二面角-完整版课件

学习目标:1、掌握二面角定义及其表示方法；2、掌握二面角的平面角定义；3、掌握二面角的平面角的求法。

一个平面内的一条直线把这个平面分成两个部分，其中的每一部分都叫做半平面。

一条直线上的一个点把这条直线分成两个部分，其中的每一部分都叫做射线。一、二面角:OBAAB

从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。这条直线叫做二面角的棱。这两个半平面叫做二面角的面。1、二面角的定义：(1)直立式:(2)正卧式:(3)平卧式:2、二面角的画法：ABlABCDABCEFD3、二面角的表示方法：点1－棱－点2二面角－AB－二面角－l－二面角C－AB－D二面角C－AB－E面1－棱－面210/19/2022思考:把门打开，门和墙构成二面角；把书打开，相邻两页书也构成二面角.随着打开的程度不同，可得到不同的二面角，这些二面角的区别在哪里？打开的书10/19/2022思考:异面直线所成的角、直线和平面所成的角有什么共同的特征？它们的共同特征都是将三维空间的角转化为二维空间的角,即平面角。

二、二面角的平面角:1、二面角的平面角的定义：

在二面角的棱上任取一点O为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线OA和OB，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。αβB。OAB1。O1A1定义：∠AOB∠A1O1B1？二、二面角的平面角:1、二面角的平面角的定义：定义二：

一个平面垂直于二面角的棱，并与两半平面分别相交于射线PA、PB垂足为P，则∠APB叫做二面角的平面角。αβB。PA二面角的平面角的三个特征：(3)角的边都要垂直于二面角的棱。(1)角的顶点在棱上;(2)角的两边分别在两个面内;lOAB2、二面角的平面角的大小：二面角的大小可以用它的平面角来度量．即二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．①二面角的两个面重合：0o②二面角的两个面合成一个平面：180o二面角的平面角的范围：③平面角是直角的二面角叫直二面角．方法1如图，点A在二面角α-l-β的半平面α上一点，过点A如何作出二面角α-l-β的平面角？----“定义法”OBlA3、二面角的平面角的求法:由定义知：过A作交l于O,在面β内作则∠AOB为所求的角。如图，点A在二面角α-l-β的半平面α上一点，过点A如何作出二面角α-l-β的平面角？----“垂面法”3、二面角的平面角的求法:方法2γlABO过A作平面分别交于OA,OB,则∠AOB为所求的角。如图，点A在二面角α-l-β的半平面α上一点，过点A如何作出二面角α-l-β的平面角？----“垂线法”3、二面角的平面角的求法:方法3lABO过A作交于B,再过A作交于O连结OB,则∠AOB为所求的角。例1:在正方体ABCD-A'B'C'D'中，找出下列二面角的平面角：（1）二面角C'-BD-C；（2）二面角C'-BD-A；（3）二面角D'-DC-A；（4）二面角D'-AB-D.BACDA'B'C'D'OBACDA'B'C'D'O例1:在正方体ABCD-A'B'C'D'中，找出下列二面角的平面角：（1）二面角C'-BD-C；（2）二面角C'-BD-A；（3）二面角D'-DC-A；（4）二面角D'-AB-D.BACDA'B'C'D'例1:在正方体ABCD-A'B'C'D'中，找出下列二面角的平面角：（1）二面角C'-BD-C；（2）二面角C'-BD-A；（3）二面角D'-DC-A；（4）二面角D'-AB-D.BACDA'B'C'D'例1:在正方体ABCD-A'B'C'D'中，找出下列二面角的平面角：（1）二面角C'-BD-C；（2）二面角C'-BD-A；（3）二面角D'-DC-A；（4）二面角D'-AB-D.思考：在正方体ABCD-A'B'C'D'中，求二面角C'-BD-C的正切值.BACDA'B'C'D'O求二面角的步骤是:(1)作出二面角的平面角；(2)证明该角就是二面角的平面角；(3)计算该角的大小，简记为作、证、算．常用定义法，在二面角的棱上找一特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线.练习：指出下图中的二面角的平面角：BACD二面角B--B’C--AADBCl1.二面角--l--OEA’AB’C’CD’DBOO二面角A--BC--DAC⊥lBD⊥l1.如图所示，在四面体ABCD中，△ABD、△ACD、

△BCD、△ABC都全等，且AB＝AC＝，BC＝2.求二

面角A－BC－D的大小．

解：取BC的中点E，连接AE、DE.∵AB＝AC，∴AE⊥BC.又∵△ABD≌△ACD，AB＝AC，∴DB＝DC.∴DE⊥BC.∴∠AED为二面角A－BC－D的平面角．2.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，且PA＝2AD，二面角P－CD－A的平面角为θ，则tanθ＝__________.[错因]

错认为∠PCA是二面角P－CD－A的平面角，其实PC、AC与二面角P－CD－A的棱CD不垂直．[答案]

2ABPMNCDO例2:如图,已知P是二面角棱上一点，过P分别在、内引射线PM、PN，且∠MPN=600，∠BPM=∠BPN=450，求此二面角的度数。解：在PB上取不同于P

的一点O，在内过O作OC⊥AB交PM于C，在内作OD⊥AB交PN于D，连结CD，可得：设PO=a

，∵∠BPM=∠BPN=45º∴CO=a，DO=a，PCa，PDa∵∠MPN=60º

∴CD=PCa∴∠COD=90º因此，二面角的度数为90º∠COD是二面角的平面角二面角的计算小结:1、找出或作出二面角的平面角;2、证明(1)中的角就是所求的角;3、计算出此角的大小。一“作”二“证”三“求”步骤:常用定义法，在二面角的棱上找一特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线.练习:1.在二面角α-l-β的一个面α内有一条直线AB，若AB与棱l的夹角为45°，AB与平面β所成的角为30°，则此二面角的大小是(

)A.30°B.30°或150°C.45°D.45°或135°AαBβOC2.如图，过A点作AO⊥β于O，在α内作AC垂直棱于C，连OB、OC，则∠ABC=45°∠ABO=30°，∠ACO就是所求二面角的平面角。D二面角一、二面角的定义：二、二面角的表示方法：三、二面角的平面角：四、二面角的平面角的作法：五、二面角的计算：二面角－AB－二面角C－AB－D二面角－l－1、根据定义作出来2、利用直线和平面垂直作出来3、借助三垂线定理或其逆定理作出来1、找到或作出二面角的平面角2、证明1中的角就是所求的角3、计算所求的角一“作”二“证”