必修四向量加法运算及其几何意义

向量加法运算及其几何意义[学习目标]1.理解并掌握加法的观点，认识向量加法的物理意义及其几何意义.2.掌握向量加法的三角形法例和平行四边形法例，并能娴熟地运用这两个法例作两个向量的加法运算.3.认识向量加法的互换律和联合律，并能依几何意义作图解说加法运算律的合理性．知识点一直量的加法1．向量加法的定义定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法．关于零向量与任一直量a，规定0＋a＝a＋0＝a.2．向量乞降的法例如图，已知非零向量→则向量AC叫做a与

→→a，b，在平面内任取一点A，作AB＝a，BC＝b，→→→b的和，记作a＋b，即a＋b＝AB＋BC＝AC三角形法例如图，已知两个不共线向量→→→→a，b，作AB＝a，AD＝b，以AB，AD为邻边作ABCD，平行四边形法例→则对角线上的向量AC＝a＋b思虑如图，已知向量a,b，分别利用三角形法例和平行四边形法例作出向量a＋b.答案作法1：在平面内任取一点→→→O，作OA＝a，AB＝b，则OB＝a＋b.作法2：在平面内任取一点→→O，作OA＝a，OB＝b，以OA，OB为邻边作OACB，连结OC，则→→→OC＝OA＋OB＝a＋b.知识点二向量的加法和向量的模(1)当向量a与b不共线时，a＋b的方向与a，b都不同样，且|a＋b|<|a|＋|b|；(2)当a与b同向时，a＋b，a，b的方向同样，且|a＋b|＝|a|＋|b|；(3)当a与b反向时，若|a|≥|b，则a＋b与a的方向同样，且|a＋b|＝|a|－|b|.若|a|<|b|，则a＋b与b的方向同样，且|a＋b|＝|b|－|a|.知识点三向量加法的运算律互换律a＋b＝b＋a联合律(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)→思虑1依据以下图中的平行四边形ABCD，考证向量加法的互换律：a＋b＝b＋a.(注：AB＝a，→AD＝b)答案→→→→∵AC＝AB＋BC，∴AC＝a＋b.→→→→∵AC＝AD＋DC，∴AC＝b＋a.a＋b＝b＋a.思虑2依据以下图中的四边形ABCD，考证向量加法的联合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．答案→→→→→→，∵AD＝AC＋CD＝(AB＋BC)＋CD∴AD→＝(a＋b)＋c，→→→→→→又∵AD＝AB＋BD＝AB＋(BC＋CD)，∴AD→＝a＋(b＋c)，(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．题型一直量加法及其运算律例1化简：→＋→；→＋→＋→；(1)BCAB(2)DBCDBC→＋→＋→＋→＋→(3)ABDFCDBCFA.解→→→→→(1)BC＋AB＝AB＋BC＝AC.→→→→→→(2)DB＋CD＋BC＝BC＋CD＋DB→→→→→＝(BC＋CD)＋DB＝BD＋DB＝0.→→→→→(3)AB＋DF＋CD＋BC＋FA→→→→→＝AB＋BC＋CD＋DF＋FA→→→→＝AC＋CD＋DF＋FA→→→＝AD＋DF＋FA→→＝AF＋FA＝0.追踪训练1如图，在平行四边形ABCD中，O是AC和BD的交点．→→(1)AB＋AD＝________；→→→(2)AC＋CD＋DO＝________；→→→(3)AB＋AD＋CD＝________；→→→(4)AC＋BA＋DA＝________.题型二向量加法在平面几何中的应用→→→→例2已知四边形ABCD的对角线AC与BD订交于点O，且AO＝OC，DO＝OB.求证：四边形ABCD是平行四边形．证明→→→→→→AB＝AO＋OB，DC＝DO＋OC，→→→→→→又∵AO＝OC，OB＝DO，∴AB＝DC.∴AB＝CD且AB∥DC.∴四边形ABCD为平行四边形．追踪训练2如下图，在四边形→→→ABCD中，AC＝AB＋AD，试判断四边形的形状．解→→→∵AC＝AB＋AD，→→→→→→→→→→→→∴DC＝DA＋AC＝DA＋AB＋AD＝DA＋AD＋AB＝AB，即DC＝AB.∴四边形ABCD为平行四边形．题型三向量加法的实质应用例3在水流速度为43km/h的河中，假如要船以12km/h的实质航速与河岸垂直行驶，求船航行速度的大小和方向．解→→AD綊如图，设AB表示水流速度，则AC表示船航行的实质速度，作→BC，则AD即表示船航行的速度．→→433由于|AB|＝43，|AC|＝12，∠CAB＝90°，因此tan∠ACB＝12＝3，即∠ACB＝30°，∠CAD＝30°.因此→|AD|＝83，∠BAD＝120°.即船航行的速度为83km/h，方向与水流方向所成角为120°.追踪训练3如下图，一架飞机从A地按北偏东35°的方向飞翔800km抵达B地接到受伤人员，而后又从B地按南偏东55°的方向飞翔800km送往C地医院，求这架飞机飞翔的行程及两次位移的和．→→A地按北偏东35°的方向飞翔800km，从B地按南偏东55°解设AB，BC分别表示飞机从的方向飞翔800km，则飞机飞翔的行程指的是→→|AB|＋|BC|；两次飞翔的位移的和指的是→→→AB＋BC＝AC.→→依题意，有|AB|＋|BC|＝800＋800＝1600(km)，又α＝35°，β＝55°，∠ABC＝35°＋55°＝90°，→→→8002＋8002＝8002(km)．因此|AC|＝|AB|2＋|BC|2＝此中∠BAC＝45°，因此方向为北偏东35°＋45°＝80°.进而飞机飞翔的行程是1600km，两次飞翔的位移和的大小为8002km，方向为北偏东80°.向量加法的多边形法例向量加法的三角形法例能够推行为多个向量乞降的多边形法例，即把每个向量平移，使这些向量首尾相连，则由第一个向量的起点指向最后一个向量终点的向量就是这些向量的和向量．如图，即：A→1——→2＋A→23＋A→34＋＋An－1n＝A→1nAAAAA.——→1＝0.或A→12＋A→23＋＋An－1n＋A→nAAAA这是一个极其简单却特别实用的结论．利用向量加法的多边形法例化简多个向量的和有时特别有效．例4在正六边形→→→→→→ABCDEF中，AC＋BD＋CE＋DF＋EA＋FB＝________.分析→＋→＋→＋→＋→＋→ACBDCEDFEAFB→→→→→→→→→→→→＝(AB＋BC)＋(BC＋CD)＋(CD＋DE)＋(DE＋EF)＋(EF＋FA)＋(FA＋AB)→→→→→→→→→→→→＝(AB＋BC＋CD＋DE＋EF＋FA)＋(BC＋CD＋DE＋EF＋FA＋AB)＝0＋0＝0.答案01．作用在同一物体上的两个力F1＝60N，F2＝60N，当它们的夹角为120°时，则这两个力的协力大小为()A．30NB．60NC．90ND．120N2．如图，D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点，则以下等式中错误的选项是()→→→→＋DA＋DE＝0＋BE＋CF＝0→→→→→→＋DE＋AD＝AB＋FD＝BD＋EC3．已知在矩形→→→ABCD中，AB＝2，BC＝3，则AB＋BC＋AC的模等于________．→＋→＋→；4．化简：(1)ABCDBC→→→→(2)(MA＋BN＋CB)＋(AC)；→→→→(3)AB＋(BD＋CA)＋DC.5．如下图，P，Q是△ABC的边BC上两点，且BP＝QC.→→→→求证：AB＋AC＝AP＋AQ.一、选择题1．已知向量a∥b，且|a|>|b|>0，则向量a＋b的方向()A．与向量a方向同样B．与向量a方向相反C．与向量b方向同样D．不确立2．以下等式错误的选项是()A．a＋0＝0＋a＝a→→＋BC＋AC＝0→→→→→＋BA＝0＋AC＝MN＋NP＋PM3．a，b为非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则()A．a∥b，且a与b方向同样B．a，b是共线向量且方向相反C．a＝bD．a，b不论什么关系均可4.如下图，在平行四边形→→→ABCD中，BC＋DC＋BA等于()5.如下图，在正六边形→→→ABCDEF中，若AB＝1，则|AB＋FE＋CD|等于()A．1B．2C．3D．23→→→→6．设a＝(AB＋CD)＋(BC＋DA)，b是任一非零向量，则以下结论中正确的选项是()a∥b；②a＋b＝a；③a＋b＝b；④|a＋b|＝|a|－|b|；⑤|a＋b|＝|a|＋|b|.A．①②B．①③C．①③⑤D．③④⑤二、填空题→→→→7．依据图示填空，此中a＝DC，b＝CO，c＝OB，d＝BA.(1)a＋b＋c＝________；(2)b＋d＋c＝________.8．已知|a|＝3，|b|＝5，则向量a＋b模长的最大值是____．9．已知正方形ABCD的边长为→→→1，AB＝a，AC＝b，BC＝c，则|a＋b＋c|＝________.→→→10．已知点G是△ABC的重心，则GA＋GB＋GC＝______.三、解答题11．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于O点，P为平面内随意一点．求证：→＋→＋→＋→＝→PAPBPCPD4PO.→→12．已知|OA|＝|a|＝3，|OB|＝|b|＝3，∠AOB＝60°，求|a＋b|.13.如下图，在平行四边形ABCD的对角线BD的延伸线和反向延伸线上取点F，E，使BEDF.求证：四边形AECF是平行四边形．当堂检测答案1．答案B2．答案D分析→→→→→FD＋DA＋DE＝FA＋DE＝0，→→→→→→AD＋BE＋CF＝AD＋DF＋FA＝0，→→→→→→→→FD＋DE＋AD＝FE＋AD＝AD＋DB＝AB，→→→→→→→AD＋EC＋FD＝AD＋0＝AD＝DB≠BD.应选D.3．答案213分析→→→→→＝213.|AB＋BC＋AC|＝|2AC|＝2|AC|4．解→→→→→→→(1)AB＋CD＋BC＝AB＋BC＋CD＝AD.→＋→→＋→→＋→→＋→→＋→＝→(2)(MABN)＋(ACCB)＝(MAAC)＋(CBBN)＝MCCNMN.→＋→＋→→＝→＋→＋→＋→＝(3)AB(BDCA)＋DCABBDDCCA0.→→→→→→5．证明∵AP＝AB＋BP，AQ＝AC＋CQ，→＋→＝→＋→＋→＋→∴APAQABACBPCQ.→→又∵BP＝QC且BP与CQ方向相反，→→∴BP＋CQ＝0，→→→→→→→→∴AP＋AQ＝AB＋AC，即AB＋AC＝AP＋AQ.课时精练答案一、选择题1．答案A分析假如a和b方向同样，则它们的和的方向应当与a(或b)的方向同样；假如它们的方向相反，而a的模大于b的模，则它们的和的方向与a的方向同样．2．答案B→→→→→→分析AB＋BC＋AC＝AC＋AC＝2AC≠0，故B错．3．答案A4.答案分析5.答案分析

C→＋→＋→＝→＋→＋→→＋＝→BCDCBABC(DCBA)＝BC0BC.B→→→→→→→|AB＋FE＋CD|＝|AB＋BC＋CD|＝|AD|＝2.6．答案C分析a＝0，∴a∥b，a＋b＝b，|a＋b|＝|a|＋|b|，应选C.二、填空题→→7．答案(1)DB(2)CA分析→→→→(1)a＋b＋c＝DC＋CO＋OB＝DB.→＋→＋→＝→(2)b＋d＋c＝COBAOBCA.8．答案8分析∵|a＋b|≤|a＋|b|＝3＋5＝8.|a＋b|的最大值为8.9．答案22分析→→→→→→|a＋b＋c|＝|AB＋AC＋BC|＝|AB＋BC＋AC|→→→2.＝|AC＋AC|＝2|AC|＝210．答案0分析如下图，连结AG并延伸交BC于E点，点E为BC的中点，延伸AE到D点，使GE＝ED，则→＋→＝→，→＋→＝，GBGCGDGDGA0→→→∴GA＋GB＋GC＝0.三、解答题11．证明→→→→∵PA＋PB＋PC＋PD→→→→→→→→＝PO＋OA＋PO＋OB＋PO＋OC＋PO＋OD→→→→→＝4PO＋(OA＋OB＋OC＋OD)→→→→→＝4PO＋(OA＋OC)＋(OB＋OD)→→＝4PO＋0＋0＝4PO.→→→→→∴PA＋PB