排队论及其模型

关于排队论及其模型1第1页，共171页，2022年，5月20日，22点55分，星期四2排队论排队论(queuingtheory)也称随机服务系统理论(RandomServiceSystemTheory)，是为研究和解决具有拥挤现象的问题而发展起来的一门应用数学的分支。具体地说，它是在研究各种排队系统概率规律性的基础上，解决相应排队系统的最优设计和最优控制问题。第2页，共171页，2022年，5月20日，22点55分，星期四3排队论

排队论是1909年由丹麦工程师爱尔朗(A.K．Erlang)在研究电活系统时创立的，几十年来排队论的应用领域越来越广泛，理论也日渐完善。特别是自二十世纪60年代以来，由于计算机的飞速发展，更为排队论的应用开拓了宽阔的前景。第3页，共171页，2022年，5月20日，22点55分，星期四4排队论排队论(queuingtheory)

研究内容包括三个部分：

(1)排队系统的性态问题

(2)排队系统的最优化问题

(3)排队系统的统计推断问题性态问题，即研究各种排队系统的概率规律性，主要研究队长分布、等待时间分布和忙期分布等。最优化，又分静态最优和动态最优，前者指最优设计，后者指现有排队系统的最优运营。统计推断，即判断一个给定的排队系统符合哪种模型，以便根据排队理论进行研究。解排队问题的目的，是研究排队系统运行的效率，估计服务质量，确定系统参数的最优值，以决定系统结构是否合理，研究设计改进措施等。第4页，共171页，2022年，5月20日，22点55分，星期四5排队论

第1节基本概念第2节到达间隔的分布和服务时间的分布第3节单服务台负指数分布排队系统的分析第4节多服务台负指数分布排队系统的分析第5节一般服务时间M/G/1模型第6节经济分析——系统的最优化第7节分析排队系统的随机模拟法第5页，共171页，2022年，5月20日，22点55分，星期四6第1节基本概念1.1排队过程的一般表示1.2排队系统的组织和特征1.3排队模型的分类1.4排队问题的求解第6页，共171页，2022年，5月20日，22点55分，星期四7

不同的顾客与服务组成了各式各样的服务系统。顾客为了得到某种服务而到达系统、若不能立即获得服务而又允许排队等待，则加入队列排队等待接受服务，然后服务台按一定规则从队列中选择顾客进行服务，获得服务的顾客立即离开系统。1.1排队过程的一般表示第7页，共171页，2022年，5月20日，22点55分，星期四81.1排队过程的一般表示各个顾客由顾客源(总体)出发，到达服务机构(服务台、服务员)前排队等候接受服务，服务完成后离开。排队结构指队列的数目和排列方式，排队规则和服务规则是说明顾客在排队系统中按怎样的规则、次序接受服务的。排队过程的一般模型第8页，共171页，2022年，5月20日，22点55分，星期四91.1排队过程的一般表示到达的顾客要求服务内容服务机构1.不能运转的机器2.修理技工3.病人4.电话呼唤5.文件稿6.提货单7.到达机场上空的飞机8.驶入港口的货船9.上游河水进入水库10.进入我方阵地的敌机修理领取修配零件诊断或动手术通话打字提取存货降落装(卸)货装(卸)放水，调整水位我方高射炮进行射击修理技工发放修配零件的管理员医生(或包括手术台)交换台打字员仓库管理员跑道货码头(泊位)水闸管理员我方高射炮形形色色的排队系统第9页，共171页，2022年，5月20日，22点55分，星期四10

实际的排队系统虽然千差万别，但是它们有以下的共同特征：

(1)有请求服务的人或物——顾客；

(2)有为顾客服务的人或物，即服务员或服务台；

(3)顾客到达系统的时刻是随机的，为每一位顾客提供服务的时间是随机的，因而整个排队系统的状态也是随机的。排队系统的这种随机性造成某个阶段顾客排队较长，而另外一些时候服务员(台)又空闲无事。1.2排队系统的组成和特征第10页，共171页，2022年，5月20日，22点55分，星期四111.2排队系统的组成和特征排队系统由三个基本部分组成：①输入过程②排队规则③服务机构第11页，共171页，2022年，5月20日，22点55分，星期四121.2排队系统的组成和特征输入过程输入即指顾客到达排队系统。输入过程是指要求服务的顾客是按怎样的规律到达排队系统的过程，有时也把它称为顾客流。一般可以从以下几个方面来描述—个输入过程(1)顾客的总体数，又称顾客源、输入源。这是指顾客的来源。顾客源可以是有限的，也可以是无限的。例如，到售票处购票的顾客总数可以认为是无限的，而某个工厂因故障待修的机床则是有限的。第12页，共171页，2022年，5月20日，22点55分，星期四131.2排队系统的组成和特征输入过程(2)顾客到来的方式。这是描述顾客是怎样来到系统的，他们是单个到达，还是成批到达。病人到医院看病是顾客单个到达的例子。在库存问题中如将生产器材进货或产品入库看作是顾客，那么这种顾客则是成批到达的。第13页，共171页，2022年，5月20日，22点55分，星期四141.2排队系统的组成和特征输入过程(3)顾客流的概率分布，或称相继顾客到达的时间间隔的分布。这是求解排队系统有关运行指标问题时，首先需要确定的指标。这也可以理解为在一定的时间间隔内到达K个顾客(K=1、2、)的概率是多大。顾客相继到达的间隔时间可以是确定型的，也可以是随机型的。顾客流的概率分布一般有定长分布、二项分布、泊松流(最简单流)、爱尔朗分布等若干种。第14页，共171页，2022年，5月20日，22点55分，星期四151.2排队系统的组成和特征输入过程(4)顾客的到达可以是相互独立的。(5)输入过程可以是平稳的，或称对时间是齐次的，即描述相继到达的间隔时间分布和所含参数(如期望值、方差等)都是与时间无关的。第15页，共171页，2022年，5月20日，22点55分，星期四161.2排队系统的组成和特征排队规则

这是指服务台从队列中选取顾客进行服务的顺序。一般可以分为损失制、等待制和混合制等3大类。(1)损失制。这是指如果顾客到达排队系统时，所有服务台都已被先来的顾客占用，那么他们就自动离开系统永不再来。典型例子是，如电话拔号后出现忙音，顾客不愿等待而自动挂断电话，如要再打，就需重新拔号，这种服务规则即为损失制。

第16页，共171页，2022年，5月20日，22点55分，星期四171.2排队系统的组成和特征排队规则

(2)等待制。这是指当顾客来到系统时，所有服务台都不空，顾客加入排队行列等待服务。例如，排队等待售票，故障设备等待维修等。

对于等待制，为顾客进行服务的次序可以采用下列各种规则：先到先服务(FCFS)后到先服务(LCFS)随机服务(RS)有优先权的服务第17页，共171页，2022年，5月20日，22点55分，星期四181.2排队系统的组成和特征排队规则

(2)等待制。

对于等待制，为顾客进行服务的次序可以采用下列各种规则：①先到先服务。按顾客到达的先后顺序对顾客进行服务，这是最普遍的情形。②后到先服务。仓库中迭放的钢材，后迭放上去的都先被领走，就属于这种情况。③随机服务。即当服务台空闲时，不按照排队序列而随意指定某个顾客去接受服务，如电话交换台接通呼叫电话就是一例。④优先权服务。如老人、儿童先进车站；危重病员先就诊；遇到重要数据需要处理计算机立即中断其他数据的处理等，均属于此种服务规则。第18页，共171页，2022年，5月20日，22点55分，星期四191.2排队系统的组成和特征排队规则

(3)混合制．这是等待制与损失制相结合的一种服务规则，一般是指允许排队，但又不允许队列无限长下去。具体说来，大致有三种：①队长有限。当排队等待服务的顾客人数超过规定数量时，后来的顾客就自动离去，另求服务，即系统的等待空间是有限的。例如最多只能容纳K个顾客在系统中，当新顾客到达时，若系统中的顾客数(又称为队长)小于K，则可进入系统排队或接受服务；否则，便离开系统，并不再回来。如水库的库容是有限的，旅馆的床位是有限的。第19页，共171页，2022年，5月20日，22点55分，星期四201.2排队系统的组成和特征排队规则

(3)混合制①队长有限。②等待时间有限。即顾客在系统中的等待时间不超过某一给定的长度T，当等待时间超过T时，顾客将自动离去，并不再回来。如易损坏的电子元器件的库存问题，超过一定存储时间的元器件被自动认为失效。又如顾客到饭馆就餐，等了一定时间后不愿再等而自动离去另找饭店用餐。第20页，共171页，2022年，5月20日，22点55分，星期四211.2排队系统的组成和特征排队规则

(3)混合制①队长有限。②等待时间有限。③逗留时间(等待时间与服务时间之和)有限。例如用高射炮射击敌机，当敌机飞越高射炮射击有效区域的时间为t时，若在这个时间内未被击落，也就不可能再被击落了。

不难注意到，损失制和等待制可看成是混合制的特殊情形，如记s为系统中服务台的个数，则当K=s时，混合制即成为损失制；当K=∞时，混合制即成为等待制。第21页，共171页，2022年，5月20日，22点55分，星期四221.2排队系统的组成和特征排队规则（续）从允许排队的空间看队列可以排在具体的处所，也可以是抽象的。排队空间可以有限，也可以无限。从排队的队列数目看，可以是单列，也可以是多列。在多列的情形，各列间的顾客有的可以互相转移，有的不能。有的排队顾客因等候时间过长而中途退出，有的不能退出，必须坚持到被服务为止。第22页，共171页，2022年，5月20日，22点55分，星期四231.2排队系统的组成和特征服务机构

(服务台情况)服务台可以从以下3方面来描述：(1)服务台数量及构成形式。服务机构可以没有服务员，也可以有一个或多个服务员(服务台、通道、窗口等)。从数量上说，服务台有单服务台和多服务台之分。在有多个服务台的情形中，可以是平行排列的，也可以是前后排列的，或混合排列的。第23页，共171页，2022年，5月20日，22点55分，星期四241.2排队系统的组成和特征服务机构

(服务台情况)服务台可以从以下3方面来描述：(1)服务台数量及构成形式。从构成形式上看，服务台有：

①单队——单服务台式；如(a)图②单队——多服务台并联式；如(c)图③多队——多服务台并联式；如(b)图④单队——多服务台串联式；如(d)图⑤单队——多服务台并串联混合式；⑥多队——多服务台并串联混合式等等。服务台的各种排列方式第24页，共171页，2022年，5月20日，22点55分，星期四25单队列——S个服务台并联的排队系统S个队列——S个服务台的并联排队系统1.2排队系统的组成和特征第25页，共171页，2022年，5月20日，22点55分，星期四26单队——多个服务台的串联排队系统

多队——多服务台混联、网络系统1.2排队系统的组成和特征第26页，共171页，2022年，5月20日，22点55分，星期四271.2排队系统的组成和特征服务机构

(服务台情况)(2)服务方式。这是指在某一时刻接受服务的顾客数，它有单个服务和成批服务两种。如公共汽车一次就可装载一批乘客就属于成批服务。(3)服务时间的分布。服务时间可分为确定型和随机型。一般来说，在多数情况下，对每一个顾客的服务时间是一随机变量，其概率分布有定长分布、负指数分布、K级爱尔良分布、一般分布(所有顾客的服务时间都是独立同分布的)等等。服务时间的分布通常假定是平稳的。第27页，共171页，2022年，5月20日，22点55分，星期四281.3排队模型的分类排队模型分类方法——D.G.Kendall，1953构成排队模型的三个主要特征指标(1)相继顾客到达间隔时间的分布；(2)服务时间的分布；(3)服务台的个数。根据这三个特征对排队模型进行分类的Kendall记号：

X/Y/ZX：表示相继到达间隔时间的分布；Y：表示服务时间的分布；Z：并列的服务台的数目。第28页，共171页，2022年，5月20日，22点55分，星期四291.3排队模型的分类表示相继到达间隔时间和服务时间的各种分布符号M——负指数分布(M是Markov的字头，因为负指数分布具有无记忆性，即Markov性)D——确定型(deterministic)Ek——k阶爱尔朗(erlang)分布GI——一般相互独立(generalindependent)的时间间隔的分布G——一般(general)服务时间的分布第29页，共171页，2022年，5月20日，22点55分，星期四301.3排队模型的分类Kendall符号的扩充

X/Y/Z/A/B/C其中前三项的意义不变，后三项的意义分别是：A：系统容量限制N，或称等待空间容量。如系统有N个等待位子，则0<N

<∞。当N

=0时，说明系统不允许等待，即为损失制。N

=∞时为等待制系统，此时∞般省略不写。N为有限整数时，表示为混合制系统。B：顾客源数目m。分有限与无限两种，∞表示顾客源无限，此时一般∞也可省略不写。C：服务规则，如先到先服务(FCFS)，后到后服务(LCFS)，优先权服务(PR)等。第30页，共171页，2022年，5月20日，22点55分，星期四311.3排队模型的分类Kendall符号的扩充

X/Y/Z/A/B/C

某些情况下，排队问题仅用上述表达形式中的前3个、4个、5个符号。如不特别说明则均理解为系统等待空间容量无限；顾客源无限，先到先服务，单个服务的等待制系统。约定：如略去后三项，即指X/Y/Z/∞/∞/FCFS的情形。例如：某排队问题为M／M／S／∞／∞／FCFS／，则表示顾客到达间隔时间为负指数分布(泊松流)；服务时间为负指数分布；有s(s＞1)个服务台；系统等待空间容量无限(等待制)；顾客源无限，采用先到先服务规则。第31页，共171页，2022年，5月20日，22点55分，星期四321.4排队问题的求解首先需要确定属于哪种排队模型，其中顾客到达的间隔时间分布和服务时间的分布需要实测的数据来确定确定用以判断系统运行优劣的基本数量指标，求出这些数量指标的概率分布或特征数第32页，共171页，2022年，5月20日，22点55分，星期四331.4排队问题的求解用于描述排队系统运行状况的基本数量指标

(1)队长：系统中的顾客数，是排队等待的顾客数与正在接受服务的顾客数之和，期望值记作Ls；

排队长（队列长）：系统中排队等待服务的顾客数，期望值记作Lq；

队长和排队长一般都是随机变量。我们希望能确定它们的分布，或至少能确定它们的平均值(即平均队长和平均排队长)及有关的矩(如方差等)。队长的分布是顾客和服务员都关心的，特别是对系统设计人员来说，如果能知道队长的分布，就能确定队长超过某个数的概率，从而确定合理的等待空间。第33页，共171页，2022年，5月20日，22点55分，星期四341.4排队问题的求解用于描述排队系统运行状况的基本数量指标

(2)逗留时间：顾客在系统中的停留时间，从顾客到达时刻起到他接受服务完成止这段时间，期望值记作Ws；是随机变量，也是顾客最关心的指标之一。

等待时间：顾客在系统中排队等待的时间，从顾客到达时刻起到他开始接受服务止这段时间，期望值记作Wq，是随机变量，也是顾客最关心的指标，因为顾客通常希望等待时间越短越好。［逗留时间］＝［等待时间］＋［服务时间］

对这两个指标的研究当然是希望能确定它们的分布，或至少能知道顾客的平均等待时间和平均逗留时间。第34页，共171页，2022年，5月20日，22点55分，星期四351.4排队问题的求解用于描述排队系统运行状况的基本数量指标

(3)

忙期：指从顾客到达空闲服务机构起，到服务机构再次为空闲止的时间长度，即服务机构连续忙的时间。这是个随机变量，是服务员最为关心的指标，因为它关系到服务员的服务强度。闲期：即服务机构连续保持空闲的时间。在排队系统中，忙期和闲期总是交替出现的。其他一些指标，如在损失制或系统容量有限的情况下，由于顾客被拒绝，而使服务系统受到损失的顾客损失率及服务强度等第35页，共171页，2022年，5月20日，22点55分，星期四361.4排队问题的求解系统状态的概率分布系统的状态即指系统中的顾客数，它的可能取值是：(1)队长没有限制时，n=0，1，2，…(2)队长有限制、最大数为N时，n=0，1，2，…，N(3)即时制且服务台个数为c时，n=0，1，2，…，c系统处于这些状态的概率一般是随时间t变化的，所以在时刻t、系统状态为n的概率可以用Pn(t)表示。第36页，共171页，2022年，5月20日，22点55分，星期四371.4排队问题的求解求状态概率Pn(t)的方法：

建立含Pn(t)的关系式，该关系式一般是包含Pn(t)的微分差分方程(关于t的微分方程，关于n的差分方程)。该方程的解称为瞬态(或称过渡状态)(transientstate)解。它的极限称为稳态(steadystate)解，或称统计平衡状态(statisticalequilibriumstate)解。第37页，共171页，2022年，5月20日，22点55分，星期四381.4排队问题的求解稳态解的物理意义当系统运行了无限长时间后，初始(t=0)状态的概率分布(Pn(0)，n≥0)的影响将消失，系统状态的概率分布不再随时间而变化。在实际应用中，大多数系统会很快趋于稳态，而无需等到t→∞以后。求稳态概率Pn时，不需要求t→∞时Pn(t)的极限，而只需令导数P’n(t)=0即可。第38页，共171页，2022年，5月20日，22点55分，星期四391.4排队问题的求解

上面给出的这些数量指标一般都是和系统运行的时间有关的随机变量，求这些随机变量的瞬时分布一般是很困难的。为了分析上的简便，并注意到相当一部分排队系统在运行了一定时间后，都会趋于一个平衡状态(或称平稳状态)。在平衡状态下，队长的分布、等待时间的分布和忙期的分布都和系统所处的时刻无关，而且系统的初始状态的影响也会消失。因此，本章中将主要讨论与系统所处时刻无关的性质，即统计平衡性质。第39页，共171页，2022年，5月20日，22点55分，星期四40排队论

第1节基本概念第2节到达间隔的分布和服务时间的分布第3节单服务台负指数分布排队系统的分析第4节多服务台负指数分布排队系统的分析第5节一般服务时间M/G/1模型第6节经济分析——系统的最优化第7节分析排队系统的随机模拟法第40页，共171页，2022年，5月20日，22点55分，星期四412.1到达间隔的分布2.1.1经验分布（定长输入）2.1.2普阿松流（泊松流）2.1.3爱尔朗分布2.2服务时间的分布2.2.1经验分布（定长分布）2.2.2负指数分布2.2.3爱尔朗分布第2节到达间隔的分布和服务时间的分布第41页，共171页，2022年，5月20日，22点55分，星期四422.1.1经验分布例1

大连港大港区1979年载货500吨以上船舶到达(不包括定期到达的船舶)逐日记录见书上表12-2。将表12-2整理成船舶到达数的分布表。可以计算出：平均到达率=到达总数/总天数=1271/365=3.48(艘/天)船舶到达数n频数频率(%)0120.0331430.1182640.1753740.2034710.1955490.1346260.0717190.052840.011920.00510以上10.003合计3651.000第42页，共171页，2022年，5月20日，22点55分，星期四432.1.1经验分布以τi表示第i号顾客到达的时刻，以si表示对它的服务时间，这样可算出相继到达的间隔时间ti(ti=τi+1-τi)和排队等待时间wi，它们的关系如下：实际中测定相继到达时间间隔的方法相继到达时间间隔等待时间第43页，共171页，2022年，5月20日，22点55分，星期四442.1.1经验分布例2

某服务机构是单服务台，先到先服务，对41个顾客记录到达时刻τ和服务时间s(单位为分钟)如表12-4。在表中以第1号顾客到达时刻为0，对所有顾客的全部服务时间为127分钟。将原始记录整理成下表。到达间隔/分钟次数162103846536272819110以上1合计40服务时间/分钟次数1102103745546271819以上1合计41第44页，共171页，2022年，5月20日，22点55分，星期四452.1.1经验分布例2平均间隔时间=142/40=3.55(分钟/人)平均到达率=41/142=0.28(人/分钟)平均服务时间=127/41=3.12(分钟/人)平均服务率=41/127=0.32(人/分钟)第45页，共171页，2022年，5月20日，22点55分，星期四46普阿松流，又称为泊松流、Poisson过程、最简单流，是排队论中一种常用来描述顾客到达规律的特殊的随机过程。2.1.2普阿松流（泊松流）第46页，共171页，2022年，5月20日，22点55分，星期四472.1.2普阿松流（泊松流）设表示在时间区间内到达的顾客数令表示在时间区间内有个顾客到达的概率，即当满足下列三个条件时，我们说顾客的到达形成泊松流。(1)在不相重叠的时间区间内顾客到达数是相互独立的，即无后效性。通俗地说就是以前到达的顾客情况，对以后顾客的到来没有影响。否则就是关联的。(2)平稳性。又称作输入过程是平稳的，对充分小的，在时间区间内有1个顾客到达的概率与t无关，而与区间长度成正比，即

其中，当时，是关于的高阶无穷小。

进一步地，在长度为t的时段内恰好到达k个顾客的概率仅与时段长度有关，而与时段起点无关。即对任意∈(0,∞)，在(,+t]或(0,t)内恰好到达k个顾客的概率相等：(3)单个性又称普通性。对于充分小的，在时间区间内有2个或2个以上顾客到达的概率极小，以至于可以忽略，即

第47页，共171页，2022年，5月20日，22点55分，星期四48当顾客到达为泊松流时，研究顾客到达数n的概率分布。由条件(2)，总可以取时间由0算起，并简记由条件(2)和(3)，容易推得在区间内没有顾客到达的概率

将区间分成两个互不重叠的区间和。则到达总数n分别出现在这两个区间和上，有下列(A)(B)(C)三种情况：概率个数概率个数概率个数区间情况2.1.2普阿松流（泊松流）第48页，共171页，2022年，5月20日，22点55分，星期四492.1.2普阿松流（泊松流）在内到达n个顾客应是表中(A)(B)(C)三种互不相容的情况之一，所以概率应是表中三个概率之和(各合为一项)令，得下列方程，并注意到初始条件，则有当n=0时，没有(B)，(C)两种情况，所以得第49页，共171页，2022年，5月20日，22点55分，星期四50解(12-5)式和(12-6)式，得

表示长为t的时间区间内到达n个顾客（即N(t)=n）的概率，由(12-7)式得随机变量服从泊松分布。结论：当顾客到达为泊松流时，在长度为t的时间内到达n个顾客的概率Pn(t)服从泊松分布!!它的数学期望和方差分别是2.1.2普阿松流（泊松流）相等！特别地，t=1时，E[N(1)]=λ

，因此λ表示单位时间平均到达的顾客数第50页，共171页，2022年，5月20日，22点55分，星期四51

是指相继顾客到达时间间隔T相互独立，其分布密度为

其中，k为非负整数。

2.1.3爱尔朗分布爱尔朗分布第51页，共171页，2022年，5月20日，22点55分，星期四522.1.3爱尔朗分布设是k个相互独立的随机变量，服从相同参数的负指数分布，那么的概率密度是称T服从k阶爱尔朗分布，其均值和方差分别为可以证明如下结论。第52页，共171页，2022年，5月20日，22点55分，星期四532.1.3爱尔朗分布爱尔朗分布的意义当k=1时，爱尔朗分布化为负指数分布，可看成是一种完全随机的分布；当k增大时，爱尔朗分布的图形逐渐变为对称的；当k≥30时爱尔朗分布近似于正态分布；k→∞时，Var［T］→0，这时爱尔朗分布化为确定型分布。一般k阶爱尔朗分布可看成完全随机与完全确定的中间型，能对现实世界提供更为广泛的适应性。第53页，共171页，2022年，5月20日，22点55分，星期四542.1.3爱尔朗分布可以证明，在参数为的泊松输人中，对任意的j与k,设第j与第j+k个顾客之间的到达间隔为。则随机变量Tk的分布必遵从参数为的爱尔朗分布，其分布密度为：

例如：

某排队系统有并联的k个服务台，顾客流为泊松流，规定第i,K+i,2K+i…个顾客排入第i号台(i=1,2,…,K)，则第K台所获得的顾客流，即为爱尔朗输入流，其他各台，从它的第一个顾客到达以后开始所获得的流也为爱尔朗输入流。第54页，共171页，2022年，5月20日，22点55分，星期四552.1到达间隔的分布2.1.1经验分布（定长输入）2.1.2普阿松流（泊松流）2.1.3爱尔朗分布2.2服务时间的分布2.2.1经验分布（定长分布）2.2.2负指数分布2.2.3爱尔朗分布第2节到达间隔的分布和服务时间的分布第55页，共171页，2022年，5月20日，22点55分，星期四562.2服务时间的分布

2.2.1服务时间的定长分布。每一个顾客的服务时间都是常数，此时服务时间t的分布函数为：

第56页，共171页，2022年，5月20日，22点55分，星期四572.2.2服务时间的负指数分布如果随机变量T的概率密度是则称T服从负指数分布。它的分布函数是数学期望为方差为标准差为

负指数分布的定义第57页，共171页，2022年，5月20日，22点55分，星期四58服务时间v的分布对顾客的服务时间，也就是在忙期相继离开系统的两顾客的间隔时间，有时也服从负指数分布。设它的分布函数和密度分别是其中表示单位时间能被服务完成的顾客数，称为平均服务率，表示对顾客的平均服务时间。2.2.2服务时间的负指数分布第58页，共171页，2022年，5月20日，22点55分，星期四59负指数分布的性质(1)由条件概率公式容易证明该性质称为无记忆性或马尔柯夫性。若T表示排队系统中顾客相继到达的间隔时间，该性质说明：一个顾客到来所需的时间与过去一个顾客到来所需时间s无关，也就是说该顾客是随机地到达。(2)当输入过程是泊松流时，那么顾客相继到达的间隔时间T（注意T是随机变量）必然服从负指数分布。这是因为对于泊松流，在区间内至少有1个顾客到达的概率是又可表示为

根据（12.10）即得顾客相继到达的间隔时间T必然服从负指数分布。2.2.2服务时间的负指数分布第59页，共171页，2022年，5月20日，22点55分，星期四60(2)当输入过程是泊松流时，那么顾客相继到达的间隔时间T（注意T是随机变量）必然服从负指数分布。这是因为对于泊松流，在区间内至少有1个顾客到达的概率是又可表示为

根据（12.10）即得顾客相继到达的间隔时间T必然服从负指数分布。上述内容还可以用如下表达！

对于泊松流，其相继顾客到达时间间隔i，i=1,2,…是相互独立同分布的，其分布函数为负指数分布：

2.2.2服务时间的负指数分布第60页，共171页，2022年，5月20日，22点55分，星期四61顾客相继到达的间隔时间独立且为同负指数分布(密度函数为)，与输入过程为泊松流(参数为λ)是等价的。对于泊松流，λ表示单位时间平均到达的顾客数，1/λ表示相继顾客到达平均间隔时间。

相继到达时间间隔为负指数分布与到达为泊松流的等价性2.2.2服务时间的负指数分布第61页，共171页，2022年，5月20日，22点55分，星期四62

爱尔朗分布。即每个顾客的服务时间相互独立，具有相同的爱尔朗分布。其密度函数为

其中>0为一常数，此种的平均服务时间为：

K=1时爱尔朗分布化归为负指数分布当K→∞时，得到长度为1/的定长服务。例子：串列的k个服务台，每台服务时间相互独立，服从相同的负指数分布(参数kμ)，那么一顾客走完这k个服务台总共所需要服务时间就服从k阶爱尔朗分布。2.2.3服务时间的爱尔朗分布第62页，共171页，2022年，5月20日，22点55分，星期四63第1节基本概念第2节到达间隔的分布和服务时间的分布第3节单服务台负指数分布排队系统的分析第4节多服务台负指数分布排队系统的分析第5节一般服务时间M/G/1模型第6节经济分析——系统的最优化第7节分析排队系统的随机模拟法排队论

第63页，共171页，2022年，5月20日，22点55分，星期四64排队论

排队论研究的首要问题是排队系统主要数量指标的概率规律，即研究系统的整体性质，然后进一步研究系统的优化问题。与这两个问题相关的还包括排队系统的统计推断问题。

(1)通过研究主要数量指标在瞬时或平稳状态下的概率分布及其数字特征，了解系统运行的基本特征。

(2)统计推断问题，建立适当的排队模型是排队论研究的第一步，建立模型过程中经常会碰到如下问题：检验系统是否达到平稳状态；检验顾客相继到达时间间隔的相互独立性；确定服务时间的分布及有关参数等。第64页，共171页，2022年，5月20日，22点55分，星期四65(3)系统优化问题，又称为系统控制问题或系统运营问题，其基本目的是使系统处于最优或最合理的状态。系统优化问题包括最优设计问题和最优运营问题，其内容很多，有最少费用问题、服务率的控制问题、服务台的开关策略、顾客(或服务)根据优先权的最优排序等方面的问题。对于一般的排队系统运行情况的分析，通常是在给定输入与服务条件下，通过求解系统状态为n(有n个顾客)的概率Pn(t)，再进行计算其主要的运行指标：排队论

第65页，共171页，2022年，5月20日，22点55分，星期四66①系统中顾客数(队长)的期望值L或Ls；②排队等待的顾客数(排队长)的期望值Lq；③顾客在系统中全部时间(逗留时间)的期望值W或Ws；④顾客排队等待时间的期望值Wq。

排队系统中，由于顾客到达分布和服务时间分布是多种多样的，加之服务台数。顾客源有限无限，排队容量有限无限等的不同组合，就会有不胜枚举的不同排队模型，若对所有排队模型都进行分析与计算，不但十分繁杂而且也没有必要。下面拟分析几种常见排队系统模型。排队论

第66页，共171页，2022年，5月20日，22点55分，星期四673.1标准的M/M/1模型(M/M/1/∞/∞)3.2系统容量有限的情况(M/M/1/N/∞)3.3顾客源有限的情形(M/M/1/∞/m)第3节单服务台负指数分布排队系统的分析本节讨论输入过程服从普阿松分布过程、服务时间服从负指数分布单服务台的排队系统。第67页，共171页，2022年，5月20日，22点55分，星期四68标准的M/M/1模型(1)输入过程——顾客源是无限的，顾客单个到来，相互独立，一定时间内的到达数服从泊松分布，到达过程是平稳的。(2)排队规则——单队，且对队长没有限制，先到先服务。(3)服务机构——单服务台，各顾客的服务时间相互独立，服从相同的负指数分布。此外，还假定到达间隔时间和服务时间是相互独立的。3.1标准的M/M/1模型(M/M/1/∞/∞)即已知条件：

λ：顾客进入系统的平均速度，即单位时间到达的顾客数。

μ：顾客离开系统的平均速度，即单位时间能被服务完成的顾客数。第68页，共171页，2022年，5月20日，22点55分，星期四69首先要求出：系统在任意时刻t的状态为n(即系统中有n个顾客)的概率，它决定了系统运行的特征。因已知到达规律服从参数为的泊松过程，服务时间服从参数为的负指数分布，所以在时间区间内分为：(1)有1个顾客到达的概率为没有顾客到达的概率就是(2)当有顾客在接受服务时，1个顾客被服务完了(离去)的概率是，没有离去的概率就是。(3)多于一个顾客的到达或离去的概率是，可以忽略。3.1标准的M/M/1模型(M/M/1/∞/∞)第69页，共171页，2022年，5月20日，22点55分，星期四703.1标准的M/M/1模型(M/M/1/∞/∞)在时刻，系统中有n个顾客(n＞0)存在下列四种情况(到达或离去是2个以上的没列入)：○表示发生(1个)；×表示没有发生。n○○n(D)n×○n-1(C)n○×n+1(B)n××n(A)离去到达在时刻顾客数在区间在时刻t顾客数情况第70页，共171页，2022年，5月20日，22点55分，星期四71第71页，共171页，2022年，5月20日，22点55分，星期四72这四种情况是互不相容的，所以应是这四项之和，即即令，得关于的微分差分方程3.1标准的M/M/1模型(M/M/1/∞/∞)所有的高阶无穷小和并第72页，共171页，2022年，5月20日，22点55分，星期四73当，则只有上表中(A)(B)情况，且方式(A)中无离去的概率为1，即同理求得它们的概率分别是情况(A)情况(B)情况(C)情况(D)n○○n(D)n×○n-1(C)n○×n+1(B)n××n(A)离去到达在时刻顾客数在区间在时刻t顾客数情况3.1标准的M/M/1模型(M/M/1/∞/∞)第73页，共171页，2022年，5月20日，22点55分，星期四74研究稳态的情况。这时与时间t无关，可写成，它的导数为0。由(12-15)式和(12-16)式可得这是关于的差分方程，它表明了各状态间的转移关系：状态0转移到状态1的转移率为，状态1转移到状态0的转移率为。3.1标准的M/M/1模型(M/M/1/∞/∞)这种系统状态(n)随时间变化的过程就是生灭过程（BirthandDeathProcess）。方程(12-15)、(12-16)解是瞬态解，无法应用。第74页，共171页，2022年，5月20日，22点55分，星期四753.1标准的M/M/1模型(M/M/1/∞/∞)对状态0必须满足以下平衡方程同样对任何的状态，可得如(12-18)所示的平衡方程。由(12-17)式可得将它代入(12-18)式，令，得到同理依次推得今设(否则队列将排至无限远)，又由概率的性质知将的关系代入，得到第75页，共171页，2022年，5月20日，22点55分，星期四76对ρ的实际意义的解释ρ＝λ/μ，是平均到达率与平均服务率之比，即在相同时区内顾客到达的平均数与被服务的平均数之比。若将ρ表示为ρ＝(1/μ)/(1/λ)，它是一个顾客的服务时间与到达间隔时间之比，称ρ为服务强度(trafficintensity)，或话务强度。由(12-19)式可知，ρ=1-P0，它刻画了服务机构的繁忙程度，所以ρ又称为服务机构的利用率。3.1标准的M/M/1模型(M/M/1/∞/∞)系统处于空闲状态的概率：系统处于繁忙状态的概率：第76页，共171页，2022年，5月20日，22点55分，星期四77根据平稳分布，求排队系统的有关运行指标(1)系统中的平均顾客数（平均队长）

或 (2)在队列中等待的平均顾客数

3.1标准的M/M/1模型(M/M/1/∞/∞)期望第77页，共171页，2022年，5月20日，22点55分，星期四78顾客在系统中的逗留时间W(为一个随机变量)在M/M/1情形下，服从参数为的负指数分布①，即

分布函数概率密度

于是，得到(3)

在系统中顾客逗留时间的期望值

(4)

在队列中顾客等待时间的期望值

3.1标准的M/M/1模型(M/M/1/∞/∞)平均逗留时间减去平均服务时间。第78页，共171页，2022年，5月20日，22点55分，星期四79将以上结果归纳如下：

它们的相互关系如下：

上式称为Little公式。3.1标准的M/M/1模型(M/M/1/∞/∞)第79页，共171页，2022年，5月20日，22点55分，星期四803.1标准的M/M/1模型(M/M/1/∞/∞)Ls,Lq,λ

,Ws,Wq之间的关系：几何解释：稳态时，一个顾客，进入系统后，每单位时间，平均到达λ顾客。

λλλλλ进入时刻离开时刻总时间Ws

队长Ls由时间段内个λ组成的Ls=λWs同理：Lq=λWq

Ws=Wq+（1/μ）-------Ws与Wq只相差一段平均服务时间1/μ

第80页，共171页，2022年，5月20日，22点55分，星期四81例1：考虑一个铁路列车编组站。设待编列车到达时间间隔服从负指数分布，平均每小时到达2列；服务台是编组站，编组时间服从负指数分布，平均每20分钟可编一组。已知编组站上共有2股道，当均被占用时，不能接车，再来的列车只能停在站外或前方站。求在平衡状态下系统中列车的平均数；每一列车的平均逗留时间；等待编组的列车平均数。如果列车因站中2股道均被占用而停在站外或前方站时，每列车每小时费用为a元，求每天由于列车在站外等待而造成的损失。3.1标准的M/M/1模型(M/M/1/∞/∞)第81页，共171页，2022年，5月20日，22点55分，星期四82解：本例可看成一个M/M/1/排队问题，其中=2，=3，=/=2/3<1系统中列车的平均数L=/(1-)=(2/3)/(1-2/3)=2（列）列车在系统中的平均停留时间W=L/=2/2=1（小时）系统中等待编组的列车平均数Lq=L-=2-2/3=4/3（列）列车在系统中的平均等待编组时间

Wq=Lq/=(4/3)/(1/2)=2/3（小时）3.1标准的M/M/1模型(M/M/1/∞/∞)第82页，共171页，2022年，5月20日，22点55分，星期四83记列车平均延误（由于站内2股道均被占用而不能进站）时间为W0则W0=WP{N>2}=W{1-P0-P1-P2}=W{1-(l-)-(l-)1-(l-)2}=1*3=

3=(2/3)3=0.296（小时）故每天列车由于等待而支出的平均费用E=24W0a=24*2*0.296*a=14.2a元3.1标准的M/M/1模型(M/M/1/∞/∞)第83页，共171页，2022年，5月20日，22点55分，星期四84例2：某修理店只有一位修理工，来修理的顾客到达过程为Poisson流，平均每小时4人；修理时间服从负指数分布，平均需要6分钟。试求：修理店空闲的概率；店内恰有3位顾客的概率；店内至少有一位顾客的概率；在店内平均顾客数；每位在店内平均逗留时间；等待服务的平均顾客数；每位顾客平均等待服务时间；顾客在店内等待时间超过10分钟的概率。3.1标准的M/M/1模型(M/M/1/∞/∞)第84页，共171页，2022年，5月20日，22点55分，星期四85解：本例可看成一个M/M/1/排队问题，其中=4，=1/0.1=10(人/小时），=/=2/5<1修理店内空闲的概率P0=1-=(1-2/5)=0.6店内恰有3个顾客的概率P3=3(1-)=(2/5)3(1-2/5)=0.0383.1标准的M/M/1模型(M/M/1/∞/∞)第85页，共171页，2022年，5月20日，22点55分，星期四86店内至少有1位顾客的概率P{N1}=1-P0=1-

(1-)==2/5=0.4在店内平均顾客数L=/(1-)=(2/5)/(1-2/5)=0.67(人）每位顾客在店内平均逗留时间W=L/=0.67/4=10分钟3.1标准的M/M/1模型(M/M/1/∞/∞)第86页，共171页，2022年，5月20日，22点55分，星期四87等待服务的平均顾客数Lq=L-=0.67-2/5=0.27(人)每个顾客平均等待服务时间Wq=Lq/=0.27/4=0.0675小时

=4分钟3.1标准的M/M/1模型(M/M/1/∞/∞)第87页，共171页，2022年，5月20日，22点55分，星期四88顾客在店内等待时间超过10分钟的概率P{T>10}=e-10(1/6-1/15)=e-1=0.3677P{T>t}=e-(-)tt=10分钟,=10人/小时=10/60=1/6=4人/小时=4/60=1/153.1标准的M/M/1模型(M/M/1/∞/∞)第88页，共171页，2022年，5月20日，22点55分，星期四89例3

某医院手术室根据病人来诊和完成手术时间的记录，任意抽查了100个工作小时，每小时来就诊的病人数n的出现次数如下表所示；又任意抽查了100个完成手术的病历，所用时间v(单位：小时)出现的次数如下表所示。到达的病人数n出现人数0101282316410566以上1合计100为病人完成手术时间v(小时)出现人数0.0~0.2380.2~0.4250.4~0.6170.6~0.890.8~1.061.0~1.251.2以上0合计1003.1标准的M/M/1模型(M/M/1/∞/∞)第89页，共171页，2022年，5月20日，22点55分，星期四90(1)每小时病人平均到达率(人/小时)

每次手术平均时间(小时/人)

每小时完成手术人数(平均服务率)(人/小时)(2)取，，可以通过统计检验的方法，认为病人到达数服从参数为2.1的泊松分布，手术时间服从参数为2.5的负指数分布。(3)说明服务机构(手术室)有84%的时间是繁忙的，有16%的时间是空闲的。(4)依次代入(12-21)式，算出各指标：在病房中病人数(期望值) (人)排队等待病人数(期望值) (人)病人在病房中逗留时间(期望值) (小时)病人排队等待时间(期望值) (小时)3.1标准的M/M/1模型(M/M/1/∞/∞)第90页，共171页，2022年，5月20日，22点55分，星期四91如果系统的最大容量为N，对于单服务台的情形，排队等待的顾客最多为N-1，在某时刻一顾客到达时，如系统中已有N个顾客，那么这个顾客就被拒绝进入系统。当N=1时为即时制的情形；当N→∞时为容量无限制的情形。3.2系统的容量有限制的情况(M/M/1/N/∞)第91页，共171页，2022年，5月20日，22点55分，星期四92泊松输入—负指数分布服务的排队系统的一般决策过程：①根据已知条件绘制状态转移速度图；②依据状态转移速度图写出各稳态概率之间的关系；③求出P0

及

Pn；④计算各项数量运行指标；⑤用系统运行指标构造目标函数，对系统进行优化。3.2系统的容量有限制的情况(M/M/1/N/∞)第92页，共171页，2022年，5月20日，22点55分，星期四933.2系统的容量有限制的情况(M/M/1/N/∞)稳态情形下各状态间概率强度的转换关系图状态概率的稳态方程

∴第93页，共171页，2022年，5月20日，22点55分，星期四943.2系统的容量有限制的情况(M/M/1/N/∞)稳态情形下各状态间概率强度的转换关系图状态概率的稳态方程

其中(12-23a)也可写成，则有第94页，共171页，2022年，5月20日，22点55分，星期四953.2系统的容量有限制的情况(M/M/1/N/∞)

由

N∑(λ/μ)nP0=1n=0

NP0=1/[∑(λ/μ)n]=

n=0(1-λ/μ)/

[(1-(λ/μ)N+1]λμ

1/(N+1)λ=μ

Pn=1/(N+1)λ=μ

(1-λ/μ)(λ/μ)n/[(1-(λ/μ)N+1]λμ

第95页，共171页，2022年，5月20日，22点55分，星期四96M/M/1/N/∞排队系统的各项指标：(1)队长(期望值)(2)队列长(期望值)(3)顾客逗留时间(期望值)(4)顾客等待时间(期望值)(5)有效到达率3.2系统的容量有限制的情况(M/M/1/N/∞)令，得到第96页，共171页，2022年，5月20日，22点55分，星期四97(ρ≠1,n≤N)∴(1)平均队长Ls：(ρ≠1)试证ρ=1时,Ls=N/23.2系统的容量有限制的情况(M/M/1/N/∞)第97页，共171页，2022年，5月20日，22点55分，星期四98

???M/M/1/N/∞排队系统的各项指标：(1)队长(期望值)(2)队列长(期望值)(3)顾客逗留时间(期望值)(4)顾客等待时间(期望值)(5)有效到达率3.2系统的容量有限制的情况(M/M/1/N/∞)令，得到返回P98第98页，共171页，2022年，5月20日，22点55分，星期四99(2)有效到达率λe

系统容量有限，当满员（n=N）时，顾客将被拒绝，实际的顾客到达率与λ不一样，还可验证：∴

此种情况的公式与前类似,只有Ls不同,λe与λ不同。求λe必须先求得P0或PN才行。有效到达率为λe

可以证明：Ls3.2系统的容量有限制的情况(M/M/1/N/∞)第99页，共171页，2022年，5月20日，22点55分，星期四100M/M/1/N/∞排队系统各项指标的归纳(当时)：3.2系统的容量有限制的情况(M/M/1/N/∞)第100页，共171页，2022年，5月20日，22点55分，星期四101例2．某单人理发馆共有六把椅子接待顾客排队，无座时将离去，顾客平均到达率为3人/h，理发时间平均为15分钟，求：(1)求某一顾客到达就能理发的概率;(2)求需要等待的顾客数的期望值;(3)求有效到达率;(4)求一顾客在系统中的逗留时间和排队时间平均值;(5)在可能到来的顾客中，有百分之几不等待就离开？3.2系统的容量有限制的情况(M/M/1/N/∞)第101页，共171页，2022年，5月20日，22点55分，星期四102(1)求某一顾客到达就能理发的概率:(2)求需要等待的顾客数的期望值:(3)求有效到达率:(4)求一顾客在系统中的逗留时间和排队时间平均值:3.2系统的容量有限制的情况(M/M/1/N/∞)第102页，共171页，2022年，5月20日，22点55分，星期四103P0=0.27780P1=0.20836P2=0.15627P3=0.11720=0.9629=96.29%1-0.9629=3.71%

P4=0.08790P5=0.06593P6=0.04944(5)在可能到来的顾客中，有百分之几不等待就离开？顾客为何不等待就离去？因为系统已经满员3.2系统的容量有限制的情况(M/M/1/N/∞)故拒绝的概率为3.71%第103页，共171页，2022年，5月20日，22点55分，星期四104例4

某单人理发馆为等待的顾客准备了6把椅子，当6把椅子都坐满时，再来的顾客将不进店而离开。顾客的平均到达率为3人/小时，理发平均需要15分钟。则系统的容量为N=6+1=7，人/小时，人/小时。(1)某顾客一到达就能理发的概率(2)需要等待的顾客数的期望值

(3)有效到达率

(人/小时)(4)一顾客在理发馆内逗留的期望时间

(小时)(分钟)3.2系统的容量有限制的情况(M/M/1/N/∞)第104页，共171页，2022年，5月20日，22点55分，星期四105(5)在可能到来的顾客中不等待就离开的概率这也是理发馆的损失率。人/小时人/小时有限队长2.111.390.730.480.2783.7无限队长32.251.00.750.250以本例为例，比较队长为有限和无限的情形：3.2系统的容量有限制的情况(M/M/1/N/∞)第105页，共171页，2022年，5月20日，22点55分，星期四106背景设有m台机器(顾客总体)，机器因故障停机表示“到达”，待修的机器形成队列，修理工人是服务员，本节讨论单服务员的情形。顾客总体虽只有m个，但每个顾客到来并经过服务后，仍回到原来总体，所以仍然可以再到来。如在机器故障问题中，同一台机器出了故障(到来)并经修好(服务完了)仍可再出故障，形成循环。模型符号中的∞表示对系统的容量没有限制，但实际上它不会超过m，所以可写成(M/M/1/m/m)。3.3顾客源为有限的情形(M/M/1/∞/m)第106页，共171页，2022年，5月20日，22点55分，星期四107设每个顾客的到达率相同，均为λ

(这里λ的含义是单台机器在单位时间里发生故障的概率或平均次数)；设系统内顾客数为Ls，则系统外的顾客平均数为mLs，所以系统的有效到达率为

λe=λ(mLs)(12-26)考虑稳态情况下状态间的转移率由状态0转移到状态1：每台设备由正常状态转移为故障状态的转移率为λP0，m台设备由无故障状态转移为有一台设备(不论哪一台)发生故障的转移率为mλP0。由状态1转移到状态0：其状态转移率为μP1。所以，状态0时有平衡方程为：

mλP0=μP13.3顾客源为有限的情形(M/M/1/∞/m)第107页，共171页，2022年，5月20日，22点55分，星期四108各状态间的转移差分方程解得(注意到因而不要求）系统的各项指标为3.3顾客源为有限的情形(M/M/1/∞/m)第108页，共171页，2022年，5月20日，22点55分，星期四109例5

某车间有5台机器，每台机器的连续运转时间服从负指数分布，平均连续运转时间15分钟，有一个修理工，每次修理时间服从负指数分布，平均每次12分钟。求：(1)修理工空闲的概率；(2)五台机器都出故障的概率；(3)出故障的平均台数；(4)等待修理的平均台数；(5)平均停工时间；(6)平均等待修理时间；(7)评价这些结果。3.3顾客源为有限的情形(M/M/1/∞/m)第109页，共171页，2022年，5月20日，22点55分，星期四110解：

(1)(2)五台机器都出现故障的概率(3)出故障的平均台数(台)(4)等待修理的平均台数

(台)(5)平均停工时间