在x轴方向的平移量为l，

在y轴方向的平移量为m，

则坐标点的平移变换：＝＝比例变换(1)a=e=1时，为恒等比例变换，即图形不变

(2)a=e＞1时，图形沿两个坐标轴方向等比放大

(3)a=e＜1时，图形沿两个坐标轴方向等比缩小

(4)a≠e时，图形沿两个坐标轴方向进行非等比变换，称为畸变

图形中的每一个点以坐标原点为中心，按相同的比例进行放大或缩小所得到的变换称为比例变换。

图形在x，y两个坐标方向放大或缩小比例分别为a和e。

则坐标点的比例变换：（2）以Y轴为对称线的对称变换

变换后，图形点集的y坐标值不变，x坐标值不变，符号相反（3）以原点为对称的对称变换变换后，图形点集的x和y坐标值不变，符号均相反(5)以直线y=－x为对称线的对称变换(4)以直线y=x为对称线的对称变换变换后，图形点集的x和y坐标对调变换后，图形点集的x和y坐标对调，符号相反错切变换

错切变换是图形的每一个点在某一方向上坐标保持不变，而另一坐标方向上坐标进行线性变换，或都进行线性变换有x和y方向的错切变换

1.图形沿x方向的错切矩阵表示为：

图形的y坐标不变，x坐标随坐标（xy）和系数b作线性变化，b≠0

b>0，图形沿+x方向错切；b<0，图形沿-x方向错切错切变换有x和y方向的错切变换

2.图形沿y方向的错切矩阵表示为：

图形的x坐标不变，y坐标随坐标（xy）和系数d作线性变化，d≠0

d>0，图形沿+y方向错切；d<0，图形沿–y方向错切

错切变换是图形的每一个点在某一方向上坐标保持不变，而另一坐标方向上坐标进行线性变换，或都进行线性变换。二维图形基本变换小结：

从二维图形的基本几何变换可见，各种图形变换完全取决于变换矩阵中各元素的取值按照变换矩阵中各元素的功能，可将二维变换矩阵的一般表达式按如下虚线分为4个子矩阵：实现图形比例变换：

s>1，图形等比例缩小

0<s<1，图形等比例放大

s＝1，图形大小不变T＝实现图形比例、对称、错切、旋转变换实现图形平移变换实现图形透视变换（常用于三维图形）二维图形的复合变换：组合变换中，多个变换矩阵之积称为组合变换矩阵

CAD/CAM中的图形变换比较复杂，往往仅用一种基本变换不能实现，需经由两种或多种基本变换的组合才能得所需的最终图形。这种由两个以上基本变换构成的变换称为复合变换（组合变换）或基本变换的级联先旋转后平移

先平移后旋转

设各次变换的矩阵分别为T1，T2

，……

，Tn，则复合变换的矩阵是各次变换矩阵的乘积，即：T＝T1•T2

……

•Tn复合变换例1：求三角形以点（4,6）为中心逆时针旋转30°的组合变换矩阵

相对于(e,f)点作旋转变换，由以下三个矩阵相乘来实现：

（1）平移（2）旋转（3）平移基本步骤：复合变换例2：图形对于任一条线y=ax+b

对称的组合变换矩阵基本步骤：

（1）平移（2）旋转（3）对称（4）旋转（5）平移三维图形几何变换三维图形的几何变换是二维图形几何变换的简单扩展。

与二维图形一样，用适当的变换矩阵也可以对三维图形进行各种几何变换。

平移变换比例变换对称变换旋转变换错切变换归纳三维图形的基本几何变换主要有:平移变换

平移变换是使立体在三维空间移动一个位置，而形状保持不变其中L、M、N分别为X、Y、Z方向的平移量

比例变换比例变换两种变换形式：对于整体图形进行缩放沿各坐标轴分别调节每个坐标方向上的大小

空间立体顶点坐标按规定比例放大或缩小称三维比例变换

变换方程：

沿每个坐标轴方向分别调节各坐标大小的比例变换齐次矩阵：对X0Z平面的对称变换

对称变换标准三维空间对称变换是相对于坐标平面进行。

标准的三维空间对称变换是相对于坐标平面进行对X0Y平面的对称变换

对Y0Z平面的对称变换

变换后点的坐标：

＝＝对称变换旋转变换

三维旋转变换是将空间立体绕坐标轴旋转一个角度，且角的正负按右手定则确定：右手大拇指指向旋转轴的正向，其余四个手指的指向即为角的正向。

二维变换中，图形绕原点旋转的变换实际上是X0Y平面图形绕Z轴旋转的变换1）绕X轴旋转的变换矩阵

空间立体绕x轴旋转各顶点的x坐标不变，只是y和z坐标发生变化

yxyzz’y’zoox轴指向纸外3）绕Z轴旋转的变换矩阵2）绕Y轴旋转的变换矩阵

空间立体绕y轴旋转各顶点的y坐标不变，只是x和z坐标发生变化空间立体绕z轴旋转各顶点的Z坐标不变，只是x和y坐标发生变化

zyzxx’z’xooy轴指向纸外错切变换错切变换是指空间立体沿x、y、z三个方向都产生错变形。错切变形是画轴测图的基础，其变换矩阵为：变换后点坐标：Tsh＝＝＝三维错切变换zyx沿z含x错切zyx沿z含y错切zyx沿y含x错切zyx沿y含z错切zyx沿x含y错切zyx沿x含z错切沿X轴含Y向错切

沿X轴含Y向错切变换矩阵为：错切变换为：

即x’=x+dyy’=yz’=z三维图形基本变换总结：

对三维空间的点如（x，y，z），可用齐次坐标表示为：（x，y，z，1），或（X，Y，Z，H）因此，三维空间里的点的变换可写为：其中[M]是4X4阶变换矩阵，即：

四．投影变换

投影变换的基本概念投影变换的分类：投影的要素包括投影对象、投影中心、投影平面、投影线和投影。要作投影变换的物体称为投影对象；在三维空间中，选择一个点，记这个点为投影中心；不经过这个点再定义一个平面，记这个平面为投影平面；从投影中心向投影平面引任意多条射线，记这些射线为投影线；穿过物体的投影线与投影面相交，在投影面上形成物体的像，这个像记为三维物体在二维投影面上的。

投影变换可分为两大类：透视投影和平行投影。它们的本质区别在于：透视投影的投影中心到投影面之间的距离是有限的，而平行投影的投影中心到投影面之间的距离是无限的。

1.正平行投影变换

1）俯视图

俯视图是沿着Z向向V面投影的视图，如图b所示，它是将空间物体沿Z向压缩而得，因此需要将物体的坐标乘压缩矩阵。2)主视图主视图是将空间物体先沿X向压缩，然后绕Y轴顺时针旋转90度，为了与主视图间保持一定的距离，最后沿X的负向平移M。组合矩阵为：3）左视图左视图是将空间物体先沿Y向压缩，然后绕X轴逆时针旋转90度，为了与主视图间保持一定的距离，最后沿Y的负向平移M。组合矩阵为：2．透视投影变换透视投影的术语和分类透视投影的投影中心与投影平面之间的距离为有限的。投影线（视线）从投影中心（视点）出发，投影线是不平行的。 对于透视投影，一束平行于投影平面的平行线的投影仍可保持平行，而不平行于投影平面的平行线的投影会收敛到一个点，这个点称为灭点（VanishingPoint）。 平行于坐标轴的平行线在投影平面上形成的灭点称为主灭点。透视投影的种类根据主灭点的个数，可分为一点透视、二点透视和三点透视。（1）一点透视：有一个主灭点，即投影平面与一个坐标轴正交，与另外两个坐标轴平行。（2）二点透视：有两个主灭点，即投影平面与两个坐标轴相交，与另一个坐标轴平行。（3）三点透视：有三个主灭点，即投影面与三个坐标轴都相交。当变换矩阵最后一列不为零时，即可产生透视效果。其变换为：

以上变换仍是三维空间到三维空间的透视变换。当P、Q、R三个元素中，只有一个元素不为零时，可以得到一点透视；当只有一个元素为零时为两点透视；当均不为零时，为三点透视。

第三节图形裁剪技术

裁剪是计算机图形学的基本问题之一。在使用计算机处理图形信息时，计算机内部存储的图形信息往往比较大，而平面显示只是图形的一部分，这是可以采用缩放技术，把图形中的局部区域放大显示，通过定义窗口和视区，即把图形的某一部分显示在屏幕的指定位置。

正确识别图形在窗口内部分和窗口外部分，以便把窗口内的图形信息输出，而窗口外的部分不输出，这种选择可见信息的方法称为裁剪。

本节介绍窗视变化与裁剪技术。1）.坐标系

2）.图形的输出

二、裁剪技术1.窗口视图变换坐标系统

从定义一个零件的几何外形到图形设备上生成相应图形，需要建立相应的坐标系统来描述，并通过坐标变换来实现图形的表达。

实物物体所处空间中（二维或三维空间）用以协助用户定义图形所表达物体几何尺寸的坐标系，也称用户坐标系，多用右手直角坐标系设备坐标系（DC）

规格化设备坐标系（NDC）世界坐标系（WC）O

X

Y

O

XYZ观察坐标系

坐标系统从定义一个零件的几何外形到图形设备上生成相应图形，通常需要建立相应的坐标系统来描述，并通过坐标变换来实现图形的表达

与图形输出设备相关联，用以定义图形几何尺寸及位置的坐标系，也称物理坐标系设备坐标系是一个二维平面坐标系，通常使用左手直角坐标系。度量单位：象素(显示器)或步长(绘图仪)

设备坐标系（DC）

规格化设备坐标系（NDC）世界坐标系（WC）O

X

Y（显示器）观察坐标系

坐标系统从定义一个零件的几何外形到图形设备上生成相应图形，通常需要建立相应的坐标系统来描述，并通过坐标变换来实现图形的表达观察坐标系一是用于指定裁剪空间，确定物体要显示输出的部分；二是用来通过在观察坐标系中定义观察平面，把三维物体的用户坐标系变换为规格化设备坐标系，它可以定义在用户坐标系中的任何位置，是一个符合左手定则的直角坐标系设备坐标系（DC）

规格化设备坐标系（NDC）世界坐标系（WC）O

X

Y（显示器）观察坐标系

坐标系统从定义一个零件的几何外形到图形设备上生成相应图形，通常需要建立相应的坐标系统来描述，并通过坐标变换来实现图形的表达。

人为规定的假想设备坐标系，与设备无关。规格化设备坐标系坐标轴方向及原点与设备坐标系相同，但其最大工作范围的坐标值规范化为1

既定图形输出设备的规格化设备坐标系与设备坐标系相差一个固定倍数，即相差该设备的分辨率。图形软件与图形设备隔离开，增加了图形软件的可移植性。设备坐标系（DC）

规格化设备坐标系（NDC）世界坐标系（WC）观察坐标系

窗口－视区变换窗口：用户坐标系（世界坐标系）中定义的确定显示内容的一个矩形区域

工程设计中，需要突出图形的某一部分而用一个局部视图单独画出来。改变窗口的大小、位置和比例，用户可以方便地观察局部图形，控制图形的大小

用矩形左下角点坐标（XW1，YW1）和右上角点坐标（XW2，YW2）确定窗口的大小和位置，在这个区域内的图形在设备坐标系下输出，窗口外的部分则被裁掉（XW1，YW1）（XW2，YW2）视区：设备坐标系（通常是图形显示器）中定义的一个用于输出所要显示的图形和文字的矩形区域若将窗口中的图形显示在屏幕视区范围内，则视区决定了窗口内的图形在屏幕上显示的位置和大小一个屏幕上定义四个视区，同时输出一个鼠标的三视图和轴测图。

窗口－视区变换窗口－视区变换

窗口和视区是在不同的坐标系中定义的，窗口中的图形信息送到视区输出前，需进行坐标变换，即把用户坐标系的坐标值转化为设备(屏幕)坐标系的坐标值，此变换即窗口—视区变换。（XV,YV）

视区窗口（XW,YW）

（XV1,YV1）

（XV2,YV2）

（Xw1,Yw1）

（Xw2,Yw2）

YYooxxXV=XV1

＋（XW

－XW1）YV=YV1

＋（YW

－YW1）XW=XW1＋（XV－XV1）YW=YW1

＋（YV－YV1）

打印选择的窗口区打印预览看到的效果图形裁剪技术二维裁剪技术三维裁剪技术

实际应用中，面对一幅大的画面，常要求开一个矩形窗口显示指定的部分画面。窗口内的图形被显示出来，而窗口之外的图形则被裁剪掉，使图形恰当地显示到屏幕上的处理技术称为裁剪技术。任何图形在显示之前都要经过裁剪工作。

将三维物体的图形由图形输出设备显示或绘制时，往往也要用到裁剪技术。三维窗口在平行投影时为立方体。三维线段裁剪就是要显示三维线段落在三维窗口内的部分。二维裁剪技术

用户在平面上定义一个窗口以后，总希望把落在窗口内的部分图形映象到视图区中，而把在窗口以外的图形运用裁剪方法统统裁掉，不予输出。平面上的图形受该平面上的矩形窗口的裁剪称为二维裁剪。裁剪处理关键：点在裁剪区域内外的判断

图形与裁剪区域边界交点的计算常见算法：编码算法、中点分割法、Liang-Barsky裁剪算法…

编码裁剪算法

100000010010000001001001010101101010窗口bca特点：对显然不可见线段的快速判别编码方法：由窗口四条边所在直线把二维平面分成9个区域，每个区域赋予一个四位编码，CtCbCrCl，上下右左1974年，DanCohen和IvanSutherland提出，也称科恩—萨赛兰德算法主要思想：用编码方法来实现裁剪

算法步骤：判别线段两端点是否都落在窗口内，如果是，则线段完全可见；否则进入第二步；判别线段是否为显然不可见，如果是，则裁剪结束；否则进行第三步；求线段与窗口边延长线的交点，这个交点将线段分为两段，其中一段显然不可见，丢弃。对余下的另一段重新进行第一步，第二步判断，直至结束Cohen-Sutherland

直线裁剪算法小结本算法的优点：简单，易于实现。速度：求交点是很重要的。影响速度。缺点：只对矩形有效。多边形裁剪法第四节图形消隐技术图形消隐的基本概念消隐分类常用的消隐算法下面图形代表哪一种情况呢?

？？三维图形由于投影变换失去了深度信息，往往导致图形的二义性图形消隐的基本概念

要消除二义性，就必须在绘制时消除实际不可见的线和面，习惯上将这些隐藏线或隐藏面消除的过程称为消隐。

当沿投影视线观察一个三维物体时，由于物体中各种表面或其它物体的遮挡，某些线段或面不可见，这些不可见的线段或面称为隐藏线或隐藏面查找、确定并消除隐藏线和隐藏面的技术称为消隐技术。

常用的消隐算法的种类根据消隐空间的不同，消隐算法分为两类：物体(物)空间的消隐算法

侧重于景中各物体之间的几何关系。直接在视点坐标系中确定视点不可见的表面区域，将它们表达成同原表面一致的数据结构。图形(像)空间的消隐算法

侧重于向屏幕投影后形成的图像。在投影屏幕上以屏幕像素为采样单位，确定投影于每一像素的可见景物表面区域，将其颜色作为该像素的显示光亮度。

如：油画算法、Z-Buffer算法、扫描线算法

Warnock算法…根据消隐对象不同，消隐算法分为两类：

若消除的是物体上不可见的线段，称线消隐若消除的是物体上不可见的面，称面消隐物体(物)空间的消隐算法

平面公式法径向预排序法径向排序法隔离平面法深度排序法平面公式法

通过对物体进行适当旋转和平移后，可将物体变换到以观察点为原点的观察坐标系中，如果在观察坐标系中求得了平面的方程Ax+By+Cz+D=0，将观察点坐标代入上面的判断准则，则可得出如下的简单判据：a）D>0，则平面不可见，应被隐藏；b）D<0，则平面是可见面，应被画出。只能用于凸面体的消隐，而不适用于凹面体消隐径向预排序法

径向预排序法消隐的要点是，先对物体及物体的表面进行由远及近的排序，对具有相同角位置的物体或表面，先画较远的，后画较近的，这样如果较近的物体或表面挡住了较远的物体或表面，则被遮挡的部分被覆盖而实现消隐。但对具有不同角位置的物体或表面，先画哪一个可根据需要来决定。径向排序法径向排序法是对径向预排序法的改进算法，实现对模型的旋转变换，以便能从不同的角度来观察物体。隔离平面法

主要用于多个物体之间其基础是平面公式法。基本原理：建立一个虚拟平面，并根据平面公式法判断出两个物体分别位于该平面的哪一侧，以及该平面的哪一侧朝向观察点，则可以推论得到位于平面朝向观察点一侧的物体离观察点较近，将遮挡位于平面背向观察点一侧的物体。深度排序法主要用于多个物体之间其基础是平面公式法。基本原理：比较不同物体或表面的表示远近的z坐标，在观察点位于原点的观察坐标系中，|z|值越大的物体或表面离观察点越远，被消隐的可能性越大，应先画出；|z|值越小的物体或表面离观察点越近，将可能遮挡较远的物体或表面，应后画出。注意：需要深度信息和绘图顺序

P2ZP12F2P1F1OXY图形（像）（imagespace）空间的消隐算法基本思想:1.将屏幕置成背景色一个象素2.将物体的各表面按其离视点的远近排序3.由远及近地绘制物体的各表面，同时也消除了隐藏面

优点：简单易行，可作为实现复杂算法的基础用缺点：平画相交或重叠时候，无法真确排序油画算法图形（像）（imagespace）空间的消隐算法基本思想:将投影到显示屏上的每一个象素所对应的多边形表面的深度进行比较，取最靠近视点的表面的属性值作为该像素的属性值Catmull在1975年提出该算法，适用于正投影时的消隐处理用Z—buffer记录该表面在该像素点的深度用frame—buffer记录该表面在该像素点的颜色或亮度值图形（像）（imagespace）空间的消隐算法基本思想：在图像空间中按扫描线从上到下的顺序来处理所显示的对象，将三维问题简化成二维问题缺点在每一个被多边形覆盖像素处需要计算深度值被多个多边形覆盖的像素需要多次计算深度值图形（像）空间（imagespace）的消隐算法分离内含相交包围基本思想:观察整个窗口区域判别窗口是否单纯窗口内无任何可见物体窗口已被一个可见面片完全充满将非单纯的窗口四等分为四个子窗口对每个子窗口再进一步判别是否单纯直到窗口单纯或窗口边长已缩至一个象素点为止

第五节.图形的光照处理技术光照处理的基本原理光照处理的基本算法阴影的处理采用消隐技术消除了隐藏线和隐藏面后，图形没有了二义性问题，但要创造真实感图形需要光照处理技术。光照处理是绘制真实感图形所需的重要技术之一光照处理方法是对真实世界的一种近似模拟

光照处理的基本原理光照处理目的是希望光照射在物体上模拟眼睛看物体的效果

物体吸收某些波长的光，而反射或折射其它波长的光，则物体呈现某种颜色。

从物体表面反射或折射出来的光的强度取决于光源的性质、物体的表面性质、周围环境、视点位置以及不同人对光的感觉差异等诸多因素。

对物体进行光照处理需要建立合适的光照模型，并通过显示算法将物体在显示器上显示出来。

光的亮度由光的强度决定，光的颜色由波长决定简单的光照模型

点光源的几何形状为一个点，位于空间的某个位置向周围所有方向上辐射等强度光在点光源的照射下，物体表面的不同部分亮度不同，亮度的大小依赖于它的朝向以及它与点光源之间的距离

光照处理模型常通过点光源照射物体说明:

光源发光照射在物体上，然后传递到人的眼里，实际上构成了一个光照系统理想镜面反射LNPRV一般光滑表面镜面反射LNPRLNPR粗糙表面镜面反射简单的光照模型

光滑的物体表面(如金属、塑料)在点光源的照射下会形成一块特别亮的区域，即所谓的“高光”，它是物体表面对入射光进行镜面反射引起的

镜面反射遵循反射定律，反射光与入射光位于表面法向两侧。镜面反射的光强取决于入射光的角度、波长和反射表面的材料性质…漫反射镜面反射环境光

光照处理是模拟光线照射在物体上，物体反映出来的感观效应，通过必要的算法实现实际物体在计算机上的虚拟。

简单的光照模型漫反射

光线照射到表面粗糙、无光泽的物体上，物体表面表现为漫反射形式，即光线沿各不同方向都做相同的散射。

从各个角度观察，物体都有相同的亮度

光照处理是模拟光线照射在物体上，物体反映出来的感观效应，通过必要的算法实现实际物体在计算机上的虚拟。

式中Ks是与物体有关的镜面反射系数，为视线方向V与反射方向R的夹角，n为反射指数

简单的光照模型镜面反射

光照处理是模拟光线照射在物体上，物体反映出来的感观效应，通过必要的算法实现实际物体在计算机上的虚拟。

式中：Id——漫反射的亮度；IP——点光源的亮度；

Kd——漫反射系数；

θ——入射角。

简单的光照模型环境光

光线在场景中经过复杂的传播之后，形成弥漫于整个空间的光线，称为环境光(或泛光

)。环境光使没有光源的直接照射的