数学竞赛中平面几何最值问题解法

3(山东省安丘市北关中学

(山东省安丘市第七中学平面几何问题是数学竞赛的重要内容

AMC为等腰直角三,AC=2,MA=2,MI=MA=2而其中的最值问题更是数学竞赛中的难,且题目均具有较度.本文将结合具体实,对其解法作一介绍.

OM1OI≥即OI的最小值为22

-2-2根据已知条直接利用平面几何中的1Rt△ABC,AC2O为ACIABC的内心.OI的最小:1,O为圆心、OA,BIOM.=∠OAM+

根据动几何元素的变动范围例 在平面上给定正方形ABCD.试OA+OC,O是平面上的OB+任意点,点A的位置时,有OA+OCOB+=∠CAM+=∠CBM+∠OAI=π+1

=2AB+ O,=∠ABI+∠IAB=∠AIMMAMIMAI为等腰三角形

152又MC=MA,则MC=A. AD时,所得的比值为1 >252 2 AMC -∠ABC=2 ,猜测2可能为所求AMC为等腰直角三角形I.MI.OI≥OI=MI-OM.3收稿日期:2001205231修改日期

OA+OC2(用反证法OB+ OA+OC<2,OB+ (OA2+OC2+2<OB2+OD2+2OB·OD∵OA2+OC2=OB2+OD23333

3333,x=33333OA+ 2

代入S xy,得y

=x, ,OB+ OA+OC2OB+ 根据问题的条,将欲求最值的几何对象变为某实二次方程的系由方程的根为3一块扇形的板子其连心角为120°,1,今要锯掉边部,做成一块面积最大的矩形(扇形对称轴垂直于矩形之一边).问锯掉的面积是多少?(1958,市中学数学竞赛3OAB,OA=1,为其内接矩形

利用二次函数的性质求得结果例4 已知△ABC是边长为1的正三角形,D是边BC上一点且BD=p,r1r2分别△ABDADC的内切圆的半径p表r1r2,并求r1r2的最大值.(2000,数学4,ABD,由余弦定理得AD2=p2-p+1AD p2-p+11+p p2-p+ ·r1=S设CD=x 图OD=y,O

=1×1×psin60.23(1+p p2-p+3DK=y,KO y3

则r1 3(2-p p2-p+3(2-p p2-p+3矩OCD∵OC2=CD2+OD2+CD·OD∴1=x2+y2+xy

r2r1r2p=

1 p2-p+ 3时,r1r2的最大值为2 3-x 4-3-x 4-3有S=3(-x2 4x2-3x4).整理233x4+ S-3)x2+S2=3x20,故(3S-32-12S20S3

例5 设P为锐角△ABC内一点,P到三条边BCCAAB的垂足分别为DEF.出(并加以证明PD2+PE2+PF2达到最小值的点P.,:如图5设S

,0≤k≤k0,k0为直DB的斜率DE3△ABC的面积,其三边 3

、 分别为abc且PD313+x,PE=y,PF=z313+

3

- 1+

3 w=PD2+PE2+ 则DE 3- =x2+y2+z2 ,k=0DE,DE有

=(S△PBC+S2+S△PAB2=1(ax+by+cz)4

BC,DE=3k=k0DE,此时DEBDE=3 ≤(4

+b2+c2)(

+y2+z2)

w

2.22.

a+b+ 边的三条最长当且仅当

zλ= 2 4wmin=a2+b2+c2

a+b2+

选取某一变角为自变量将欲求最值之几何量表为它的函数运用三角知识使问题,P还可以这样作出:BC的平行线与另两边相交且使其到BC的距离为λa,ACAC的距离为λb,则两直线在△ABC内的交点即为点P. 例6ABC1的正三角O为其中心.试问过点O且两端落在△ABC哪几条最短?它们各为多长?证明你的论断.(1979,市数学竞赛:6A为立直角坐标系AB

获解例7△ABC,DEFABCDEF面积的极7AABC的最大角.4S△DEF=3EF2知4,S△DEF也最大而EF由∠BAF所惟 图=,y=-

xAC33x.过点 图33

∠ACE=θ+∠A)-60.1

EF=AF+=csin(120°-)+bsinθ+∠A-60)y=kx sin sin44=23ksinθ+φ)

-1),XY=2BP+BX 2(k2-1)2B 2(k2-1)2B2(k2-1).其中,k={[ccos60°+bcos(∠2(k2-1).10) c2+b2+2bccos(120°-∠A)

PABCDEFccos60°+bcos(∠A-60) BCCAAB作垂线的垂足PDφ=

为锐角当=90°-φ

23k,

PE

.(22IMO试题.(提示:5.ax+by+cz=2SEF有最大值

(a+b+c)时θ,60°∠A<180°,相应DEFABC的外接正三角形则3S△DEF的最大值333

西不等式得x+y+z 2 ,P为的内心.π29在单位π23=3[b+c+2bccos(120°-∠A) 0

ABCBC6CA5AB4ABC边相切的圆分别与ABAC交于DE.求线段DE长度的最小值.(提示:O,r,AM⊥BCM,AM≤2rOAMr,DE也最,MBCO的切,由勾股定理AMr值DOE,由余弦定理即得DE长度的最小值为105)

PQRS是该扇形的内接正方形.试求OS小值 图(1993,省高中数赛)(提示:O为原点,OAx轴建立直角坐标,OS=l,∠AOB=PQRS,由PS=SR,得l2关于θ的表达式为l= 3+2sinθ-cosθ- 据此易得lmin 2.Cii12,3),C1的AB1C2C1,k1<k3C3A,2k考虑所有线段XY,一端X在C2,一端Y在C3,XY含有点B

(198