课标版（文理）数学 第一轮专题练习-第四章 三角函数、解三角形

第第页共28页2023课标版(文理)数学高考第一轮专题练习第四章三角函数、解三角形第一讲三角函数的基本概念、同角三角函数的基本关系与诱导公式夯基础考点练透［易错题］“0为第一或第四象限角”是“cos00”的 ()充分不必要条件必要不充分条件充要条件I).既不充分也不必要条件TOC\o"1-5"\h\z己知tan<9=cos汐，则sin0= ( ).2-V3 D-1+V3 r2-V5 n-1+V5A•— B•— C•— D•_［2022泉州市质量监测］若^〈 且sin20=^,则tane: ()全 B.2 C.J D.4［2022武汉市部分学校质检］若tan 则;()A.-i B.j C.-3 D.3己知a是第四象限角，且sin则tan(a-f)= ()A.- B.i C.— D.-6 3 3 3［2022山东部分重点中学综合考试］若tan(n+a)^,则l-2sin2^+sin2a= ()A.t B.丑 C.竺 D.=25 25 25 25［2022T8联考］己知V3tan20°+/lcos70"=3,则X的值为 ( )A.V3 B.2V3 C.3V3 D.4V3［2018北京高考］在平面直角坐标系中，AB,CD,EF,而是圆A/=l上的四段弧(如图4-1-1),点P在其中一段上，角a以似为始边，W为终边.若Una<C0Sa<sina，则戶所在的圆弧是 ()［2018全国卷I］己知角a的顶点力坐标原点，始边与*轴的非负半轴重合，终边上有两点/(1，4，汛2，《，cos2 则|a~b\=A.| B.^ C.^ D.l[2022宵岛市质检]己知tana=3,n<a<y,则cosa-sina- 提能力考法实战［数学建模］如图4-1-2所示，《掷铁饼者》取材于希腊的现实生活中的体竞技活动，刻的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间.现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的手臂长约为米，肩宽约为米，“弓”所在圆的半径约为1.25米，则掷铁饼者双手之间的距离约为4 8()A.1.012米 B.1.768米 C.2.043米 D.2.954米图4-1-2［三角函数与函数图象综合］如图4-1-3所示，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为^(V2,-^)，角速度为1,那么点戶到％轴的距离a关于时间t的函数图象大致为()图4-1-3第二讲三角恒等变换S夯基础考点练透第二讲三角恒等变换S夯基础考点练透[2022甘肃九校联考]若6cos2a+2cos2a=-\t则tana=A.±2 B.±3 C.2 D.-3若tan(^-^)=2,则sin20的值为3-3-5c.415D.=a，=a，A.三B.竺c.gD.-25127244.己知sin(a-g)=-3cos(a-7),则tan20=0A.-4V3b，4C.4V35.[2022长#市质量监测]已知sin(«-^)^V3cos3.[2022西安复习检测]若0为锐角,cos( 则tanTOC\o"1-5"\h\z- B.- C.-- D.--3 9 9 9[2022四川广元中学零诊][2sin50°+sin1(T(1+V3tan10°)]・V2sin280°= 提能力考法实战[2021全国卷甲][理]若a曰(0, ,tan2a则tana二z z-sina

A.^ B.f C.f D序［2022湖南名校联考］某艺术爱好者对《蒙娜丽莎》的同比例影像作品进行了测绘.将_中女子的嘴唇近<以看作一个圆弧(如图4-2-1),在嘴角A,6’处作圆弧的切线，两条切线交于沒点，测得如下数据:J^6.9cm,BC=1.1cm,AO12.6cm.根据测量得到的结果推算女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角的取值范围为 ()图4-2-1图4-2-1A.(^) B.(^) C.(^) D.(笠至)[2021江苏如皋二模]已知a，召£(0,n)，cos^=~,若sin(2a+々)=|sin々，则a+ ()JI5_4

A.JIJI5_4

A.JI2-3

B.n7|6

C.7囊4D.［2021贵阳布第二次适应性考试］点|)为锐角a的终边与单位圆的交点，肌W为坐标原点)逆吋针旋转得OP、，则点的横坐标为 .圃创新预测［角度创新］己知函数f(x)=2cos(a+^)cos(x-^)+sin 若对任意的实数a;恒有/'(a，)彡/Xat)</(a2)，贝ijcos(a「a2)= .第三讲三角函数的图象与性质 夯基础考点练透［2022武汉市部分学校质检］要得到函数尸sin(2x^)的图象，可以将函数^cos(2^)的图象向右平移&个单位长度向左平移$个单位长度向右平移个单位长度向左平移个单位长度6［2019全国卷II］［理］下列函数中，以g为周期且在区间($，$上单调递增的是

A.f(x)=|cos2x| B.f(x)=|sin2x|C.f(x)=cos|x|D.f(x)=sin|x|［2022甘肃九校联考］己知函数 小）（6>>0,|^|<^）的部分图象如图4-3-1所示，若A.«y=2，<i>=^B.<y=^,0=^6 3 181霸8

A.1I6

B.若函数/（A）=2V3sin^xcos^>A+2sin2~a"+cos2在区间y］上单调递增，则正数1霸8

A.1I6

B.［2022广西名校联考］将函数Ax）的图象向左平移$个单位长度,再将所得函数图象上的所有点的横坐标变为原来的得到函数^）=Jsin（6>AH-0）（J>0,~〉0,|4><n）的图象.己知函数〆X）的部分图象如图4-3-2所示，则下列关于函数M的说法正确的是 （）A./tr）的最小正周期为$8./^0在区间|^，$上单调递减M的图象关于直线对称M的图象关于点（^,0）成中心对称［2021昆明市模拟］智能主动降噪耳机的工作原理如图4-3-3（1）所示，耳机两端的噪声采集器采集周围的噪咅，然后通过听感主动降噪芯片生成相等的反向波抵消噪咅.已知某噪咅的声波曲线尸Jsin((J〉0,0〉0)在[Ij]上的大致图象如图4-3-3(2)所示，则通过听感主动降噪芯片生成相等的反向波曲线的方程可以为 ()图4-3-3A.尸2sin(n B.尸手sin(专广艺)C.尸手sin D.尸2sin(n[2017全国卷II][理]函数f(x)=sin'x+y/3cos [0,^])的最大值是 .提能力考法实战[2022湖南名校联考]已知力，泊是函数f(x)=lnn(^x-</»)(。〉0,0<0<n)的两个零点，且| 的最小值TOC\o"1-5"\h\z为$若将函数M的图象向左平移g个单位长度后得到的图象关于原点对称，则0的最大值为()A.箜 B.- C.2 D.-4 4 8 8[2021郑州市三模]己知数列UJ的通项公式是a.=f(^)，其中/W=sin(^0)(6»0,| <^)的部分图象如图4-3-4所示,孓为数列U)的前n项和，则021的值为 ()己知函数A%)=2sin(6>^^)+l(6>>0,|中\勺，其图象与直线尸-1相邻两个交点的距离为若Ax)>l对任意的-rG 恒成立，则巾的取值范围是 (AH C. 0.[^][2021四省八校联考]若0是△/!优'的一个内角，且cosa<-^，则下列结论错误的是 (A.sin0<^-B.tan0>-2>/2C.cos2 D.sin20<~［2021南昌市三模］己知函数/a)=sina--V3cosx与直线y=a(0<a<2)在第一象限的交点的横坐标从小到大依次为A-l,X2,…，Xn,…，则Aa-1-2%2-3A3)= ()A.-l B.O C.1 D.V3［2022青岛市质检］［多选题］己知函数/'(x)=sin(6>^)(~>0),若/(0)+/^)=0,且/tr)在(0,$上有且622仅有三个极值点，则下列结论正确的是()f(x)的最小正周期为$在区间+ Z)上单调递增c./to在区间［0,p上的最小值等于D.将^)=sin2*的图象向右平移个单位长度可得到j-Af)的图象［2021贵阳市第二次适应性考试］已知函数ra)=cos(2^0)(|0|<^),Aa)=fa)+y/-'U)为奇函数，则下述四个结论：©tan0=>/3;②若fix)在［-a,a］上存在零点，则a的最小值为:③厂U)在$ 上单调递增:④/U)在(0,=)6 4 4 2上有且仅有一个极大值点.其中结论正确的是 .［2018全国卷I］［理］已知函数/U)=2sin^sin2九则/Cv)的最小值是 .［2021江西賴州商三模拟］己知向量a^(sin2x,cos2x),向量Zf(cosy,-sinf〉，且函数/(x)满足Ax)-a•2r2\/3sin2+\/3.(1)求/U)的值域与/’Cr)图象的对称中心；⑵若方程X2x)-a=0(aeR)在区间［0,f内有两个不同的解力,x2,求sin(xr^)的值.圃创新预测[2022广西名校联考]己知函数Ax)^sin(6>^0)(/l>O,^>0,|0|<$的部分图象如图4-3-5所示，则使r(2a+A)+A-^)=0成立的a的最小正值为 .图4-3-5[条件创新]己知函数/W=2sin6>>0)在区间上单调递增，且直线尸-2与函数f(x)的图象在[-2n,0]上有且仅有一个交点，则实数o的取值范围是 .第四讲正、余弦定理及解三角形夯基础考点练透[2022广东六校联考改编]在优'中，角A,B，f的对边分别力a,b，ct下列说法不正确的是若A>Bt则|cosB\>|cosA\若则△/[%’为锐角三角形等式a=bcosOccosZ/恒成立[).若J:沒：Al:1:4,贝ija:Z?:c=l:1:V5［2021全国卷乙］［理］记的内角A,B，6•的对边分別为a,b，c，面积为庐60°，a+c=3ac,则b= •［2022甘肃九校联考］在△/!优•中，a，么c分别是角A,B,6•的对边，若a=2,垆3,sinJ=2sin汝osC,则优'的面积为 . ［2022西安复习检测］在八/!從•中，角A,B，(的对边分别是a，b，c，已知r2a+::.sinC，则角6•的值为 .［2022安徽名校联考］己知從■三个内角A,B，6•的对边分別为a,b,c，且V3ccos/f+asin0=0,若角A的平分线交优'于点认且組，则IAC的最小值为 . ［2022成都市模拟］在斜三角形J优'中，角A,B，的对边分别为a,b，c,且c2=2a況osC.(1)若△/!<•的面积为5；且满足4乒c2,求角的大小；tanAtanB［2021太原市三模］如图4-4-1,A,B,6•为山脚两侧共线的三点，在山顶戶处测得这三点的俯角分别为a=3(T,卢=45°,/=30°,现计划沿直线/16•开通一条穿山隧道DE,经测量J/tlOOm,Z^f33m,胞00m.⑴求他的长；⑵求隧道從’的长(精确到1m).附:W*1.414;V^«1.732.PAD EBC图4-4-1提能力考法实战TOC\o"1-5"\h\z[2021贵阳市第二次适应性考试]已知在△/始6•中，JO8,^10,32cos（/l-功=31，则•的面积是（ ）A.15V7 B.40 C.20V3 D.20[2021太原市二模]在钝角AJ/T中，a，么c分别是△/!從'的内角A,<7所对的边，点<7是△/!從'的重心，若AGLBG,则cos6•的取值范围是 （）A.（0,孕）B.哆争C.（孕，1）D.哆1）在△/!從'中，点私为优'边上一点，且MC-2,AMAC=^.若從'的面积为4\/3,则△/!说'外接圆的半径为 .[2022苏州市调研]某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图4-4-2所示(长度单位:cm)，四边形#卻为矩形,AB,CD,份均与圆0相切，B，6?为切点，沉'段为圆0的一段弧，己知tantan[2021新S考卷丨]记△JZC的内角A,B，C的对边分别为b，c.已知lf=act点賄边AC上，BDsinZABC=asinC.(1)证明\BD=b.⑵若AD=2DC,求cosZ/i优:在△/!优•中，角d与角汐的内角平分线交于点I,且5+4cos(/!+功=4sin26：⑴求角＜7的大小；(2)若△/!优•的外接圆半径为4,求周长的最大值.［2022山东部分重点中学综合考试］如图4-4-3,在四边形/1及7?中,/16’与仰相交于点0,OB.sinZABI>=OD.sinZADB,⑴求sinZZM^:(2)若ZADC^,求四边形ABCD的面积.國创新预测在及7中，内角及汉<7所对的边分别是a,b,c,若△/L%'的面积为则tanA的最大值为A.j B.a/5 C.2 D.3［解题创新］己知在△/!及7中,A是及7边上一点，BC=A/)=4,BD-ZCD.(1)若/f华3,求/^的长；⑵求cosABAC的最小值.

答案第四章三角函数、解三角形第一讲三角函数的基本概念、同角三角函数的基本关系与诱导公式@夯基础•考点练透A当权为第一或第四象限角时，cos汐>0,当汐(AEZ)时，cos汉=1>0,(易忽略沒的终边在*轴正半柚上的情形)所以“G为第一或第四象限角”是“cos^>0”的充分不必要条件，故选A.D由tan^=cosa可得^=cos WlJsin^=cos^=l-singpsin^+sin卜1=0,解得sin汐=」^，由sin^=cos20知Sin0>0,所以sin0=-^-,故选D.B* sin2 =^=1W2tan^.-5tan〜2=0,解得tan卜2或tan又所以tan沒>1，所以tan权=2,故选B.cosasina)(cosa+sincr)(cosa-sina)2山• c\-zrrA-rt • z八r-rK|cos2a coscosasina)(cosa+sincr)(cosa-sina)2C由tan"=2口丁知，cosa-sina判，所=品⑽品-加膩咖cosct+sina1+tanan7^1^=c-C由题意，得sin(fl+2)=sin[(t7-2)+5=cos(^-2)4因为2An+^<</<2An+2n(AGZ),所以2kn+^<a-\2kn+y(^GZ).从而sin(aj)H4J2kn+^<a-\2kn+y(^GZ).从而sin(aj)H4J(a2so醺沪鵠4.故选C.«,r,m、i- / 、 ， 3crI»I«n•2 , •ocos2a'-sin2a+2sinacosal-tan2a+2tanatan2a+lsin2a+cos2aB因为tan2a+lsin2a+cos2a故选B.D由题意得，>^sin20°+4sin20°cos20°=3cos20°，所以^sin40o=3cos20°~V3sin20°=2V3sin(600-2011)=2V^sin40o，所以A=4^3,选D.C设点尸的坐标为U，/),利用三角函数的定义可得所以KO,y>0,所以尸所在的圆弧是故选C.TOC\o"1-5"\h\zB因为点J和点沒为角a的终边上的两点，所=即Zf2汉由三角函数定义，得cos 则2b yJl+a2cos2a=2cos2 解得|a|=y.故\a~b\=\a\=^.故选B.10-4^由题意可知^3,因为sin2a+cos2a=l，n<a<g所以sino=-^tcosa=-鸟，所以cosa-5 cosa 2 10 10.^10sin .

提能力•考法实战B由题意画出示意图，如图D4-1-1所示，则的长为2/三+兰=与(米)，似二撕1.25米，ZAOB=^-=4 8o 1.25P所以J决7^6^75米&1.768米.即掷铁饼者双手之间的距离约为1.768米.0图D4-1-1C因为P0(y/2,-^)，所以ZP0Ox=^.设角速度为<则以=1，所以按逆时针方向旋转时间Z后，得Zm=t,(e=ajt,汐为点P转过的角度)所以APOx=t^.由三角函数的定义，知y/=2sin(^),因此^2|sin(^)|.当户0吋，1sin(-^)|=>/2;3 吋，古0,故选C.第二讲三角恒等变换0夯基础•考点练透1.B解法一由题意可得,6cosJa+2(2cos2a-l)=-l，解得cos2a则sin'cr所以tan2a=9,所以tana=±3,故选B.sin2a+cos2a解法二由题意可得，6cos2a+2(cos2a-sin2介8二0叫，即^&—1sin2a+cos2aa=±3,故选B.2.AVtan(0-^)tan0-1 ,4zl n2sin0cos0 2tan0 -6 3本心、*2.AVtan(0-^).tan"=~3-.•sin2si—=^77=故选A.沒-sin^)=~,所以cos权沒-sin^)=~,所以cos权-sin0=~\-〜b+卜盖故选8.^cos 去，所以sin^cos汐-||，所以tan解法一因为sin20+cos20=1且有0<0<^,所以sincos所以tan =i所以tan5 COSt#3解法二将cos0-sin 两边平方，整理得l-2sin=sing+cosg=Sin^+coS^=_J_=25^故选gtandcos0sin0 sindcosd sindcosd12

a-3X$sina，则2sina=-y/3cosaA因为a-3X$sina，则2sina=-y/3cosa即tana二-今，所以tan2a二2:an:= 故选A.2 i-tan‘a1--解法一令a十z，则a=卜号,sinZ=|，故811)(2<^)=8111[2(卜»3111(2卜芸)=-cos21=~(卜2sin2，)=j故选D.解法二sin(2g+2)=-cos[吾+(2a+|)]-cos[2(a呤)]=2sinz(aj)-1=2X(1)2-l=j故选D.V6原式=(2sin50°+sin10° fnl0,■)•V2sin280°=(2sin50o+coslOsin10°.cos10'，nl0°)•V2cos10°=2V2[sin50°-cos10°+coslOsin10°-cos(60°-10°)]=2>/2sin(50。+10。)=275x夸=VS.@提能力•考法实战B由切线长定理，可令AB=BC^7cm,设ZABC=2I过点别乍BDYAC,交AC于D,则sin0^-^-=0.9.设《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角为a，则a+2hn，/.cos^=cos(n-20)=-cos20=2sin^-1^0.62.Vcos^=y^0.707,cosj=|=0.5,...aG(三，吾).故选B.A由题意可知sin(2a+々)=|sin々，上式可化为sin(a+a+^)=|sin(a+fi-a),展开得sinacos(a+/?)+易知cos易知cosa7^0,cos(a+J3)^0t则tan(a+々)+3tana=0.因为cos^=~,ae(0,n),所以e(Hn),sina=Vl-cos2a=导，所以因为cos^=~,ae(0,n),所以e(Hn)又因为^（。，^，所以“^口什所以a+々十.^根据三角函数的定义可得sina=lcosaj.由于嫩逆时针旋转^得奶，所以点H的横坐标为

11.-14因为f(x)=2(ycosA^-ysinx)(ycosAH-ysinA-)+sinx=2(|cos2^sin2Ar)+sinA=l-2sin2x+sinx=-2(sina^)2+|11.-14因为f(x)=2(ycosA^-ysinx)(ycosAH-ysinA-)+sinx=2(|cos2^sin2Ar)+sinA=l-2sin2x+sinx=-2(sina^)2+|，且/X%)对任意实数/恒有 所以sina,=-l，sina2=l.则cosa|=0,cos(a「a2)=cosaicosa2+sina,sina2=-sino2=~-.第三讲三角函数的图象与性质B夯基础•考点练透1.A因为函数尸cos(2^)=sin(^+2^)=sin(2x^),尸sin(2^)=sin[2(a^^)+^]，所以要得到函数尸sin(2a^)的图象，可以将函数尸cos(2^)的图象向右平移个单位长度，故选A.(也可以将y=sin(2x^)转化为产cos(24)，再平移)2.A对于A,作出尸|cos2x1的图象如图D4-3-1所示，由图象知，其周期为f在区间(；,上单调递增，A正确;ZWVW?:It图D4-3-1对于B,作出尸sin2^|的图象如图D4-3-2所示，由图象知，其周期为$在区间(^,上单调递减，B错误;y=lsin2x-W-号0予号1r «图I)4-3-2对于C，尸COS|A•卜COSA•，周期为2JI,C错误;对于D,作出尸sin|州的图象如图D4-3-3所示，由图象知，其不是周期函数，D错误.故选A,C由可得函数/tr)图象的-条对称轴为直线=g，(勿将#n当作fCr)的对称轴方枝)设f(x)的最小正周期为T，结合/U)的图象可知，解得片n，又巧，所以0=2,所以Ax)=sin(2xi-必)，因为/(-3〉二sin[2X(-三)+0]=sin(必-$)二0，所以4>^t故选C.B解法一因为/(x)=2V3sin^atcos^x^2sin2^>a+cos2^A=V3sin2^»a+1在区间[-y,y]上单调递增，2d)x(-芋)=-3coit>所以？ 3n\<n2u 2 2解得<0^1所以正数~的最大值是6解法二易知/U)=V3sin26>於1，可得fix)的最小正周期7^,因为f(x)图象关于(0,1)对称，区间[-$y]关于原点对称，所以要使/tr)在该区间上单调递增，只需$彡$，即解得所以正数o的最大值4 2 4C0 2 6D根据〆d的部分阁象，可得/4=2,iM-^=^-(-^)^(7'为发00的最小正周期〉，所以…2.因为^)=2sin[2X(-$+0]二2,所以2X(-^)+0^+2An(々EZ),因为|必|<n，所以♦号，所以^)=2sin(2^).由题意，把相的图象上的所有点的横坐标变为原来的$再向右平移$个单位长度，可得Ax)=2sin[|X2(^)=2sin(3^)的图象，所以M的最小正周期为^，所以A错误；当A-e吋，3^e[0, ，所以/Xi在[f$]上有增有减，所以B错误;令得Ax)=0,所以C错误，D正确.故选D.D因为该噪音声波曲线过点(0,1), 0),所以Jsin$1，得伞2.点$0)可以看作“五点作图法”中的第三个点，则| 得 ji，所以该噪音声波曲线的方程为y=2sin(n ，则反向波曲线的方程可以为尸-2sin(n^)=2sin(nx+^~n)=2sin(n ,故选D.(噪音声波曲作.与反向波曲浅关于*轴对称)1/Xx)=sin2A+V3cosa^|=-cos2x+a/3cosx^=-(cos2+l.因为[0, ,所以cos[0,1],因此当COS时,/U)«nx=l.@提能力•考法实战

A由题意知函数/U)的最小正周期7^，则-=^,得^3,.：fa)=tan(3A- 将函数/U)的图象向左3U)3平移&个单位长度，得到j-tan[3(^)-0]=tan(3^-0)的图象.尸tan(3x^-0)的图象关于原点对称，则4>今，ACZ,(尸tanx图象关于(^，0)(AGZ)对称)所以0=2-^,AeZ.又0〈必<n，所以当A=-1吋，必取得最大值，最大值为乎.故选A.D由题图可知，芋=空一合=亨，则W，所以cu=^=2.又M的图象过点(吾，1)，所以sin(2X^+0)=1,得2+^=H+2An(Aez),所以 (AeZ),又必|<$所以/W=sin(2^),所以TOC\o"1-5"\h\z6 2 3 2 3 3=sin(T+,则数列是周期为的周期数列.由^=sin(^+可得a、=^，妒0,^=~ar~泷=0,aF^，则兌0,^02F3365i+S=-y,故选D.D由题意知，函数/U)=2sin(6>^<O+l(6>>0,|^|^),其图象与直线尸-1相邻两个交点的距离为n.故函数的最小正周期为7^=n，解得^2,所以Ax)=2sin(2A4-必)+1.由题意，/U)>1对任意的A-e0) 123恒成立，即当A-G 吋，sin(2奸0)>0恒成立.令t=2x^必，因为氏(S9，所以氏(.故要123 1Z3 6 3使sin^>0t亘成立，只需使sin^>0t亘成立，只需,.咖+nUeZ),解得…七杉加々榔.显然,当科D因为0是△/!從’的一个内角，且cos0〈-|，所以Ji.设cos必=-|(三<0<n)，则sin tan3 i 3i 3收因为函数尸cosx在(fJT)上单调递减，所以由cos^<-i=cos么得冬扒❹<艾.对于A，因为函数尸sin/在$幻上单调递减，所以sin0〈sin么即sin以#，故A正确；对于B，因为函数尸tan义在($，：n)上单调递增，所以tan0>tan必，即tan0>~2>[2,故B正确;对于C，因为cos汐<-|，所以cos20y^,所以cos2^=2cosz^-l>2xi-l=-^,故C正确;对于D,sin20=2sinGeost当cos0=~时，sin^=1,sin20=2X^X(-^)=-^,故D不正确.综上，选D.D/tr)=sinx-yfScosA=2sin(^),则函数/U)的最小正周期户2hi，由 得函数f(x)的对称轴为直线^An+gUeZ).在同•平面直角坐标系中作出尸/Xx)和尸a的部分图象，如图D4-3-4所6

示.由图可知，点Ui：a)与点(A-2,a)关于直线对称，所以Xi+A2=y,即X>=^-X\,且A3=Xi+2H,则Xi-2x>-3x3=xr2(芋-泊)-3(xi+2n)=-^~6n=-^_8n，所以f(x~2x2~3x3)=f(-^-8n)=/(-y)=2sin(-y-^)=-2sinY=V3,故选D.(本题也可以直接令沪1,从而解出X,，私沁的值，再求函数值)图D4-3-4n-6A+2p|6ABD解法一因为/(0)=4A0)+r©=0,所以/O=sin(^-^)4所以竽一n-6A+2p|6(AGZ)，所以 或6>=2+4A(々eZ).当戌(0,$吋，因为。>0,所以 要使M在(0,5上有且只有三个极值点，需即尹综上，。=6,所以M=sin.Z Z ZDZ O O OM最小正周期4=?，a正确;令2々3T-^<6^<^2kH.AGZ,则竽-+=Aez,所以M在6 3 2 6 2 3 18 3 9区间［罕-5T+?(AeZ)上单调递增，B正确;当xe［0,2］吋，［-芸，芋］，所以f(x)在区间［0,上的最小值为rty)=-y,C错误;将gU)=sin2/的图象向右平移吾个单位长度可得到尸sin(2a^)=A^)的图象,D正确.解法二由题可知，rt^)=-/-(0)4设 则当(0,$时，ze作出尸sinf及>4的阁象，如图D4-3-5所示，则要使/U)在(0,上有且仅有三个极值点，则^-^=2n+$，^6,所以ra)=sin(6^).以下同解法一.6667Vy=sin«/、― 尸+—S-0图D4-3-5②③由fix)=cos(2x+小)，得f'U)=-2sin(2a+(i>),则F(x)=/U)+y/'zU)=cos(2a*+</*)-A^sin(2x^必)=-2sin(2#0-^).因为FCr)为奇函数，所以 (AeZ),所以 因为必|〈$所以6 q 2 6对于①，由以上可得tan小今故①错误;对于②，令/’Cy)=cos(2a^)=0,得+H(AGZ),则x=^+3 6 0 4 L7(A^Z)，即函数Ax)的零点为+^(A£Z)，且该函数零点的绝对值的最小值为g，所以a的最小值为$故6 2o 6 6②正确;对于③，FU)=-2sin2x,当A-ef)吋,2戌(^,f)，此吋函数尸(x)单调递增，故③正确;对于④，函数f(x)=cos(2x^)，令2^=2kn(AeZ)，得a=Ak-21(AeZ),所以函数/U)在(0,=)上无极大值点，故④错66122误.因为/(x)=2sinx^sin2%，所以/'(^)=2cos#2cos2a=4cos2x^2cos广2=4(cosx~^)・(cosa+1).由fZU)>0得^〈cosKI,即2An-^<X2An+2,AGZ,由尸'(必<0得-l<cos即2An-^<K2A-n-pAEZ，所以当x=2k^号k^L时，/U)取得最小值，且f(x)nin=f(2kn-H)=2sin(2kjt-^)+sin2(20j)=-手.(1)/.f(x)=a•Z?-2x/3sin2(A^^)+\/3=cos^sin2^sin^cos2A^2V3sin2+\/3=2sin(2a^^),•:/(/)的值域为［-2,2］,令2a-==A-jt，AGZ,则+AEZ.则f(x)图象的对称中心为+$0〉，k^Z,故/U)的值域为［-2,2］，f(x)图象的对称中心为+=0),AGZ.(2)根据题意得A2x)=2sin(4^),令^=4a-j,当［0,吋，［-py］.由题意可知，札及是方程f(2^)-a=0的两个不同的解，则PU-ft2=4x2-^由尸2sin(在［-^^］上的图象知t.+^2=n，即4泊-^+4沿-^=n，故ati+^=^,则sin(xi+x^)=sin^=sin(^+^)^由A2^)+A-x)=0,可知函数/Xx)的图象关于点U，0)对称.由题图可知，氽2,A0)=2sin0=1，得sin因为|0|$所以0$所以ra)=2sin(6>^),又/^)的图象过点(^,0),所以由五点作图法知n，解得6>=2,所以/U)=2sin(2^).令2^kn，AeZ,得 AeZ,所以函数f(x)图象的lzo o o Z1Z对称中心为(y-^,0),Aez,所以 Aez,则当A=1时,a取得最小正值,为

［i|］易知l\x)图象关于(0,0)对称，则由函数/U)在上单调递增可得»7为/U)最小正周期)，即结合~>0,解得0< 因为直线尸-2与函数rtd的图象在［-2Ji，0］上有且仅有一个交点，40) 4 3所以•(1所以•(12n;X—<27T,O)2n-x——>2ir,U£0个最小正周期不大于2n,^个最小正周期大于2n)第四讲正、余弦定理及解三角形0夯基础•考点练透BA选项，因为/!>汉所以a>b,由正弦定理得1彡sinAsin於0,所以1彡sin2/l>sin2於0,-sin2水-sin2汉l-sin2J<l-sin2^cos2Xcos2/^BP|cosJ|<cos沒|，所以A选项正确.B选项，cosC-c2〉0=^为锐角，无法判断.4,i?两个角的大小，所以B选项错误.C选项，由正弦定理得sinA=2aosin汝osOsin6cos汉左边=sin(汧6)=右边，所以C选项正确.D选项，由于A：B\C=l'.\：4,所以A=B=30°，£>120°，由正弦定理得a:b：c=sinA：sinIi\sinC=l：l：75,所以D选项正确.故选B.2V2由题意得5ki«=|acsin 则^c=4,所以^+^=3^c=3X4=12,所以lj=^+(?-2accosJ?=12-2X4XM,则Zf2>/2.2V2解法一由sin/=2sin汝os6*及正弦定理得，=:in二_cosC因为^=2,Zf3,所以cosC=^-=2b2sin0 2b3所以sinOVl-cos2C= ，故A/f及7的面积SmithsinC=2yf2.解法二因为 Ji,所以sinJ=sin(/^-C),故sinA=sin汝os6^cos/fcin6^2sinZfcos6;化简得sin(^-6)=0,由B,6■为三角形的内角，得B=C、所以>c=3.设從'边上的高为h、又沪2,所以h=Jb2-(^)2=V9t1=2V2,故的面积S=^a/J=2y［2.解法三同解法二求出b=c=3f又a=2,所以由海伦公式得，优’的面积•9=7p(p-a)(p_b)(pc)=2x/5(,/j~a+^+c=4).—因为 所以geos/f=2a+Zr-V3c?sinC.3 C0S4由正弦定理得sin6cos加2sin>4+sin^-V3sinJsin6；因为A^B^On,所以sin供sinU+6)=sinJcosC+

cosJsinC,所以2sind+sinAcos6^V3sinJsin6^0.因为sinA^O,所以V3sin^cosC=2,即sin(i?--)=l,6又0<6Kn,所以故广卜三，得吟.ODO oZ o4由己知及正弦定理，得V3sin6cosJ+sin/Isin0=0,因为(0,n)，sin6^0,所以V3cos/1+sinA=0,即tanA=~>/3,又Je(0,n)，所以A=^.如图D4-4-1,图D4-4-1易S^ach,所以•sing=全X1Xcsin吾+全XlX/jsin吾，所以bc=b+c,EPj图D4-4-1易S^ach,所以•sing=全X1Xcsin吾+全XlX/jsin吾，所以bc=b+c,EPj+^=1,所以^c=(^c)・(i+i)=2^+^2+2J^l=4,当且仅当F/F2时，等号成立，所以的最小值为4.6.(1)由4S=c=2cibcos67及5=|a/jsinC,得2absinC=2abcosC,易知cos6^0,/.tanC=l.V0<6<n,A6^.(2)解法一在斜优*中，由c2=2a/»cos(7及正弦定理，得sinz6>2sinAsin汝osC,VsinJ关0,sin^0,sinC^Q,:..sin/lsin62cosCsinC•:A+B=n-C,•••sin^=sinC4^=sinAcos供cosAsinB、•2cosC sin4cosB+cos4sinBsinC sin/lsinS—=丄+—.tanCtan/ltanfl解法二^+ ^ =cosA +cosB= singcos^cosgsin/l =sinU^g) =taiM tanssin«4sinB sinAsinB sinXsinBsin<4sinBsin«4sin6欲证— 艮p证.：ctanAtanBtanC sinAsxnB即证2cosC~.sin2.C，即证2coss\nAs\nBVc=2abcosC,.*.2cos6^^，得证.⑴在中，由正弦定理得PB-BC，(^=10C、=50(W+V2)(m).sinysin(^-y) sin(/?-y) sm(45-30)⑵由⑴得»50(V6+^)m,

ABsinl05c在△//份中，VZJ/^18O'-a-冷=105o，Z州炉a=30°,ABsinl05c.•勝Pfi.S:了。_0(2+v^)(m)，sin30•••DB=Af}-AD-BI^\^(2+V3)-100-33々240(m).@提能力•考法实战A•.•在△A0C中，AC=3t及>10,ABAOAB.如图D4-4-2,过点A作交优’于点D，使得Z側Z^Z汉则ADAOABAC-AB,/.cosZZZ4^cos(Z^^Zi®=|j.设JZ^^H0<X10),则Z^lO-义在/VH中，由余弦定理妃二A/hA&2AD.AC-cqs^DAC,得(10i)2=/+64-2xX8xA解得x=8,:.A⑽，DO2.图D4-4-2解法一在AJZr中，cosZcC。：2=Hfi.\sinZ^Vl-cos2zC= 故△/!优■的面积ZAC•DC ZX8XZo oS^AC*BC.sinZ^XBX10X^15V7,故选A.解法二过点A作AEVDC于点£；如图D4-4-2,则AE=ylAC2~EC2=?>^7,:.5k,3>/7X10=1577.C解法一如图D4-4-3所示，连接a；并延长，交/1沒于点汉因为6’是△/!优’的重心，所以点汐为必的中点.又仏丄及;，所以f所以CG=2DG=ct所以CD^.在ZUZT中，由余弦定理得cosZ^df2=在Al中，由余弦定理得cosZ皿d:c2= 因为AADC^BDC=n，所以3C^ 2DB•DC 3C^cosZ/ZC-cosZ做6;则有H5c2,所以乙ACB为锐角.因为△ABC'h钝角三角形，设/側<7为钝角，则AABC为锐角，所以/^2+c2<Za2+c2>Z/，a>b,所以<a2>h<a2>h解得的•因为鐵所以十在△職由余弦定理得—W2ab«2+^a2+&2=^+兰).5ba令氏(0,，/(，易知/⑺在(0, 上单调递减，所以At)>|x(^+ 4,即cosZACB>^,又a2+b2 5~2ab~ZJ仍为锐角，所以f<cosZ/16狄1，故选C.解法二因力AGVBG,所以以6为原点，GB，GA所在的直线分别力a•轴,y轴建立平面良角坐标系，令從'交.y轴于点双J6*交x轴于点A；如图D4-4-4所示，令优■交/轴于点M,•交轴于点A;因为（7为△/沉’的重心，则易得M,?V分别为BC，M的中点.设/1（0,2yo），别2爲0），MO,-yo），M_沿，0）•由中点坐标可得6X-2办，-2内）.由己？•CB=（2x0>4^））•（4机2内）=8xg+8%〉0可知，<7为锐角，故/!或沒力钝角.假设方为钝角，则瓦5.BC<0,即（-2泊，2/0）.（-仏-2仰）=8xg-4W<0,所以0〈鋒<\CA•CBcosCA•CBcosO -CACB(2x0,4y0)•(4x0,2y0)(2x0)2+(4y0)2.J(4x0)2+(2y0)2=2/小yl4x^+4yS+17x^卜 9郝4x$+4y^+17x§yj令^，则re（0,丢），cos因为t+7^弓,+OQ）,（尸巧在（oj）上单调递减）所以COS6'G(^,1).10.今在AA恍■中，由余弦定理得Md^hAe-2・/»/・AC*cosZ.^6；所以22=(4-J6)W-2•(4-J6)•AC*cosp解得AC=2,所以AOAlKifC,所以從'是等边三角形.5k«=4VS,易知^w=^X22=V3,所以^..^373,故•/W・BM.sinZA^3V3,由乙勝气，可得側A6,在△/I做中，.MbRif.cosZAfc炉4+36-2X2X6X(-|)=52,所以妙2>/53.设及7外接圆的半径为R、由正弦定理得，2^-^= =所以/^，所以优’外接圆的半径为11.84+6n以/I为原点，AD,/!/•’所在直线分别为x轴，/轴建立平面直角坐标系，则直线仰的方程为4#3尸0,直线6汐的方程为3a-4广105=0,直线汾’的方程为尸12.设圆心0的坐标为(a,«，圆a的半径为r,则i^b3a_4d_105二12-/?，(可纣合线性规划判断4沪36与3a-4ZH05的正负〉解得列5,吨-12*易得圳士9,I餘^=16,因为t汕所以可得從'段圆弧所对的圆心角为号，故周长为9+16+12X2+35+y=84+6n.12.(1)由题易＜=在△做中，由正弦定理得;^=;,则即BD-b=3c,又f}=ac,所以仰•b=l)y又於0,所以BD=b.(2)解法一由题意可知AD^b,DG^b.在ZU肋与ZU及7中，cosZ^P=cosZ^C所以3 3 2c①.将汐=ac代入①式可得6aJ-llac+3c=0,即(3crc)(2a-3c)=0,所以c=^a或c=3a.iiz2D. 7.Drc2+a2-ac漢a2+a2-|a2 7当时,cosZ^^^=当67=3^时，CQs^ABC-c2+a2~ac=9fl2+qV3a2=Z〉1(舍).2ac 6a2 6综上，cosZABC=^.解法二由题意可得，而=|X?，所以BD=JA+AD=BA+jAC=~BA+^(BC-BA)=^BA+^BC,则BD2=-a-^-e+^accosB①，9 9 9由余弦定理得Z/=a2+?-2淤cosB②，联立①②得ll//=3c?+6a2，因为lf=cic,所以3?-1Uch-6c?M,所以c=3a或以下同解法一.(1) n，Acos(A+&=~cosC.•••5+4cos(