高中数学不等式综合复习

不等式专题一．不等式的基本性质a;ab0a.ab0a;ab0abbaab,bcacabacbcab,cdacbdab,cdacbdacbca.b,c0ab,c0acbcabcd0acbdab(9)ab0,0cdcd11a,0abab0anbn(nZ,且nab0ab(nZ,且nnn二．一元二次不等式1.不等式的解法（1）整式不等式的解法（根轴法）..特例①一元一次不等式>b解的讨论；axb0(a0)bab当a0xx,x|xabab当a0时x|xa②一元二次不等式ax++c>0(≠0)解的讨论.2一元二次不等式的解集000222二次函数yaxbxc2（0）的图象aaxbxc02a0的根bxx212122R12212fxgx0fxgx0fxfx00gxf(x)g(x)g(x)0定义域fx3f(x)g(x)g(x)02gx（4）.指数不等式：转化为代数不等式af(x)a(a1)f(x)g(x);ag(x)a(0a1)f(x)g(x)g(x)f(x)af(x)b(a0,b0)f(x)lgalgb（5）对数不等式：转化为代数不等式f(x)0f(x)0f(x)g(x)(ag(x)0;f(x)g(xag(x)0aaaaf(x)g(x)f(x)g(x)（6）含绝对值不等式应用分类讨论思想去绝对值；应用化归思想等价转化应用数形思想；g(x)0|f(x)g(x)g(x)f(x)g(x)g(x)0f(x)g(x或f(x)g(x)|f(x)g(x)g(x)0(f(x),g(x不同时为0)或2：典型例题例1.求下列不等式的解集（1）3x5x20，2（2）x223x2（3）12x35的解集例2解下列不等式.3x5x22x3（1）(2x(x7)(32x)(x4)02236例3.38x3xx52x31例4：解关于的不等式x（1）x(3a)xa0222，（2）1、x2(aa)xa023202、22x3、(x2)(2)04、2x3a例5.已知不等式5xb0的解集是25xa0的解22集的解集为,则不等式{x|2x3}bxax10xaxb022的解集为__________.例6.若一元二次不等式4xa0的解集是R则的取值范围是a2变式练习：1已知关于x的不等式a4xa2x10的取值范围。a222、若不等式x2x1a对一切实数恒成立，求实数的取值范围。xa三基本不等式及其应用1.几个重要不等式（1）2aR,则|aa0（2）（当仅当a=b时取等号）a、bR,ab2abab2|2ab)2222（3）如果,b都是正数，那么（当仅当a=b时取等号）ab.2极值定理：若则：x,yR,xyS,xyP,1如果P是定值,那么当x=y时，S的值最小；2如果S是定值,那么当=y时，P的值最大.利用极值定理求最值的必要条件：一正、二定、三相等.（当仅当a=b=c时取等号）abc(4)若、、cR,则abc33（当仅当a=b时取等号）ba若0,则2ab(6)a时，|xaxaxa或xa;|xaxaaxa2222（7）b,则a||b|ab|a||b|2.几个著名不等式（1）平均不等式：如果,b都是正数，那么（当仅当a=b时取等号）2aba2b2.11ab22即：平方平均数≥算术平均数≥几何平均数≥调和平均数（ab、abab（当a=b时，(abab特别地，(）2222))222222abcabc2222(a,,cR,ab)331幂平均不等式：aaa(aaa)22222n1n12n注：例如：(acbd)(ab)(cd).22222常用不等式的放缩法：①1111111(nnn1n(nn2n(nn1n111②n1nn1(n1)nnn12nnn1（2）柯西不等式：若a,a,a,,aR,b,b,b,b;则123n123n22122nna23nbbbb123n若定义在某区间上的函数f(x),对于定义域中任意两点x,x(xx1212f(x)f(x)f(x)f(x)或.2212212222则称f(x)为凸（或凹）函数.3.不等式证明的几种常用方法1124x(1x)2xxx)()23223274y23222yx(1x)y223223279类似于ysinxcosxsinx(1sinx)，③11122xxx1x251例x技巧三：x27x例求y(xx1。技巧四axf(x)xx25yx24xx23x11y2x,x3y,(x（1）（2）x3x1y2sinx,x(0,)sinx23y(1)0xy(2)0x1ab233.ab11xyxy2y4419xy01xyxyx,yR2x且y111xy1xya,b,x,yRab且xyy2yx＋xy2221b＝abby＝x＋y15y2x152x(x)22a,b,c222abcabbccacabc11111182）已知cRabc1abc19xy01xym且mxy1ababPlgalgb,Q(lgalgb),Rlg()P,Q,R22是.四．简单的线性规划1y12x3y①则x2y..2yx1③2x03s5z3x2yy0yxs2x4y[6,15][7,15][6,8][7,8]14xy例，axya0）xyz2xy2(3,1)a。y4x3,例、已知双曲线x220xy0xyxy0xy0y0xy0xxy0xy00x30x30x30x314xy例，axya0）xyz2xy2(3,1)a。20xy例20xyy05xy例xy名，x和y2x3y则2x11.z10x10y综合检测abba,b,a,b()AababBaabbCabbaDabab()(xx2)x1Ax0与x0B0与x202x21与x1x2Clog(3x2)0与3x21D1x1121x1()221B(0,)21D(0,)(1A(C)221x()xA{xxB{xx1或x{x1xD{x1x0或xCyx)1x()xA(B(C(D(若2m与m3则m()Am3B3m3C2m3D3m2或m3()1x23Ayx2By2xx22x25524CyDy23x243x24x(a2)x2(a2)x402则(xa)A(,2]B(,2)C(D(,x则x()ABCD(200,500)若ab()1111A和abab1111和Babaab1111CD和(a)b)22ababa111和(a)b)1ab22bax2yx,xy若则()22241B,03ACabDabab,m,nab则,n()abAmnBmnCmnDmna,abab则与4433(x24)(x6)0x1sinx若则,x2设x,yx4yx,yR,xy