量子力学必考题

量子力学必考题第二章微扰理论一刚性转子转动惯量为I,它的能量的经典表示式是H=L2,L为角动量,求与此对应的量子体系在下列情况下的定态能量及波函数：（1）转子绕一固定轴转动：（2）转子绕一固定点转动：（考一问）解：（1）设该固定轴沿Z轴方向，则有哈米顿算符L2€L2Z1€2d2H=L2=，21z21d92其本征方程为（H与t无关，属定态问题）€2d2-©(9)=E©(9)21d92d2©(9)2IE—、=-©(9)d92€22IEm2=-€2d2©(9)d92取其解为©（9）€Ae由波函数的单值性，应有（m可正可负可为零）©(9+2…)€©(9)neim(9+2…)=eim9R卩ei2m…=1•；m=0,±1,±2,…转子的定态能量为e(m=0,±1,±2,…)可见能量只能取一系列分2立值,构成分立谱。定态波函数为©=Aeiin9A为归一化常数，由归一化条件1=J2…©*©d9=A2J2…d9=A22…0mm01nA€2…・••转子的归一化波函数为

,=eim€m2兀综上所述，除m=0外，能级是二重简并的。(2)取固定点为坐标原点，则转子的哈米顿算符为1H=L2H与t无关，属定态问题，其本征方程为1一L2Y(0,€)=EY(„,€)(式中Y(„,€)设为力的本征函数，E为其本征值)L2Y(0,€)=2IEY(0,€)令2IE=…€2，则有L2Y(„,€)=…€2Y(„,€)此即为角动量L2的本征方程，其本征值为L2=…€2=,(,+1)€2(,=0,1,2,…)Pm(COS0)eim€,m,其波函数为球谐函数Pm(COS0)eim€,m,・・・转子的定态能量为,(,+1)€2E=,21可见，能量是分立的，且是(2,+“重简并的。第七章自旋与全同粒子求.€求.€/01]E八€及S=—ro-i]x2<10丿y2<-i0丿的本征值和所属的本征函数。(考Sy的本征值和本证函数)ySy的本征值和本证函数)y§的久期方程为x€2解：…2-(-)2・•・§的本征值为土€。

x2设对应于本征值€的本征函数为2X1/2由本征方程八€由本征方程八€sX=Xx1/221/2，得€/01、ra、1€ra、1210丿b2b丿<丿v1丿<1丿rbrb„ra„3iajib丿由归一化1条件1b€a11X+X€1，得1/21/2rbrb„ra„3rbrb„ra„3(a*,a*)1iiaia1rbrb„ra„3rbrb„ra„3对应于本征值€的本征函数为2X1/2r1„同理可求得s的本征值为土€。2其相应的本征函数分别为1r1„1r1„X_€X_€22ii丿-22i_i丿y(7.5设氢的状态是1R(r2213-R(r)Y(0,9)22110丿①求轨道角动量z分量L和自旋角动量z分量S的平均值;八八e-e-L—S2卩卩的Z分量的平均值（用玻尔磁矩子表示）（必考）②求总磁矩M解：中可改写成1r1„3r0„中€—R(r)Y(0,9)—R(r)Y(0,9)2211110,2211011丿13二一R(r)Y(0,9)X(S)-R(r)Y(0,9)X221111z221102(Sz从中的表达式中可看出L的可能值为z相应的几率为€3L€-z4S的可能值为z相应的几率C|2为i2€12S€x-zi24€214€3—x—24€234€4e€1—x—，M2卩44Bzee-，—L—S2卩z卩zTOC\o"1-5"\h\ze€e€x———x(—)2卩4卩4以下的可能会考，最后一节课讲得)發0巧巾0冷020rr=000也0V0o◎禺=CE«1例2•有一粒子，其Hamilion量的矩阵形式为：H二坷击HJ其中禺=CE«1求能级的一级近似和波函数的0级近似口弘的本征值问题是三重简并的，这是一个简并微扰问题。(1)求本征能量由久期方程I田-|=0得:0Or-£(l>00-£{l>E(1)[(E0Or-£(l>00-£{l>E(1)[(E(1))2—q2]=0tto-*为aaa记E!e2e(1(?-(3EEE+++QGoEEE---123EEE筒并完全消除广0oQ000400,<C3>由归一化条件:取买解:3◎T斗鱼广=1取实解：C2=l甥呼=1眄一1旳~420o」AJj第三章量子力学中的力学量1、动量算符的本征值方程：-i力，中（r）二p中（r）pp2、两个表示力学量的算符之间的关系1）对易：有组成完全系的共同本征态（）不对易：若0D工uo,则称0与u不对易。、量子力学中的算符表示对波函数（量子态）的一种运算如动量算符p三一i能量算符一…二i„…动能算符i=-,动能平均值t=丁中_中_—g角动量算符=rX角动量平均值=『中-\--g…€i€€薛定谔方程i中…一一,+中八方2H=--,2+V(r)算符2m，被称为哈密顿算符，（求算符的对易）第五章微扰理论1、定态微扰理论适用范围：求分立能级及所属波函数的修正，适用条件22Hkn<<1E(0)—E(0)nkE（0）€E（0）nk（2分填空）IH'|2kn„….E（o）—E（o）

nk7H'I中>=I中——I中（0）E（0）一E（0）kk€nnk写公式4分）第七章自旋与全同粒子施特恩-格拉赫实验——证明电子具有自旋2、光谱线精细结构：钠原子光谱中的一条亮黄线5893A,用高分辨率的光谱仪观测，可以看到该谱线其实是由靠的很近的两条谱线组成。其他原子光谱中也可以发现这种谱1）非简并情况：nnk€大题不会or1、S2/X/X+S2+S2二3力2S2二S2xyz4S2=s(s„1)h2=ah2Ts=丄424、（1）or€,€,...,€ijk7.7.13or6、(1)玻色子：凡自旋(s=0，1，2……)2个粒子称为Bose2