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文档简介
奥数时钟问题一钟面追及时间:2008-11-3018:33:57点击:2502基本思路:封闭曲线上的追及问题。关键问题:①确定分针与时针的初始位置;②确定分针与时针的路程差;基本方法:①分格方法:时钟的钟面圆周被均匀分成0小格,每小格我们称为1分格。分针每小时起0分格,即一周;而时针只走5分格,故分针每分钟走1分格,时针每分钟走1/12分格。②度数方法:从角度观点看,钟面圆周一周是360°,分针每分钟转360/60度,即6°,时针每分钟转360/(12*60)度,即1/2度。解法,时钟,算法,公式四、时钟问题解法与算法公式解题关键:时钟问题属于行程问题中的追及问题。钟面上按“时〃分为12大格,按“分〃分为60小格。每小时,时针走1大格合5小格,分针走12大格合60小格,时针的转速是分针的,两针速度差是分针的速度的,分针每小时可追及。1、二点到三点钟之间,分针与时针什么时候重合?分析:两点钟的时候,分针指向12,时针指向2,分针在时针后5x2=10(小格)。而分针每分钟可追及1—=(小格),要两针重合,分针必须追上10小格,这样所需要时间应为(10+)分钟。解: (5x2)+(1—)=10+=10(分)答:2点10分时,两针重合。2、在4点钟至5点钟之间,分针和时针在什么时候在同一条直线上?分析:分针与时针成一条直线时,两针之间相差30小格。在4点钟的时候,分针指向12,时针指向4,分针在时针后5x4=20(小格)。因分针比时针速度快,要成直线,分针必须追上时针(20小格)并超过时针(30小格)后,才能成一条直线。因此,需追及20+30)小格。解: (5x4+30)+(1—)=50+=54(分)答:在4点54分时,分针和时针在同一条直线上。3、在一点到二点之间,分针什么时候与时针构成直角?分析:分针与时针成直角,相差15小格(或在前或在后),一点时分针在时针后5x1=5小格,在成直角,分针必须追及并超过时针,才能构成直角。所以分针需追及(5x1+15)小格或追及(5x1+45)小格。解: (5x1+15)+(1—)=20+=21(分)或(5x1+45)+(1—)=50+=54(分)答:在1点21分和1点54分时,两针都成直角。4、星期天,小明在室内阳光下看书,看书之前,小明看了一眼挂钟,发现时针与分针正好处在一条直线上。看完书之后,巧得很,时针与分针又恰好在同一条直线上。看书期间,小明听到挂钟一共敲过三下。(每整点,是几点敲几下;半点敲一下)请你算一算小明从几点开始看书?看到几点结束的?分析:连半点敲声在内,一共敲了三下,说明小明看书的时间是在中午12点以后。12点以后时针与分针:第一次成一条直线时刻是:(0+30)+(1—)=30-=32(分)即12点32分。第二次成一条直线时刻是:(5x1+30)+(1—)=35+=38(分)即1点38分。第三次成一条直线的时刻是:(5x2+30)+(1—)=40-=43(分)即2点43分。如果从12点32分开始,到1点38分,只敲2下,到2点43分,就共敲5下(不合题意)如果从1点38分开始到2点43分,共敲3下。因此,小明应从1点38分开始看书,到2点43分时结束的。5、一只挂钟,每小时慢5分钟,标准时间中午12点时,把钟与标准时间对准。现在是标准时间下午5点30分,问,再经过多长时间,该挂钟才能走到5点30分?分析:1、这钟每小时慢5分钟,也就是当标准钟走60分时,这挂钟只能走60—5=55(分),即速度是标准钟速度的=2、因每小时慢5分,标准钟从中午12点走到下午5点30分时,此挂钟共慢了5x(17—12)=27(分),也就是此挂钟要差27分才到5点30分。3、此挂钟走到5点30分,按标准时间还要走27分,因它的速度是标准时钟速度的,实际走完这27分所要时间应是27人解:5x(17—12)=27(分)27+=30(分)
答:再经过30分钟,该挂钟才能走到5点30分。一个钟表一圈有60个小格,这里计算就以小格为单位。1分钟时间,分针走1个小格,时针指走了1/60*5=1/12个小格,所以每分钟分针比时针多走11/12个小格,以此作为后续计算的基础,对于解决类似经过多长时间时针、分针垂直或成直线的问题非常方便、快捷。例1:从5时整开始,经过多长时间后,时针与分针第一次成了直线?5时整时,分针指向正上方,时针指向右下方,此时两者之间间隔为25个小格(表面上每个数字之间为5个小格),如果要成直线,则分针要超过时针30个小格,所以在此时间段内,分针一共比时针多走了55个小格。由每分钟分针比时针都走11/12个小格可知,此段时间为55/(11/12)=60分钟,也就是经过60分钟时针与分针第一次成了直线。例2:从6时整开始,经过多少分钟后,时针与分针第一次重合?6时整时,分针指向正上方,时针指向正下方,两者之间间隔为30个小格。如果要第一次重合,也就是两者之间间隔变为0,那么分针要比时针多走30个小格,此段时间为30/(11/12)=360/11分钟。
例3:在8时多少分,时针与分针垂直?8时整时,分针指向正上方,时针指向左下方,两者之间间隔为40个小格。如果要两者垂直,有两种情况,一个是第一次垂直,此时两者间隔为15个小格(分针落后时针),也就是分针比时针多走了25个小格,此段时间为25/(11/12)=300/11分钟;另一次是第二次垂直,此时两者间隔仍为15个小格(但分针超过时针),也就是分针比时针多走了55个小格,此段时间为55/(11/12)=60分钟,时间变为9时,超过了题意的8时多少分要求,所以在8时300/11分时,分针与时针垂直。由上面三个例题可以看出,求解此类问题(经过多少时间,分针与时间成多少夹角)时,采用上述方法是非常方便、简单、快捷的,解题过程形象易懂,结果正确率高,是一种非常好的方法。解决此类问题的一个关键点就是抓住分针比时针多走了多少个小格,而不论两者分别走了多少个小格。下面再通过几个例题来介绍这种方法的用法和要点。例4:从9点整开始,经过多少分,在几点钟,时针与分针第一次成直线?9时整时,分针指向正上方,时针指向正右方,两者之间间隔为45个小格。如果要第一次成直线,也就是两者之
间间隔变为30个小格,那么分针要比时针多走15个小格,此段时间为15/(11/12)=180/11分钟。例5:一个指在九点钟的时钟,分针追上时针需要多少分钟?9时整时,分针指向正上方,时针指向正右方,两者之间间隔为45个小格。如果要分针追上时针,也就是两者之间间隔变为0个小格,那么分针要比时针多走45个小格,此段时间为45/(11/12)=540/11分钟。例6:时钟的分针和时针现在恰好重合,那么经过多少分钟可以成一条直线?时针和分针重合,也就是两者间隔为0个小格,如果要成一条直线,也就是两者间隔变为30个小格,那么分针要比时针多走30个小格,此段时间为30/(11/12)=360/11分钟。【针对性练习】.十点与11点之间,两针在什么时刻成直线(不包括重合情况)?()A.10时21分B,10时22分C,10时21 D,10时21分2现在是下午3点,从现在起时针和分针什么时候第一次重合?3。分针和时针每隔多少时间重合一次?一个钟面上分针和时针一昼夜重合几次?4。钟面上5点零8分时,时针与分针的夹角是多少度?5。在4点与5点之间,时针与分针什么时候成直角?
6.9点过多少分时,时针和分针离、'9〃的距离相等,并且在、'9〃的两边?【参考答案详解】答案A满足.分针:6度/分时针0.5度/分,十点时,两针夹角为60度,设需要时间为x分,则如图有60-0.5x=180-6x,x=分,即10时分两针成直线。答案A满足。现在是下午3点,从现在起时针和分针什么时候第一次重合?解析:分针:6度/分 时针0.5度/分3点整,时针在分针前面15格,所以第一次重合时,分针应该比时针多走15格,即90度,用追及问题的处理方法解:90/(6-0.5)度/分=16分钟,所以下午3点16分钟,时针和分针第一次重合。分针和时针每隔多少时间重合一次?一个钟面上分针和时针一昼夜重合几次?解析:分针:6度/分 时针0.5度/分当两针第一次重合到第二次重合,分针比时针多转360度。所以两针再次重合需要的时间为:360/(6-0.5)=720/11分,一昼夜有:24x60=1440分,所以两针在一昼夜重合的次数:1440分/(720/11)分/次=22次钟面上5点零8分时,时针与分针的夹角是多少度?解析:分针:6度/分 时针0.5度/分5点零8分,时针成角:5x30+8x0,5=154度,分针成角:8x6=48度,所以夹角是154-48=106度。在4点与5点之间,时针与分针什么时候成直角?解析:整4点时,分针指向12,时针指向4。此时,时针领先分针20格。时,分两针成直角,必须使时针领先分针15格,
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