4定积分的性质

第九章第四节第第九章第四节第页§4定积分的性质教学目的：熟练掌握定积分性质及积分中值定理。重点难点：重点为定积分性质及第一中值定理,难点为推广的积分第一中值定理教学方法：讲练结合。、定积分的基本性质性质1若f在L,b］上可积，k为常数，则kf在la,b］上也可积，且\bkf(x=kJbf(x(1)aa证当k=0时结论显然成立当k二0时，由于工kf£}\x-kJ二\k\-工f£}\x-J,iiiii=1i=1其中J=Jbf(x》x,由/在1a,b]上可积时，故任给S>0，存在§>0，当时ITI<5时,a£f£lx-Jiii=1从而工kf£)\x-kJ<£从而iii=1即kf在1a,b］上可积，且卜kf(jc1/x=kJ=kJbf(x1/xaa性质2若f,g都在L,b]上可积，则f+g在L,b]上也可积，且TOC\o"1-5"\h\zJb[f(x)±g(jc)]x=JbfCx1/x±Jbg(x1/x,(2)aaa证明与性质1类同．性质1与性质2是定积分的线性性质，合起来即为Jblof(x)+Pg(x)]x=aJbf(x)Zx+BJbg(x)dx,aaa性质3若f,g都在L,b]上可积；则fg在L,b]上也可积.证由f,g都在［a,b］上可积，从而都有界，设A=sup|f(xA=sup|f(x),B=xw.,b]supxwlg(x),la,b]且A>0,B>0(否则f,g中至少有一个恒为零值函数，于是f-g亦为零值函数，结论显然成立)．任给£>0，由f,g可积，必分别存在分割T、T"，使得工①fAx<,工①gAAx<.ii2Bii2A令T=T'+T‘‘(表示把T'、T〃的所有分割点合并而成的一个新的分割T)•对于L,b］上T所属的每一个A.，有i①f-g=supifGJgQ)-fG")gC”)ix,xgAisup|g(x")-|f(x")-f(x")+1f(x")-|g(x")-g(x")］x,xgAiB①f+A①g.B工B工ofAx+A工ogAxiiiiTTbZofAx+aZogAxiiii——B-+A-=£.2B2A可知f-gAx可知iT这就证得f-g在b］上可积.注意，在一般情形下Af(xL(x)dxHJbf(x)Zx-fbg(x)Zx.性质4f在L,b］上可积的充要条件是：任给cg(a,b),f在la,c］与L,b］上都可(3)积.此时又有等式Af(x=Jcf(xAx+Jbf(x)Zx.(3)TOC\o"1-5"\h\zaac证［充分性］由于f在c］与kb］上都可积，故任给£>0，分别存在对L,c］与kb］的分割T与T"，使得工EAx'<—,工EAx"<—.i2ii2现令T二现令T二T'+T"，工①AxiiT它是对ta,b］的一个分割，且有=工®rAx'+工®，Ax"<£iiiT“由此证得f在订上可积.［必要性］已知f在ta,b］上可积，故任给£>0,存在对ta,b］的某分割T,使得

工①Ax<£在T上再增加一个分点c,得到一个新的分割T*.又有iiT工w*Ax*<工①Ax<siiii分割T*在L,」和t,b】上的部分，分别是对L,」和t,订的分割，记为T'和T",则有AxAx'WiiAx*<siT'工®T'工®''Ax''iiT'T**Ax*<sii这就证得f在L,b］与lb,c］上都可积.在证得上面结果的基础上最后来证明等式(3).为此对L,b］作分割T,恒使点c为其中的一个分点，这时T在L,c］与\c,b］上的部分各自构成对L,c］与\c,b］的分割，分别记为T'与TT''•由于工f《)Ax=工fI'!x・+工f€'')Ax''，iiiiiiTT'T''因此当||T||T0(同时有IT'IT0,||T''||T0)时，对上式取极限，就得到(3)式成立.口性质4及公式(3)称为关于积分区间的可加性.当f(x)>0时，(3)式的几何意义就是曲边梯形面积的可加性.按定积分的定义，记号Jbf(x》x只有当a<b时才a有意义，而当a=b或a>b时本来是没有意义的.但为了运用上的方便，对它作如下规定:规定1当a=b时，令AfCl/x二0;.a规定2当a>b时，令Jbf(x》x=—Jaf(x》xab只要f在c］上可积，则有Jcf(x》只要f在c］上可积，则有Jcf(x》x+Jbf(x》x=Jbf(x)dx+Jcf(x)dx—Jcf(x》x=Jbf(x》xac'ab丿baacabba性质5设f为L,b］上的可积函数.若f(x)>0,xwL,b］，则JbfSx>0a5)推论(积分不等式性)若f与g为b］上的两个可积函数，且f(x)<g(x)，xwL,b］，则有Jbf(xAx<Jbg(xAx5)性质6若f在b］上可积，则f在la,b］上也可积，且\bf(x)dx<\b\f(x)dx.(6)证由于f在L,b］上可积，故任给\bf(x)dx<\b\f(x)dx.(6)T由绝对值不等式IlfCq-|f(JC<If(JCJ—f(JC可得3IfI<3f，于是有ii工3IfAx<工3fAx<8.从而证得If|在b］上可积.再由不等式-|f6)<f(JC)<|f(xj，应用性质5(推论)，即证得不等式(6)成立.注意这个性质的逆命题一般不成立，例如fC)_J1,x为有理数,

f=|-1,x为无理数在b,i］上不可积(类似于狄利克雷函数)；但|f(x)三1,它在b,i］上可积.例i求J1fGbx,其中J2x—1,-1<x0,|e-x,0<x<1.\x+J1e\x+J1e-xdx来的f6)=e-x=1改为(2x-1)=-1，由§3习题第3题知道这一改动并不影响fx=0x=0在1—1,0］上的可积性和定积分的值.注2如果要求直接在1—1,1］上使用牛顿一莱布尼次公式来计算J1f(x》x=F(1)-F(-1)这时F6)应取怎样的函数？读者可对照§2习题第3题来回答.

例2证明若f在ta,b]上连续，且f(x)>O,JbfQdx二0,贝f(x)三0,xgla,b]a证用反证法.倘若有某xgL,b1使f(x)0,则由连续函数的局部保号性，存在x000的某领域(x-5,x+5)(当x二a或x二b时，则为右邻域或左邻域)，使在其中0000f(f(x)>字>O.由性质4和性质5推知\bf(xIfx二Jxo-5f(xIfx+fxo+5f(xIfx+\bf(xIfxaaxo-5xo+5f(x)>O+fxo+5o~dx+O=f(x))>O,x-527o0这与假设fbf(x力x=o相矛盾.所以f(x)三o,xgL,b]a注从此例证明中看到，即使f为一非负可积函数，只要它在某一点x0处连续，且(至于可积函数必有连续点，这是一个较难证明的命题，f(x)>0，则必有fbf(x)dx>00a(至于可积函数必有连续点，这是一个较难证明的命题，读者可参阅§6习题第7题．)二积分中值定理定理9.7(积分第一中值定理)若f在b]上连续，则至少存在一点EgL,b],使得fbf(xI/x=f€)b-a)(7)a证由于f在ta,b]上连续，因此存在最大值M和最小值m.由m<f(x)<M,xgL,b]使用积分不等式性质得到m(b-a)<fbf(xAx<M(b-a)a"<丄f：f(¥<M*再由连续函数的介值性，至少存在一点EgL,b],使得f(E)=fbf(x》x,b-a这就证得(7)式成立.

积分第一中值定理几何意义为，若f在la,b］上非负连续,则y二fG)在L,b］上的曲边梯形面积等于以f6)为高,b］为底的矩形面积.而Jbf(x)7xb-aa可理解为f(x)在区间b］上所有函数值的平均值.这是通常有限个数算术平均值的推广.例3试求fG)=sinx在H/上的平均值.解所求平均值为俺)=*严皿一!cosx冗定理9.8(推广的积分第一中值定理)若f与g都在L,b］上连续，且g(X)在L,b］上不变号，则至少存在一点b］,使得8)Jbf(x£(x)dx_fC)Jbg(xI/x8)aa(当g(x)三1时，即为定理9.6.)证不妨设g(x)>0，xg\a,b］.这时有mg(x)<f(x)g(x)<Mg(x)xg\a,b]其中M,m分别为f在L,b］上的最大、最小值•由定积分的不等式性质，得到mJbg(xi/x<Jbf(x£(x)dx<MJbg(xi/x.aaa若，Jbg(xk_0，则由上式知J