(新高考)高考数学一轮复习考点练习20《导数的概念及其运算》（解析版）

考点20导数的概念及其运算【命题解读】从高考对导数的要求看，考查分三个层次，一是考查导数公式，求导法则与导数的几何意义；二是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；三是综合考查，如研究函数零点、证明不等式、恒成立问题、求参数范围等.除压轴题，同时在小题中也加以考查，难度控制在中等以上.应特别是注意将导数内容和传统内容中有关不等式、数列、函数图象及函数单调性有机结合，设计综合题，考查学生灵活应用数学知识分析问题、解决问题的能力.【基础知识回顾】1.导数的概念设函数y＝f(x)在区间(a，b)上有定义，且x0∈(a，b)，若Δx无限趋近于0时，比值eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx)无限趋近于一个常数A，则称f(x)在x＝x0处可导，并称该常数A为函数f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)．若函数y＝f(x)在区间(a，b)内任意一点都可导，则f(x)在各点的导数也随着x的变化而变化，因而是自变量x的函数，该函数称作f(x)的导函数，记作f′(x)．2.导数的几何意义函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，过点P的切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．3.基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f(x)＝C(C为常数)f′(x)＝0f(x)＝xαf′(x)＝αxα－1续表基本初等函数导函数f(x)＝sinxf′(x)＝cosxf(x)＝cosxf′(x)＝－sinxf(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝ax(a>0)f′(x)＝axlnaf(x)＝lnxf′(x)＝eq\f(1,x)f(x)＝logax(a>0，且a≠1)f′(x)＝eq\f(1,xlna)4.导数的运算法则若f′(x)，g′(x)存在，则有：(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；(3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(f（x）,g（x）)))＝eq\f(f′（x）g（x）－f（x）g′（x）,g2（x）)(g(x)≠0)．5.复合函数的求导法则(1)一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))．(2)复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．1、下列求导结果正确的是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】对于A，SKIPIF1<0，故A错误；对于B，SKIPIF1<0，故B错误；对于C，SKIPIF1<0，故C错误；对于D，SKIPIF1<0，故D正确．故选：D．2、若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】SKIPIF1<0SKIPIF1<0．故选：C．3、（2020·广东肇庆市·高三月考）已知函数SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A．0 B．1 C．e D．2【答案】D【解析】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故选：D4、设M为曲线C：y＝2x2＋3x＋3上的点，且曲线C在点M处切线倾斜角的取值范围为eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π))，则点M横坐标的取值范围为(D)A.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，＋∞))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(3,4)))C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，－\f(3,4)))D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(3,4)))【答案】D【解析】、由题意y′＝4x＋3，切线倾斜角的范围是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)π，π))，则切线的斜率k的范围是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，0))，∴－1≤4x＋3<0，解得－1≤x<－eq\f(3,4).故选D.5、下列求导过程正确的选项是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))′＝eq\f(1,x2)B．(eq\r(x))′＝eq\f(1,2\r(x))C．(xa)′＝axa－1D．(logax)′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lnx,lna)))′＝eq\f(1,xlna)【答案】BCD【解析】根据题意，依次分析选项：对于A，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))′＝(x－1)′＝－eq\f(1,x2)，A错误；对于B，(eq\r(x))′＝SKIPIF1<0＝eq\f(1,2)×SKIPIF1<0＝eq\f(1,2\r(x))，B正确；对于C，(xa)′＝axa－1，C正确；对于D，(logax)′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lnx,lna)))′＝eq\f(1,xlna)，D正确；则B，C，D正确．6、（江苏省南通市西亭高级中学2019-2020学年高三下学期学情调研）若曲线SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处的切线斜率为-1，则SKIPIF1<0___________.【答案】SKIPIF1<0【解析】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故答案为:-2.7、（江苏省如皋市2019-2020学年高三上学期10月调研）已知SKIPIF1<0，设函数SKIPIF1<0的图象在点（1，SKIPIF1<0）处的切线为l，则l在y轴上的截距为________.【答案】1【解析】函数f(x)=ax−lnx,可得SKIPIF1<0,切线的斜率为：SKIPIF1<0，切点坐标(1,a),切线方程l为：y−a=(a−1)(x−1)，l在y轴上的截距为：a+(a−1)(−1)=1.故答案为1.考向一基本函数的导数例1、求下列函数的导数(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0；(3)SKIPIF1<0；(4)SKIPIF1<0；(5)SKIPIF1<0；(6)SKIPIF1<0．【解析】(1)∵y＝(3x2－4x)(2x＋1)＝6x3＋3x2－8x2－4x＝6x3－5x2－4x，∴SKIPIF1<0.(2)SKIPIF1<0；(3)SKIPIF1<0；(4)SKIPIF1<0；(5)SKIPIF1<0eq\f(lnx′x2＋1－lnxx2＋1′,x2＋12)＝eq\f(\f(1,x)x2＋1－2xlnx,x2＋12)＝eq\f(x2＋1－2x2lnx,xx2＋12)；(6)SKIPIF1<0.变式1、求下列函数的导数．(1)y＝x2sinx；(2)y＝lnx＋eq\f(1,x)；(3)y＝eq\f(cosx,ex).【解析】、(1)y′＝(x2)′sinx＋x2(sinx)′＝2xsinx＋x2cosx.(2)y′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(lnx＋\f(1,x)))′＝(lnx)′＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))′＝eq\f(1,x)－eq\f(1,x2).(3)y′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(cosx,ex)))′＝eq\f(cosx′ex－cosxex′,ex2)＝－eq\f(sinx＋cosx,ex).变式2、求下列函数的导数：(1)f(x)＝eq\f(x2＋x,ex)；(2)f(x)＝eq\f(x3＋2x－x2lnx－1,x2)；(3)y＝xsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2)))coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2))).【解析】、(1)f′(x)＝eq\f(（2x＋1）ex－（x2＋x）ex,（ex）2)＝eq\f(1＋x－x2,ex).(2)由已知f(x)＝x－lnx＋eq\f(2,x)－eq\f(1,x2).∴f′(x)＝1－eq\f(1,x)－eq\f(2,x2)＋eq\f(2,x3)＝eq\f(x3－x2－2x＋2,x3).(3)∵y＝xsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2)))coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2)))＝eq\f(1,2)xsin(4x＋π)＝－eq\f(1,2)xsin4x，∴y′＝－eq\f(1,2)sin4x－eq\f(1,2)x·4cos4x＝－eq\f(1,2)sin4x－2xcos4x.方法总结：求函数导数的总原则：先化简解析式，再求导．注意以下几点：连乘形式则先展开化为多项式形式，再求导；三角形式，先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导；分式形式，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；复合函数，先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元考向二求导数的切线方程例2、(1)函数SKIPIF1<0的图象在点SKIPIF1<0处的切线方程为__________．(2)函数f(x)＝lnx＋ax的图象存在与直线2x－y＝0平行的切线，则实数a的取值范围是()A．(－∞，－2] B．(－∞，2)C．(2，＋∞) D．(0，＋∞)【答案】(1)x－y－3＝0(2)B【解析】(1)f′(x)＝eq\f(1－lnx,x2)，则f′(1)＝1，故该切线方程为y－(－2)＝x－1，即x－y－3＝0.（2）函数f(x)＝lnx＋ax的图象存在与直线2x－y＝0平行的切线，即f′(x)＝2在(0，＋∞)上有解．所以f′(x)＝eq\f(1,x)＋a＝2在(0，＋∞)上有解，则a＝2－eq\f(1,x).因为x>0，所以2－eq\f(1,x)<2，所以a的取值范围是(－∞，2)．变式1、(1)已知曲线S：y＝－eq\f(2,3)x3＋x2＋4x及点P(0，0)，那么过点P的曲线S的切线方程为____．(2)已知函数f(x)＝xlnx，过点A(－eq\f(1,e2)，0)作函数y＝f(x)图像的切线，那么切线的方程为____．【答案】（1）y＝4x或y＝eq\f(35,8)x（2）x＋y＋eq\f(1,e2)＝0【解析】(1)设过点P的切线与曲线S切于点Q(x0，y0)，则过点Q的曲线S的切线斜率为k＝y′|x＝x0＝－2xeq\o\al(2,0)＋2x0＋4，又当x0≠0时，kPQ＝eq\f(y0,x0)，∴－2xeq\o\al(2,0)＋2x0＋4＝eq\f(y0,x0).①∵点Q在曲线S上，∴y0＝－eq\f(2,3)xeq\o\al(3,0)＋xeq\o\al(2,0)＋4x0.②将②代入①得－2xeq\o\al(2,0)＋2x0＋4＝eq\f(－\f(2,3)xeq\o\al(3,0)＋xeq\o\al(2,0)＋4x0,x0)，化简，得eq\f(4,3)xeq\o\al(3,0)－xeq\o\al(2,0)＝0，∴x0＝eq\f(3,4)或x0＝0，当x0＝eq\f(3,4)时，则k＝eq\f(35,8)，过点P的切线方程为y＝eq\f(35,8)x.当x0＝0时，则k＝4，过点P的切线方程为y＝4x，故过点P的曲线S的切线方程为y＝4x或y＝eq\f(35,8)x.(2)设切点为T(x0，y0)，则kAT＝f′(x0)，∴eq\f(x0lnx0,x0＋\f(1,e2))＝lnx0＋1，即e2x0＋lnx0＋1＝0.设h(x)＝e2x＋lnx＋1，则h′(x)＝e2＋eq\f(1,x)，当x>0时，h′(x)>0，∴h(x)在(0，＋∞)上是单调增函数，∴h(x)＝0最多只有一个根.又heq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e2)))＝e2×eq\f(1,e2)＋lneq\f(1,e2)＋1＝0，∴x0＝eq\f(1,e2).由f′(x0)＝－1得切线方程是x＋y＋eq\f(1,e2)＝0.变式2、已知函数f(x)＝x3＋x－16.(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；(2)若直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标；(3)如果曲线y＝f(x)的某一切线与直线y＝－eq\f(1,4)x＋3垂直，求切点坐标与切线方程．【解析】(1)由函数f(x)的解析式可知点(2，－6)在曲线y＝f(x)上，∴f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1，∴在点(2，－6)处的切线的斜率为k＝f′(2)＝13，∴切线的方程为y－(－6)＝13(x－2)，即y＝13x－32.(2)(方法1)设切点为(x0，y0)，则直线l的斜率为f′(x0)＝3xeq\o\al(2,0)＋1，∴直线l的方程为y＝(3xeq\o\al(2,0)＋1)(x－x0)＋xeq\o\al(3,0)＋x0－16.又∵直线l过点(0，0)，∴0＝(3xeq\o\al(2,0)＋1)(－x0)＋xeq\o\al(3,0)＋x0－16，整理得xeq\o\al(3,0)＝－8，∴x0＝－2，∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，f′(－2)＝3×(－2)2＋1＝13，故直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．(方法2)设直线l的方程为y＝kx，切点坐标为(x0，y0)，则k＝eq\f(y0－0,x0－0)＝eq\f(xeq\o\al(3,0)＋x0－16,x0).又∵k＝f′(x0)＝3xeq\o\al(2,0)＋1，∴eq\f(xeq\o\al(3,0)＋x0－16,x0)＝3xeq\o\al(2,0)＋1，解得x0＝－2，∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，k＝3×(－2)2＋1＝13，∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．(3)∵曲线f(x)的某一切线与直线y＝－eq\f(x,4)＋3垂直，∴该切线的斜率k＝4.设切点的坐标为(x0，y0)，则f′(x0)＝3xeq\o\al(2,0)＋1＝4，∴x0＝±1，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0＝1，,y0＝－14))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0＝－1，,y0＝－18.))故切线方程为y－(－14)＝4(x－1)或y－(－18)＝4(x＋1)，即y＝4x－18或y＝4x－14.方法总结：利用导数研究曲线的切线问题，一定要熟练掌握以下三点：(1)函数在切点处的导数值是切线的斜率，即已知切点坐标可求切线斜率，已知斜率可求切点坐标．(2)切点既在曲线上，又在切线上，切线还有可能和曲线有其它的公共点．(3)曲线y＝f(x)“在”点P(x0，y0)处的切线与“过”点P(x0，y0)的切线的区别：曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线是指点P为切点，若切线斜率存在，切线斜率为k＝f′(x0)，是唯一的一条切线；曲线y＝f(x)过点P(x0，y0)的切线，是指切线经过点P，点P可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条．考向三导数几何意义的应用例3、已知函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0和直线SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0的值；(2)是否存在SKIPIF1<0，使直线SKIPIF1<0既是曲线SKIPIF1<0的切线，又是曲线SKIPIF1<0的切线？如果存在，求出SKIPIF1<0的值；如果不存在，请说明理由．【解析】：(1)由已知得f′(x)＝3ax2＋6x－6a，∵f′(－1)＝0，∴3a－6－6a＝0，∴a＝－2.(2)存在．由已知得，直线m恒过定点(0,9)，若直线m是曲线y＝g(x)的切线，则设切点为(x0,3xeq\o\al(2,0)＋6x0＋12)．∵g′(x0)＝6x0＋6，∴切线方程为y－(3xeq\o\al(2,0)＋6x0＋12)＝(6x0＋6)(x－x0)，将(0,9)代入切线方程，解得x0＝±1.当x0＝－1时，切线方程为y＝9；当x0＝1时，切线方程为y＝12x＋9.由(1)知f(x)＝－2x3＋3x2＋12x－11，①由f′(x)＝0得－6x2＋6x＋12＝0，解得x＝－1或x＝2.在x＝－1处，y＝f(x)的切线方程为y＝－18；在x＝2处，y＝f(x)的切线方程为y＝9，∴y＝f(x)与y＝g(x)的公切线是y＝9.②由f′(x)＝12得－6x2＋6x＋12＝12，解得x＝0或x＝1.在x＝0处，y＝f(x)的切线方程为y＝12x－11；在x＝1处，y＝f(x)的切线方程为y＝12x－10；∴y＝f(x)与y＝g(x)的公切线不是y＝12x＋9.综上所述，y＝f(x)与y＝g(x)的公切线是y＝9，此时k＝0.变式1、已知函数SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的导函数，则过曲线SKIPIF1<0上一点SKIPIF1<0的切线方程为__________________．变式2：若直线SKIPIF1<0是曲线SKIPIF1<0的切线，则实数SKIPIF1<0的值为________．【答案】：(1)3x－y－2＝0或3x－4y＋1＝0(2)－e【解析】：(1)由f(x)＝3x＋cos2x＋sin2x得f′(x)＝3－2sin2x＋2cos2x，则a＝f′(eq\f(π,4))＝3－2sineq\f(π,2)＋2coseq\f(π,2)＝1.由y＝x3得y′＝3x2，当P点为切点时，切线的斜率k＝3a2＝3×12＝3.又b＝a3，则b＝1，所以切点P的坐标为(1,1)．故过曲线y＝x3上的点P的切线方程为y－1＝3(x－1)，即3x－y－2＝0.当P点不是切点时，设切点为(x0，xeq\o\al(3,0))，∴切线方程为y－xeq\o\al(3,0)＝3xeq\o\al(2,0)(x－x0)，∵P(a，b)在曲线y＝x3上，且a＝1，∴b＝1.∴1－xeq\o\al(3,0)＝3xeq\o\al(2,0)(1－x0)，∴2xeq\o\al(3,0)－3xeq\o\al(2,0)＋1＝0，∴2xeq\o\al(3,0)－2xeq\o\al(2,0)－xeq\o\al(2,0)＋1＝0，∴(x0－1)2(2x0＋1)＝0，∴切点为SKIPIF1<0，∴此时的切线方程为SKIPIF1<0，综上，满足题意的切线方程为3x－y－2＝0或3x－4y＋1＝0.(2)设切点为(x0，x0lnx0)，由y′＝(xlnx)′＝lnx＋x·eq\f(1,x)＝lnx＋1，得切线的斜率k＝lnx0＋1，故切线方程为y－x0lnx0＝(lnx0＋1)(x－x0)，整理得y＝(lnx0＋1)x－x0，与y＝2x＋m比较得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(lnx0＋1＝2，,－x0＝m，))解得x0＝e，故m＝－e.变式3、(2019常州期末）若直线kx－y－k＝0与曲线y＝ex(e是自然对数的底数)相切，则实数k＝________．【答案】、e2【解析】、设切点A(x0，ex0)，由(ex)′＝ex，得切线方程为y－ex0＝ex0(x－x0)，即y＝ex0x＋(1－x0)ex0，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝ex0，,－k＝（1－x0）ex0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0＝2，,k＝e2.))方法总结：1．利用导数的几何意义求参数的基本方法利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组)，进而求出参数的值或取值范围．2．求解与导数的几何意义有关问题时应注意的两点(1)注意曲线上横坐标的取值范围；(2)谨记切点既在切线上又在曲线上．1、【2020年高考全国Ⅰ卷理数】函数SKIPIF1<0的图像在点SKIPIF1<0处的切线方程为A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因此，所求切线的方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.故选：B．2、【2019年高考全国Ⅲ卷理数】已知曲线SKIPIF1<0在点（1，ae）处的切线方程为y=2x+b，则A．SKIPIF1<0 B．a=e，b=1C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0【答案】D【解析】∵SKIPIF1<0∴切线的斜率SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0.故选D．3、【2018年高考全国Ⅰ卷理数】设函数SKIPIF1<0.若SKIPIF1<0为奇函数，则曲线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线方程为A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】因为函数f(x)是奇函数，所以a−1=0，解得a=1，所以f(x)=x3+x所以f'(0)=1,f(0)=0，所以曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为y−f(0)=f'(0)x，化简可得y=x.故选D.4、【2019年高考全国Ⅰ卷理数】曲线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线方程为____________．【答案】SKIPIF1<0【解析】SKIPIF1<0所以切线的斜率SKIPIF1<0，则曲线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<05、【2018年高考全国Ⅲ卷理数】曲线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线的斜率为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0________．【答案】−3【解析】SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以a=−3.6、【江苏省南通市2019-2020学年高三上学期期初】给出下列三个函数：①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0，则直线SKIPIF1<0(SKIPIF1<0)不能作为函数_______的图象的切线（填写所有符合条件的函数的序号）．【答案】①【解析】直线SKIPIF1<0的斜率为k＝SKIPIF1<0，对于①SKIPIF1<0，求导得：SKIPIF1<0，对于任意x≠0，SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0无解，所以，直线SKIPIF1<0不能作为切线；对于②SKIPIF1<0，求导得：SKIPIF1<0有解，可得满足题意；对于③SKIPIF1<0，求导得：SKIPIF1<0有解，可得满足题意；故答案为：①7、【江苏省南通市通州区2019-2020学年高三第一次调研抽测】已知函数SKIPIF1<0，若曲线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线方程为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为_______.【答案】3e【解析】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，又曲线SKIPIF1<0在点