求曲线的方程-完整版课件

复习1.什么是曲线的方程和方程的曲线.答:一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程F(x，y)=0的实数解建立了如下的关系：（1）曲线C上的点的坐标都是方程F(x，y)=0的解,（2）以方程F(x，y)=0的解为坐标的点都是曲线C上的点，那么方程F(x，y)=0叫做曲线C的方程；

曲线C叫做方程F(x，y)=0

的曲线（图形）。

我们已建立了曲线的方程、方程的曲线的概念。利用这两个概念，就可以借助于坐标系，用坐标表示点，把曲线看成是满足某种条件的点的轨迹或集合，用曲线上点的坐标(x,y)所满足的方程F(x,y)=0表示曲线。在数学中，建立曲线方程，然后用方程研究曲线的方法，叫做解析法（或坐标法）。解析几何的两大基本问题——（1）据已知条件，求表示平面曲线的方程。（由曲线求方程）（2）通过方程，研究平面曲线的性质。（由方程来研究曲线）复习2．坐标法和解析几何的本质、基本问题．解析几何的本质——坐标法——对于一个几何问题，在建立直角坐标系的基础上，用坐标表示点，用方程表示曲线，通过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质，这一研究几何问题的方法称为坐标法用代数的方法来研究几何问题。如果某条曲线C是由动点M运动产生的，我们就称曲线C是点M的轨迹，曲线C的方程称为M的轨迹方程。注意：“轨迹”、“方程”要区分：[知识链接](2)若是求轨迹，求得方程还不够，还应指出方程所表示的曲线类型（定形、定位、定量）。(1)求轨迹方程，求得方程就可以了；轨迹和轨迹方程：0xyABC曲线的方程解:设M(x,y)是线段AB的垂直平分线上任意一点,也就是点M属于集合由两点间的距离公式，点M所适合条件可表示为：将上式两边平方，整理得：

x+2y－7=0③例1：如果A,B两点的坐标是(-1,-1)，(3,7)，动点P到A,B的距离相等.你知道动点P的轨迹是什么吗？如何证明你的结论？思考：如果给出A,B两点的坐标是(-1,-1)，(3,7)，动点P到A,B的距离相等.你知道动点P的轨迹是什么吗？如何证明你的结论？x+2y－7=0③（1）由求方程的过程可知，垂直平分线上每一点的坐标都是方程③解；我们证明方程③是线段AB的垂直平分线的方程.（2）设点的坐标是方程③的解，即:点M1到A、B的距离分别是问题：如果给出A,B两点的坐标是(-1,-1)，(3,7)，动点P到A,B的距离相等.你知道动点P的轨迹是什么吗？如何证明你的结论？点M1到A、B的距离分别是即点M1在线段AB的垂直平分线上.由(1)、(2)可知方程③是线段AB的垂直平分线的方程.变式1：已知等腰三角形底边的两个端点是Ａ(-1,-1)

、Ｂ(3,7)，求第三个顶点C的轨迹方程．ABC0xyx+2y－7=0，且不过点（1,3）注：求得的轨迹方程要与动点的轨迹一一对应,否则要“多退少补”,多余的点要剔除(用x,y的取值范围来限制),不足的点要补充..在△ABC中，B，C坐标分别为（-3，0），（3，0），且三角形周长为16，则点A的轨迹方程是________________.【例2】已知一条直线l和它上方的一个点F，点F到l的距离是2.一条曲线也在l的上方，它上面的每一点到F的距离减去到l的距离的差都是2,建立适当的坐标系，求这条曲线的方程.分析：在建立坐标系时，一般应当充分利用已知条件中的定点、定直线等，这样可以使问题中的几何特征得到更好的表示，从而使曲线方程的形式简单一些.解：如图，取直线l为x轴,过点F且垂直于直线l的直线为y轴,建立坐标系xOy.设点M(x,y)是曲线上任意一点，作MB⊥x轴，垂足为B，那么点M属于集合

由两点间的距离公式，点M适合的条件可表示为①xyOMBFP=｛M|｜MF｜－｜MB｜=2｝.

将①式移项后两边平方，得化简得

因为曲线在x轴的上方，所以y>0.虽然原点O的坐标（0,0）是这个方程的解，但不属于已知曲线，所以曲线的方程应是

通过上述两个例题了解坐标法的解题方法，明确建立适当的坐标系是求解曲线方程的基础；同时，根据曲线上的点应适合的条件列出等式，是求曲线方程的重要环节，严格按步骤解题是基本能力.

5.如果曲线（或轨迹）有对称中心，通常以对称中心为原点.7.尽可能使曲线上的关键点在坐标轴上.6.如果曲线（或轨迹）有对称轴，通常以对称轴为坐标轴.建立坐标系的要点：2.以已知定直线为坐标轴(x轴或y轴);3.以已知线段所在直线为坐标轴(x轴或y轴)，以已知线段的中点为原点;4.以已知互相垂直的两定直线为坐标轴;8.让尽量多的点在坐标轴上.1.以已知定点为原点;

动点具有的几何条件比较明显时，由题设所给(或通过分析图形的几何性质而得出)的动点所满足的几何条件列出等式，再用坐标代替这等式，化简得曲线的方程，这种方法叫直接法．适用范围:任何情况1.建系：建立适当的直角坐标系(如果已给出，本步骤省略);２.设点：设曲线上任意一点的坐标(x,y);３.列式：根据曲线上点所适合的条件,写出等式;4.化简：用坐标x、y表示这个等式,并化方程为最简形式;５.证明：验证化简后的方程的解为坐标的点都是曲上的点.（一般变为确定点的范围即可）直接法求曲线方程的一般步骤：练习:如图,圆O1和圆O2的半径都等于1,O1O2=4,过动点P分别作圆O1,圆O2的切线PM､PN(M,N分别为切点),使得，建立平面直角坐标系,并求动点P的轨迹方程.解:以O1O2的中点O为坐标原点,O1O2所在直线为x轴,建立直角坐标系如图所示,则O1(-2,0),O2(2,0).由已知得PM2=2PN2,因为圆的半径为1,所以:PO21-1=2(PO22-1),设P(x,y),则(x+2)2+y2-1=2[(x-2)2+y2-1],即(x-6)2+y2=33.故所求动点P的轨迹方程为(x-6)2+y2=33.例2.已知定点A(6,0),曲线C:x2+y2=4上的动点B,点M满足,求点M的轨迹方程.xyA(6,0)OBM特征:所求(从)动点随已知曲线上的(主)动点的变化而变化方法:用从动点的坐标(x,y)表示主动点的坐标(x0,y0),然后代入已知曲线方程，即的从动点轨迹方程.代入法(坐标转移法):规律技巧:在求轨迹方程时经常遇到已知一动点的轨迹方程,求另一动点的轨迹方程的问题,而解决这类问题的解法称为代入法(或相关点法).而此法的关键是如何来表示出相关的点.练习:点A(3,0)为圆x2+y2=1外一点,P为圆上任意一点,若AP的中点为M,当P在圆上运动时,求点M的轨迹方程.分析:利用中点坐标公式,把P点的坐标用M的坐标表示,利用代入法,代入圆的方程即可.解:解法1:设点M的坐标为(x,y).∵M为线段AB的中点,∴A的坐标为(2x,0),B的坐标为(0,2y).∵l1⊥l2,且l1、l2过点P(2,4),例4:过点P(2,4)作两条互相垂直的直线l1,l2,若l1交x轴于A点,l2交y轴于B点,求线段AB的中点M的轨迹方程.∴PA⊥PB,kPA·kPB=-1.整理得x+2y-5=0(x≠1).∵当x=1时,A､B的坐标分别为(2,0)､(0,4),∴线段AB的中点坐标是(1,2),它满足方程x+2y-5=0.综上所求,点M的轨迹方程是x+2y-5=0.规律技巧:在平面直角坐标系中,遇到垂直问题,常利用斜率之积等于-1解题,但需注意斜率是否存在,即往往需要讨论,如解法1.求轨迹方程有时利用平面几何知识更为方便快捷.解法2:∵l1⊥l2,OA⊥OB,∴O,A,P,B四点共圆,且该圆的圆心为M.∴|MP|=|MO|.∴点M的轨迹为线段OP的中垂线.

的中点坐标为(1,2),∴点M的轨迹方程是即x+2y-5=0.在求曲线方程的过程中，根据题中所给几何特征，利用平面几何知识将其转化为相应的数量关系得出方程，这种方法叫做几何法。练习:平面α的斜线AB交α于点B,过定点A的动直线l与AB垂直,且交α于点C,则动点C的轨迹是()A.一条直线B.一个圆C.一个椭圆D.双曲线的一支