复变函数课程考核大纲

复变函数课程考核大纲一、适应对象修读完复变函数课程规定内容的数学与应用数学专业的本科学生。二、考核目的考核学生对复变函数的基本概念、基本计算、基本理论的掌握情况，考核学生运用复变函数理论和方法处理实际问题的能力。三、考核形式与方法考核形式分为平时考查与期末考试，平时考查主要针对学生完成作业与考勤，作业评阅分A、B、C三等，考勤主要针对无故旷课；期末考试为闭卷，考试时间为100分钟。四、课程考核成绩构成期评成绩=平时考查成绩（30%）+期末闭卷考试（70%）。平时考查成绩采用扣分制，考勤与作业各占平时成绩的60%和40%；满勤及每次作业在B等以上可评定为满分100分；缺勤1课时扣3分，缺勤累计最多扣60分，缺交作业一次扣5分，缺交作业累计最多扣40分。五、考核内容与要求第一章复数与复变函数考核内容1.1复数复数域,复数的乘幂与方根.1.2复平面上的点集区域,集与集之间的距离，区域的连通性,约当曲线.

1.3复变函数复变函数的定义,复变函数的极限、连续性.

1.4复球面与无穷远点考核要求掌握复数的几何表示及运算性质，了解复平面上的简单拓扑。掌握复变函数的概念及有关性质，了解复球面与无穷远点概念。

第二章解析函数

考核内容

2.1解析函数的概念与柯西-黎曼方程复变函数的导数与微分,解析函数的概念，函数解析的充要条件:柯西-黎曼条件.2.2初等解析函数指数函数，三角函数，双曲函数。2.3初等多值函数根式函数，对数函数，一般幂函数，一般指数函数。考核要求重点掌握解析函数的概念及柯西-黎曼条件；熟悉一些初等复变函数的基本特征。

第三章复变函数的积分

考核内容

3.1复积分的概念及其简单性质复变函数积分的定义，复积分的变量代换公式，积分估值。

3.2柯西积分定理柯西积分定理及其推论，不定积分，柯西积分定理的推广，复围线。3.3柯西积分公式及其推论柯西积分公式，柯西积分的定义，解析函数的无穷可微性，柯西不等式，Liouville定理，Morera定理。

3.4解析函数与调和函数的关系解析函数的定义，调和函数的定义。考核要求理解复积分的定义，了解其基本性质，会计算复积分，掌握柯西积分定理及柯西积分公式。

第四章解析函数的幂级数表示法

考核内容4.1复级数的基本性质复数项级数的定义、收敛性，柯西一致收敛准则，维尔斯特拉斯定理。4.2幂级数Abel定理，和函数的解析性。4.3解析函数的Taylor展式泰勒定理，泰勒级数，解析函数的级数展开举例（重点是一些初等函数的泰勒展式）。

4.4解析函数零点的孤立性及唯一性定理解析函数的零点，唯一性定理，最大模原理。考核要求了解幂级数与解析函数的关系，能将解析函数展成泰勒级数，理解解析函数零点的孤立性及唯一性定理、最大模原理。

考核内容第五章？？？5.1解析函数的罗朗展式（圆环域和孤立奇点的邻域内），罗朗级数与泰勒级数之间的关系。5.2解析函数的孤立奇点：可去奇点、极点、本性奇点，席瓦尔兹引理，毕卡定理，三类孤立奇点的判别（充要条件）。5.3解析函数在无穷远点邻域的性质。5.4整函数与亚纯函数概念、简单性质。考核要求：会将解析函数展为罗朗级数，能熟练判别各孤立奇点的类型，了解解析函数在无穷远点的性质，掌握整函数与亚纯函数的简单应用。

第六章留数理论及其应用考核内容6.1留数留数的定义，留数定理，应用罗朗展式求留数，函数在无穷远点的留数。

6.2用留数定理计算实积分计算型积分,计算积分路径上有奇点的积分。

6.3辐