不等式高级水平必备

第第页,.—.■・・・・*•x+x■__⑵用其平均数，1代替x7口x经过多次代换后各项xi(i=1,2,...,n)都趋于相同2的极限x=x1+X2+…+xn.n设实数空间的函数F是一个对称的连续函数，满足TOC\o"1-5"\h\zF(a,巴，…,a“)>F(b,b，…,b,)(56)12n12n其中，(b,b,...,b)序列是由(a〃,,...,a)序列经过预定义变换而得到的12n12n预定义变换可根据当前的题目灵活采用，如a+b，ab，a+b2等等.22224.4例题说明例题：设实数a,b,c>0，证明：a+b+c>3.b+cc+aa+b2解析：采用SMV法.设：f(a,b,c)=—a—+——+―c—①b+cc+aa+b贝hf(t,t,c)=t+t+c=2t+c②t+cc+1t+1t+c2t其中，t="b.2由②得：f(t,t,c)=2t+(c+1)-1=(J+1)」>2-1=3t+c2t22t+c2t222由(56)式得：f(a,b,c)>f(t,t,c)>3证毕.2Ch25.拉格朗日乘数法设函数f(x7,x,，…,x)在实数空间的IeR连续可导，且g.(x7,X,...,x)=0，其中12ni12n(i=1,2,k)，即有k个约束条件，则f(xl,x,，…,x)的极值出现在I区间的边界或12n偏导数(函数为L=f及%gi)全部为零的点上i=1这就是拉格朗日乘数法.

26.2⑴（2）（3）（4）⑸⑹⑺（8）（9）（11）（12）㈣㈣㈣Ch26.三角不等式26.1设a,p,ye（0,兀），且a+（3+Y=兀，则a,B,y就是同一个三角形的内角.26.1若a,p,y为同一个三角形的内角，则有下列不等式：sina+sinp+siny<_2*_；COSa+COSP+cosy<|；sinasinpsiny<;COSaCOSpCOSy<L；8osin2a+sin2p+sin2y<_；3COS2a+COS2R+COS2y>_•4,tana+tanP+tany>3/（锐角三角形）；cotoc+cotP+coty>F；.a.B.y3sin_+sinJ_+sinL<_•222~2aBV3\[3cos_+cos2_+cosL<y•222-2'.01.p.Y1sin_sinl_sinL<_•222~8,aBV3yf3cos_cosi_cos_L<y•222~8,sin2%+sin2P_+sin2L>£•222~4,COS2_+COS2r_+COS2L<_•222~4,tan2L+tane+tanL>•222~,

峋cott+cot_E_+cotL>3J3TOC\o"1-5"\h\z222一•Ch27.习题111设x,x，…,xg(0，1],求证：(1+x,)x,(1+x,)x,...(1+x)xt>2n.12n1223n1设x7,x,，…,x>0，且x,+x,+...+x=—，求证：(1一x,)(1一x„)...(1一x)>—.12n12n212n2设a,,a_，…,agR+，且aa^...a=1，求证：a,+a、+...+a<a,+a、+...+a.12n12n12n12n设a,b,c>0，且abc=1,求证：a3+b3+c3>ab+bc+ca.27.527.6设a,b,c,d>0，求证：a+b+c+d>2.27.527.6b+2c+3dc+2d+3ad+2a+3ba+2b+3c~3设a,b,c>0，求证：a2+bc+b2+ca+c2+ab>a+b+c.b+cc+aa+b设a,b>0,ngN，求证：(1+a)n+(1+b)n>2n+1.baTOC\o"1-5"\h\z设x,x，…,xgR+，且x}+x^2+...+x2=1，若ngN,n>2，求12n12nx5x5x5f(x7,x/,...,x)=1+2+...+n12nMMM、(乙x.)一x1(乙x.)一x2(乙x.)一xni=1i=1i=1的最小值.27.9设a,b,cgr+，且a+b+c=abc,求证：++<—1+a21+b21+c2227.1。设a,b,cgr，求证：a2+(1一b)2+b2+(1一c)2+c2+(1-a)2>32""'2设a,b,cgr+，且ab+bc+ca=3，求证：(1+a2)(1+b2)(1+c2)>8.设a,b,c>0，且a+b+c=1,求证：6(a3+b3+c3)+1>5(a2+b2+c2).设a,b,c>0，且a+b+c=2，求证：a4+b4+c4+abc>a3+b3+c3.27・14设a,b,c>0，求证：8(a3+b3+c3)>(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3.设a,b,c>0，求证：a3+b3+c3+abc>1(a+b+c)3.~7设a,b,c>0，且a+b+c=1，求证：a2+b2+c?+3abc>4.一9a2a2a227・17设a,a,...,a>0，求证:(1+a)(1+a)...(1+a)<(1+1)(1+2)...(1+n).TOC\o"1-5"\h\z12n12naaa231设a,b,c,d>0，且abcd=1,求证：1+1+1+1>1.(1+a)2(1+b)2(1+c)2(1+d)2设a,b,c,d>0，且a+b+c+d=4，求证：abc+bcd+cda+dab+(abc)2+(bcd)2+(cda)2+(dab)2<8.设a,b,c>0，且a2+b2+c2=3，求证：a2b2+b2c2+c2d2<a+b+c.27・21设a,b,ceR，求证：3(a2一ab+b2)(b2一bc+c2)(c2一ca+a2)>a3b3+b3c3+c3a3.设a,b,c,d>0，且a+b+c+d+abcd=5，求证：1+1+1+1>4.abcd27.23设不等式：ab(a2一b2)+bc(b2一c2)+ca(c2一a2)<M(a2+b2+c2)2对一切实数a,b,c都成立，求M的最小值.设a,b,c>0，且a+b+c=3，求证：(a2b+b2c+c2a)(ab+bc+ca)<9.Ch27.习题解析TOC\o"1-5"\h\z111设x1,x2，…，xne(0,1]，求证：(1+x1)x2(1+x2)x3...(1+xn)xj>2n.解析：设：x,，二x,，则：因为x.e(0,1]，所以1e[1,+⑹(i=1,2,...,n)n+11ixi由伯努利不等式(2)：当x>-1且ae[1,+8)时，(1+x)a>1+ax①iiiiiiffx=0或a=1时，①式等号成立.ii由均值不等式(3)：1+ax>2ax②iiii

iffax=1时，②式等号成立.ii由①②式得：(1+x)oi>2ax③iiiiffa=x=1时，③式等号成立.ii设：aixi设：aixi+111，则由③式得：(1+x)xi+1>2xt④xi+1i则：(i则：(1+x)x2>21x1-1；(1+x)x3>2x221；…；(1+x)x1>2

n上面各式相乘得：111(上面各式相乘得：111(1+x.)x2(1+x2)x3...(1+x“)x1>2n

12nx,x_x・2•...•nx,%x231=2n证毕.272设272设x,,x,,...,x>0，且x,+x_+...+x12n12n1，求证：(1—x7)(1—x„)...(1—x)>1.212n2解析：因为产0,51，所以[0,1]i=1设y设y=-xii,)则y.e[-1,0]>-1

i2TOC\o"1-5"\h\z由伯努利不等式(1)：(1+y)(1+y)...(1+y)>1+(y+y+...+y)①12n12n将y=-x代入①式，并代入x,+x+...+x=1得：...+x)=...+x)=1-1=

n2(1-x)(1-x)...(1-x)>1-(x+x+12n12证毕.设a,a〃>0，且aa...a=1，求证：a+a、+...+a<a,+a、+...+a.12n12n122n12n解析：因为a,aa>0,且aa...a=1,12n12n所以由均值不等式(3)：向+直+...+回>nn眄.眄・…・瓦=n

即：al+。2+…+%>1①niffa1=a2=...=an=1时，①式等号成立.由柯西不等式(8)：[(ya)2+()2+...+(^0~)2](12+12+...+12)>(^1+^a~+...+^a~)2即：(at+a+...+a)•n>(^a^+^cT+...+^a~)2即：(ai+aj...+a)>(眄+眄;…+R)(眄+恒+...+匹)②iffa1=a2=...=an=1时，②式等号成立.将①式代入②式得：a+a+...+a>00~+^a~+...十00'③iffa1=a2=...=an=1时，③式等号成立.证毕.设a,b,c>°，且abc=1,求证：a3+b3+c3>ab+bc+ca.解析：因为a,b,c>0，且abc=1,所以由均值不等式（3）：,a2+b2b2+c2c所以由均值不等式（3）：a2+b2+c2=++>ab+bc+ca222iffa=b=c=1时，①式等号成立.由均值不等式(3)：a+b+c>33abc=3，即：a+"c>1②3iffa=b=c=1时，②式等号成立.WLOG，设a<b<c，则因为a,b,c>0，所以a2<b2<c2由切比雪夫不等式(14)：(a+b+c)(a2+b2+c2)<3(a-a2+b•b2+c-c2)即：a3即：a3+b3+c3>•(a2+b2+c2)iffa=b=c=1时，③式等号成立.将①②代入③式得：a3+b3+c3>ab+bc+ca④iffa=b=c=1时，④式等号成立.证毕.

27.5设a,b,c,d>0，求证：abc27.5设a,b,c,d>0，求证：abcd22+++2b+2c+3dc+2d+3ad+2a+3ba+2b+3c3解析：i己A=b+2c+3d,B=c+2d+3a,C=d+2a+3b,D=a+2b+3c贝U：aA+bB+cC+dD=4(ab+ac+ad+bc+bd+cd)①待证式为：+b+AD>2②由柯西不等式(8)：(a+b+%+D)(aA+bB+cC+dD)>(a+b+c+d)2abcd(a+b+c+d)2即：一+—++>③ABCD~aA+bB+cC+dD由②③式，只需证明(a+b+c+d)2>2④aA+bB+cC+dD3设多项式：P(x)=(x+a)(x+b)(x+c)(x+d)=cx4+cx3+cx2+cx+c01234则：c=a+b+c+d⑤ic=ab+ac+ad+bc+bd+cd2代人①式得：aA+bB+cC+dD=4c⑥2根据定义(38)：p

kc—kCkn得：pI=C=%，即：c=4p4cc=—2=~2，即：c=6pC26224则：(a+b+c+d)2c216p2=i=1aA+bB+cC+dD4c4•6p则：22由麦克劳林不等式(40)：p>p：，即：P2>112p2代入⑦式得：("b+c+d)2>2,④式得证.aA+bB+cC+dD3iffa=b=c=d时，等号成立.证毕.设a2+bc.+b2+ca+c2+ab>a+b+c.

b+cc+aa+b解析：不等式左边二a2beb解析：不等式左边二a2beb2++

b+cb+cc+acac2ab+++c+aa+ba+bc+aa+bb+c不等式右边二〃+6+c=吗0+如"型+空±6c+aa+bb+caca2abb2cbc2

+++++c+ac+aa+ba+bb+cb+c则不等式其实就是：上十三+士^士+士+三①b+cc+aa+bb+cc+aa+b由于是对称不等式，WLOG，假设〃2万2c,贝(I〃2n步nc2②B.b+c<a+c<a+b,即：/>/>/③b+cc+aa+b则有排序不等式(18)：b+cc+aa+bb+cc+aa+b其中，士+旦+£为正序和；士+士+互为乱序和.b+cc+aa+bb+cc+aa+biffa=)=c时，等号成立.证毕.设a,b>0,证：(7+fL)n+(7+L)n>2n+1.ba解析：当〃=0时，(1+2)。+(7+')。=2,20+1=2，不等式成立；ba当〃=7时，(l+1)i+(l+bi=2+-+->4,2"=4，不等式成立;baba当〃N2时，构建函数/(%)=xn.则函数的导数/'(“)=内〃-1;二次导数=—I)加2>0,故在x>0时函数为向下凸函数.由琴生不等式(20)：/(X/+X2)①22将/(元/)=(1a将/(元/)=(1a、+-)n

bx+x(1+)+(1+/1baf(1c2)=[—ab卜=[1+c(+>2〃222ab(1+a)〃+(1+%带入①式得：b——a—>2〃，即：(1+a))n+(1+-)n>2n+12ba综上，当n=0、n=1和n>2时，(1+a)〃+(1+b)〃>2n+1都成立，ba即neN时，(1+a)n+(1+b)n>2n+1成立.证毕.baTOC\o"1-5"\h\z27.8设x,x,...,xeR+，且xr2+x^2+...+x2=1，若neN,n>2，求12n12n555f(尤7,X？，…,xn)=1+2+...+n12nnnn(乙x.)-x1(乙x.)-x2(乙x.)-xni=1i=1i=1的最小值.解析：记S=£x,(i=1,2,...,n).ii=1TOC\o"1-5"\h\zx555则f£，x2，-则f£，x2，-，xn)=S-x,S-x_S-x12nWLOG,假设x>x>...>x，则Qx4>x4>...>x4②12n12n由于S=£x，所以S-x=(£x)-x与x无关，则一xk一与x同单调性.ikikkS-xki=1i=1k即：x1>x2>...>xn③S-xS-xS-x12n由切比雪夫不等式(14):若(a,a,...,a)与(b,b,...,b)同单调性，则有：12n12n(a+a+...+a)(b+b+...+b)<n(ab+ab+...+ab)④12n12n1122nn设：a=x4,b=n,(i=1,2,...,n),则满足｛a｝与｛b｝同单调性.iiiS-xiin代入④式得：xxxx(x4+...+x4)(1+...+n)<n(x4,1+...+x4,n)1nS-xS-x1S-xnS-x1n1n

即：f二x5x5,X4+...+x4.,x即：f二1+…+n2(—1n),(1+…+n)S—xS—xnS—xS—x由均值不等式(3)：q>A由均值不等式(3)：q>Ann，即：>x2+...+x2—1nn故：x4+...+x4>⑥1nn构建函数：g(x)=则导函数：g'(x则导函数：g'(x)=g''(x)=2S(S—x)3故g(x)为向下凸函数.由琴生不等式(21)：g(ax+ax+...+ax)«ag(x)+ag(x)+…+ag(x)1122nn1122nn取加权a=1(i=1,2,…，n)时，上式变为：in,X+,X+x+...+x

g(12nng(xP+g(x2H...+g火即=acos0，y==acos0，y=bsin0，因为将它带入方程时满足cos20+sin20=1，这个三角函数TOC\o"1-5"\h\z即：g(x)+g(x)+...+g(x)>n•g(12n)12nnx+x+...+xS12n即：x1+...+xn>nn=nnc=n⑨S—xS—xxx+x+...+xSn—11nS——12nS——nn将⑥和⑨式代入⑤式得：x5x511nf=1+...+n>一,一,S—xS—xnnn—11n故：f(x7，x,,…，x)的最小值是J八.12nn(n—1)27.9设a，b，c€R+，且a+b+c=abc，求证：_+_+_<,1+a21+b21+c22解析：在圆锥曲线里，椭圆方程为■x2+评=1时，常常采用的参数方程是：a2b2

的基本关系.对于三角形的内角A,B,C,同样有关系A+B+C=兀和tanA+tanB+的基本关系.对于三角形的内角A,B,C,同样有关系A+B+C=兀和tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC.而本题初始条件〃+b+c=abc.设a=tanA.b=tanB，c=tanC，因为a,b,c€R+，所以A,B,Ce(0二)①2则当A,B,C为三角形的内角时，A+B+C=兀tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC满足条件.带入不等式左边得:111.+.+.1+a21+b21+c2111+tan2A+―+―11+tan2B11+tan2C=cosA+cosB+cosC②构建函数f(x)=-cosx，则在xe(0」)区间函数f(X)为向下凸函数，2故由琴生不等式(21)得：函数值的均值不小于均值的函数值.f(ax+ax+

1122...+ax)<af(x)+af(x)+...+af(x)③nn1122当加权a=a12...=a=1时，③式变为：nnf(X)+f(x)+...+f(X)x+x+...+xJ(12n)n即：f(A)+f(B)+f(C)f(A+B+C)④kJ即：cosA+cosB+cosCTOC\o"1-5"\h\z/A+即：cosA+cosB+cosC>-cos()=-cos=-332即：cosA+cosB+cosC<3⑤将⑤式带入②式得:一2将⑤式带入②式得:.+.+=1+a21+b21+c227・10设a,b,ceR，求证：a2+(1-b)2+b2+(1-c)2+c2+(1-a)2>32.2

解析：因为a,b,ceR，由柯西不等式(12)式：2+b2+...+a2+b2>(a2+...+a2)+(b2+...+b2)11nn1n1n贝U：a2+(1—b)2+b2+(1—c)2+c2+(1—a)2a2+(1—b)2+(1—b)2+a2+b2+(1—c)2+(1—c)2+b22〜c2+(1—a)2+(1—a)2+c211设：a11设：a=111a=112a=113a=1,a=1,a=1,a=1.14243444代人①式得：(1+a2+b2+a2b2).(1+c2a2+c2+a2)-(1+c2+b2c2+b2)-(1+1+1+1)1111>[(1-1•1-1)4+(a2-c2a2-c2-1)4+(b2-c2-b2c2-1)4+(a2b2-a2-b2-1)4]4=(1+ac+bc+ab)4②②式就是赫尔德不等式.(1+a2)2(1+b2)2(1+c2)2=(1+a2)(1+b2)-(1+c2)(1+a2)-(1+b2)(1+c2)=(1+a2+b2+a2b2)•(1+c2+a2+c2a2)•(1+b2+c2+b2c2)=1(1+a2+b2+a2b2)•(1+c2+a2+c2a2)-(1+b2+c2+b2c2)•(12+12+12+12)4=1(1+a2+b2+a2b2)•(1+c2a2+c2+a2)-(1+c2+b2c2+b2)-(12+12+12+12)4将②式代入上式得：(1+a2)2(1+b2)2(1+c2)2<1(1+ac+bc+ab)44开方出来即：(1+a2)(1+b2)(1+c2)<1(1+ac+bc+ab)2③将ab+bc+ca=3代入③式得：(1+a2)(1+b2)(1+c2)<1(1+3)2=8.2iffa=b=c=1时等号成立.证毕.设a,b,c>0，且a+b+c=1，求证：6(a3+b3+c3)+1>5(a2+b2+c2).解析：采用pqr法.设：p=a+b+c，q-ab+bc+ca，r=abc，则：p=1在20.2常用的代换如下：(工)Ex2=p2一2q；⑵)Zx3-p(p2一3q)+3rcyccyc贝U：a2+b2+c2=p2-2q；a3+b3+c3=p(p2-3q)+3r=1-3q+3r于是，待证式变为：6(1-3q+3r)+1>5(p2-2q)即：2-8q+18r>0，即：1-4q+9r>0，即：p3-4pq+9r>0①在20.3常用的pqr法的不等式.(工)p3+qr>4pq，即：p3-4pq+9r>0故：①式成立，即待证式成立证毕.设a,b,c>0，且a+b+c=2，求证：a4+b4+c4+abc>a3+b3+c3.解析：由舒尔不等式(43)：xt(x-y)(x-z)+yt(y-z)(y-x)+zt(z-x)(z-y)>0①即：xt(x2-xy-xz+yz)+yt(y2-yz-xy+zx)+zt(z2-zx-yz+xy)>0即：xt(x2+yz)+yt(y2+zx)+zt(z2+xy)>xt+1(y+z)+yt+1(z+x)+zt+1(x+y)即：xt+2+xtyz+yt+2+xytz+zt+2+xyzt>xt+1(y+z)+yt+1(z+x)+zt+1(x+y)即：xt+2+yt+2+zt+2+(xt-1+yt-1+zt-1)xyz>xt+1(y+z)+yt+1(z+x)+zt+1(x+y)两边都加xt+2+yt+2+zt+2得：2(xt+2+yt+2+zt+2)+(xt-1+yt-1+zt-1)xyz>(xt+1+yt+1+zt+1)(x+y+z)②②式就是舒尔不等式.设t=2，代入②式得：2(x4+y4+z4)+(x+y+z)xyz>(x3+y3+z3)(x+y+z)将a+b+c=2代入上式得：2(x4+y4+z4)+2xyz>2(x3+y3+z3)即：a4+b4+c4+abc>a3+b3+c3③③式就是我们要证明的不等式.证毕.设a,b,c〉0，求证:8(a3+b3+c3)>(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3.解析：待证式化为：8(a3+b3+c3)>2(a3+b3+c3)+3(a2b+ab2+b2c+bc2+c2a+ca2)TOC\o"1-5"\h\z即：2(a3+b3+c3)>a2b+ab2+b2c+bc2+c2a+ca2①解析1：缪尔海德不等式(48)：T[p.]<T[取(48)iff(a.)=(p.)或x1=x=...=x时，等号成立.ii12n由于T[3,0,0]=2(a3+b3+c3),T[2,1,0]=a2b+ab2+b2c+bc2+c2a+ca2满足缪尔海德不等式的条件，即：(b1,b2,b3)=(2,1,0),(a1,a2,a3)=(3,0,0)，故满足序列(b1,b2,b3)<(a1,a2巴).123123123123!则：T[2,1,0]<T[3,0,0],即：①式成立.证毕.解析2：采用pqr法.设：p=a+b+c,q=ab+bc+ca,r=abc.在20.2常用的代换如下：TOC\o"1-5"\h\z(⑵Ex3=p(p2一3q)+3r，(⑼£x2(y+z)=£xy(x+y)=Pq一3rcyccyccyc即①式等价于：2Ex3>Ex2(y+z)cyccyc即：2[p(p2一3q)+3r]>pq一3r，即：2p3—6Pq+6r>pq_3r即：2P3+9r>7Pq②②式是与①式等价的.在20.3常用的pqr法的不等式：⑺2P3+9r>7pq是成立的，故②式成立.证毕.解析3：采用琴生不等式.构建函数f(x)=x3③则f(x)为向下凸函数.采用琴生不等式(21)式：>f(c；a)2(则：f(a)+>f(c；a)2上面三式相加得：f(〃)+f(b)+f(c)>f(a；b)+f(b；c)+f(c；〃)将③带入④得：3+b+.>(竽L+(竽)3+(亨L即：8(a3+b3+c3)>(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3.证毕.设a,b,c>0，求证：a3+b3+c3+abc>1(a+b+c)3.7解析：待证式：7(a3+b3+c3)+7abc>(a+b+c)3①即：7Za3即：7Za3cyc即：6Za3cyc+7abc>(a+b+c)3=Za3+3Za2b+6abccycsym+abc>3Za2b，即：2Za3+1abc>3symcyc工a2b②sym由排序不等式(17)得：2Za3由排序不等式(17)得：2Za3>Za2bcycsym所以：2Za3+1abc>2Za3>Za2b3cyccycsym②式得证.证毕.27.16设a,b,c>0，且a+b+c=1，求证：a2+b2+c2+3abc>4.一9解析：待证式：9(a2+b2+c2)+27abc>4①将①式齐次化：9(a2+b2+c2)(a+b+c)+27abc>4(a+b+c)3②化简②式：(a2+b2+c2)(a+b+c)=a3+ab2+ac2+a2b+b3+bc2+ca2+b2c+c3=a3+b3+c3+ab2+ac2+a2b+bc2+ca2+b2c=Za3+Za2b③cycsymZa3+3Za2b+6abccycsym将③④式代入②式:「「9£a3「「9£a3VcycsymJ+27abc>4Vcycsym)+6abcJ即待证式为：5£a3+3abc>3£a2b⑤cycsymcyc由舒尔不等式(43)：a(a一b)(a-c)+b(b一c)(b-a)+c(c一a)(c一b)>0即：a(a2+bc)+b(b2+ca)+c(c2+ab)>a2(b+c)+b2(c+a)+c2(a+b)TOC\o"1-5"\h\z即：£a3+3abc>£a2b⑥cycsym由缪尔海德不等式(47)：£xa1ya2za3>£xb1yb2zb3(49)symsym取：2(a3b0c0+a0b3c0+a0b0c3)>a2b1c0+a2b0c1+a1b2c0+a0b2c1+a0b1c2+a1b0c2即：2(a3+b3+c3)>a2b+a2c+ab2+b2c+bc2+ac2即：2£a3>£a2b⑦cycsym由⑥+2x⑦两式相加得：5£a3+3abc>3£a2b⑧cycsym⑧式是由舒尔不等式和缪尔海德不等式相加得到的结果，而⑧式就是待证式⑤，这证明，⑤式即①式是成立的.证毕.c1a2H■——a2a2a227.17设a1,a.,...,a>0，求证：(1+a7)(1+a.)...(1+a)<(1+1)(1+2)...(1+n).12n12n。、a、a^TOC\o"1-5"\h\z231解析：因为a1,a.,...,a>0，所以设a.=exi(i=1,2,...,n)12ni待证式变为：(1+ex)(1+ex,)...(1+ex)<(1+e2x[x,)(1+e2x,-x)...(1+e2x-x,)12n1223n1因为待证式两边都是正数，所以取对数后为：ln(1+ex1)+...+ln(1+exn)<ln(1+e2x1-x2)+...+ln(1+e2xn-xt)①

WLOG，假设2xi-x2-2x2~X3-…-2xn~xi，且x1-X2~...-xn②nnnn设x-x，则：乙(2x—x)=2乙x—乙x=乙xn+11，kk+1kkkk-1k-1k-1k-1而且2x1—x,，-x,+(x,—x,)-x,(k-1,2,...n,)④kk+1kkk+1k由②③④，根据Ch16.定义序列，则：(x)n就是(2x—x)n的优化值，kk-1kk+1k-1"'于是序列x)<(2xl-x)⑤kkk+1函数的导函数为：f'(x)=ex1+ex构建函数：f函数的导函数为：f'(x)=ex1+ex，其二次导函数为：f”(尤)-ex>0⑦(1+ex)2由⑦式，函数f(x)-ln(1+ex)是向下凸函数，对于两个序列(xk)和(2xk-xk*,)kkk+1由卡拉玛塔不等式(50)得：f(x1)+f(x2)+...+f(xn)«f(2x—x)+f(2x—x)+…+f(2x—x)⑧12n1223n1将⑥带入⑧得：ln(1+ex1)+...+ln(1+exn)<ln(1+e2x1—x2)+...+ln(1+e2xn—x1)而这正是待证式①式.证毕.27.18设a,b,c,d>0，且abcd-1，求证：1+1+1+1>1.(1+a)2(1+b)2(1+c)2(1+d)2解析：先介绍一个不等式：若x,jeR，则1+1-1①(1+x)2(1+y)21+xy证明如下：1+1—1=[(1+x)2+(1+J)2](1+xj)—(1+x)2(1+J)2②(1+x)2(1+j)21+xy(1+x)2(1+j)2(1+xy)②式得分子为：[2+2(x+j)+(x2+j2)](1+xj)—(1+2x+x2)(1+2j+j2)

=[2+2(x+y)+(x2+y2)]+[2xy+2xy(x+y)+xy(x2+y2)]-[(1+2x+x2)+2y(1+2x+x2)+y2(1+2x+x2)]=[2+2x+2y+x2+y2+2xy+2x2y+2xy2+x3y+xy3]-[1+2x+x2+2y+4xy+2x2y+y2+2xy2+x2y2]=1-2xy+x3y+xy3-x2y2=(1-2xy+x2y2)+(x3y+xy3-2x2y2)=(1-xy)2+xy(x2+y2-2xy)=(1-xy)2+xy(x-y)2>0带入②式得：1+1-1>0，则：①式成立.(1+x)2(1+y)21+xy>1③1+cd由①式得：1+1>>1③1+cd(1+a)2(1+b)21+ab(1+c)2(1+c)2而：11+而：11+1+ab1+cd11+1+ab11+ab1ab+1+abab+1故由③④：1+1+1+1>1+(1+a)2(1+b)2(1+c)2(1+d)21+ab1+cdiffa=b=c=d=1时等号成立.证毕.27.19设a,b,c,d>0，且a+b+c+d=4，求证：abc+bcd+cda+dab+(abc)2+(bcd)2+(cda)2+(dab)2<8.解析：采用SMV法⑴设：f(a,b,c,d)=abc+bcd+cda+dab+(abc)2+(bcd)2+(cda)2+(dab)2a+b+c4-d4r设：t=，则：d=4-3t,t=e[0,]f(t,t,t,d)=t3+t2d+t2d+t2d+16+t4d2+t4d2+t4d2=t3+3t2(4-3t)+16+3t4(4-3t)2=t3+12t2-9t3+16+3t4(16-24t+9t2)二12t2—8t3+16+48t4—72t5+27t6=4(7t6-18t5+12t4-2t3+3t2)①⑵采用导数法求①的极值点.由①式的导数为零得:42t5-90t4+48t3-6t2+6t=0即：t(7t4-15t3+8t2-1+1)=0即：t(7t4-7t3-8t3+8t2-1+1)=0即：t(t-1)(7t3-8t2-1)=0②则极值点为：t1=0,t2=1,t3=1.236320209其中，7t3-8t2-1=0③采用盛金公式求③式得.盛金公式：a=7,b=-8,c=0,d=-1；A=b2-3ac=64,B=bc-9ad=63,C=c2-3bd=-24判别式：A=B2-4AC=632+4-64-24=10113>0匕=Ab+3a•—B+"=-117.5841653；2,-B-AY=Ab+3a-J=-2229.415835.2③式得实数解为:t=--我—也=1.236320209.3a代人①式得到这些极值点的函数值：f(t1)=0；f(t2)=8；f(t3)=7.38889在边界点的函数值为：=7.989023063f(0)=0；f(3)=g)3+(=7.989023063故：f(t,t,t,d)<8④(3)由于f(t,t,t,d)-f(a,b,c,d)TOC\o"1-5"\h\z=a+b+c)3-abc]+d[3(a+b+c)2-(ab+bc+ca)]33a+b+ca+b+c___+[(ac)6-(abc)2]+d[3(ac)4-(a2b2+b2c2+c2a2)]>033即：f(t,t,t,d)>f(a,b,c,d)⑤其中：由A>G得到：("b+c)3-abc>0；nn3由(a+b+c)2>3(ab+bc+ca)得到：3(a-"c)2-(ab+bc+ca)>0；3由A2>仃2得到：(a+b+c)6-(abc)2；nn3由琴生不等式得到：3(a+；+c)4-(a2b2+b2c2+c2a2)>0⑥⑷构建函数g(x)=X4显然g(x)=X4为向下凸函数，故函数的均值不小于均值的函数值.a+bb+cc+aa+b、b+c、c+a、TOC\o"1-5"\h\z+b+++g(Hg()+g()即：冢"b+c)=g(222)>222a+b+c1a+bb+cc+a、/即：()4>[()4+()4+()4]⑦33222再由A>G得到：a+b>ab,"c>bc,c+a>cann222代入⑦式得：(a+b+c)4>1[a2b2+b2c2+c2a2]33即：3(a+b+c)4-(a2b2+b2c2+c2a2)>0，⑥式得证.⑸故由④⑤式：f(a,b,c,d)<f(t,t,t,d)<8.iffa=b=c=d=1时等号成立.证毕.27.20设a,b,c>0，且a2+b2+c2=3，求证：a2b2+b2c2+c2d2<a+b+c.解析：采用S^V法.

WLOG，假设a<b<c，则：a2<1,b2+c2>2故：a<1,b+c>b2+c2>2设：f(a,b,c)=(a+b+c)一(a2b2+b2c2+c2a2)①设：t=2c2，则：f(a，t")=(a+2t)-(2a2t2+14)②贝U：a?+2t2=3，即：t=]l3一2^故：f(a,b,c)-f(a,t,t)=(b+c-2t)-a2(b2+c2-2t2)-(b2c2-14)=(b+c-2)-a2(b=(b+c-2)-a2(b2+c2-2•)-[b2c2-(22b2+c22(b2+c2)=()2-b22(b2+c2)2(b2-c2)2:=4+b+c-22(b2+c2)(b-c)2(b+c)2(b+c)2-2(b2+c2)=+；—4b+c+2(b2+c2)(b-c)2(b+c)2(b-c)2=-:4b+c+2(b2+c2)=(b-c)2[伽2c2)-1]③4b2c22(b22c2)将b22c2>2,b2c>2代入③式得：f(a,b,c)-f(a,t,t)>(b-c)2二(b-c)2[一一-=]>02222即：f(a,b,c)>f(a,t,t)④下面只需证明f(a,t,t)>0即可.

将t=J~~2~代入②式：f(a,t,t)=(a+2t)-(2a2t2+14)3—a23—a2.f(a,t,t)=a+2(3-a2)-()(2a2+)22:3.一、=a+2(3一a2)一(3一a2)(1+a2)43(3(a4-2a2+1)-[(3aa)-2(3aa2)]3(a2-1)2[(3aa)-2(3-a2)][(3-a)+2(3-a2)](3aa)+2(3aa2)3(a-1)2(a+1)2(3-a)2-2(3-a2)4(3aa)+2(3aa2)3(a-1)2(a+1)23a2-6a+343aa+2(3aa2)4TOC\o"1-5"\h\z(a+1)2『3-a+2(3(3-a2)由于：ae[0,1],所以：444<.<3-0+2(3-02)3-a+2(3-a2)3-1+2(3-12)=<.3+63-a+2(3-a2)代入⑤式得：f(a,t,t)>0,即：f(a,b,c)>f(a,t,t)>0由①式得:f(a,b,c)=(a+b+c)-(a2b2+b2c2+c2a2)>0即：a2b2+b2c2+c2d2<a+b+c.证毕.27.21设a,b,ceR,求证：3(a2-ab+b2)(b2-bc+c2)(c2-ca+a2)>a3b3+b3c3+c3a3.解析：不等式即：3(a2-ab+b2)(b2-bc+c2)(c2-ca+a2)-a3b3-b3c3-c3a3>0设：f(a,b,c)=3(a2-ab+b2)(b2-bc+c2)(c2-ca+a2)-a3b3-b3c3-c3a3①则对于对称类不等式，当a=b=k时，若(c-k)2是上式的因子，则可用SOS法.即若f(k,k,c)=g(k,c)，则可采用SOS法.(c-k)2(⑴f(k,k,c)=3k2(k2—kc+c2)2—k6—2k3c3=3k2(k4+k2c2+c4—2k3c+2k2c2—2kc3)-k6—2k3c3=k2(3k4+3k2c2+3c4-6k3c+6k2c2-6kc3-k4-2kc3)=k2(2k4-6k3c+9k2c2-8kc3+3c4)②⑵采用长除法分解因式2k4-6k3c+9k2c2-8kc3+3c42k2-2kc+3c2(k2-2kc+c2)2k4-6k3c+9k2c2-8kc3+3c4-)2k4-4k3c+2k2c2-2k3c+7k2c2-8kc3-2k3c+4k2c2-2kc3+3k2c2-6kc3+3c4+3k2c2-6kc3+3c4+0故:2k4-6k3c+9k2c2-8kc3+3c4=(c-k)2(2k2-2kc+3c2)③由③式表明，本题可以采用SOS法⑶采用SOS法，就是将不等式改写成：g(a,b,c)=S(b-c)2+S(c-a)2+S(a-b)2④abc其中S,Sh,S分别都是关于a,b,c的函数.abc将①式展开化简后得：f(a,b,c)=3E(a4b2+a2b4)-4Ea3b3-3Ea4bc+3a2b2c2⑤cyccyccyc由于a,b,c对称，cyc轮换求和后扩展项数是3倍，故由⑤式简化为："a'b'c)=>[2〃+4a2bb-+b+c)]("b)2⑥cyc⑷根据SOS法S=2c4+4a2b2—abc(a+b+c)；c同理：S=2a4+4b2c2—abc(a+b+c)；aSb=2b4+4c2a2—abc(a+b+c).由于｛S｝前两项为偶次项，所以当a,b,c有任何负值时，最后一项-abc(a+b+c)显然不小于a,b,c为正值的值.故我们设a,b,c>0.当a>b>c>0时：S=2c4+4a2b2—abc(a+b+c)>3a2b2—abc(a+b+c)>0；cS+2S,=2c4+4a2b2+4b4+8c2a2—3abc(a+b+c)cb3a2b2+(a2b2+4c2a2)+(4b4+4c2a2)—3abc(a+b+c)>0Sa=2a4+4b2c2—abc(a+b+c)=a4+(a4+b2c2)—abc(a+b+c)a4+2a4b2c2—abc(a+b+c)=a4+2a2bc—abc(a+b+c)>0S+2S,=2a4+4b2c2+4b4+8c2a2—3abc(a+b+c)ab(a4+4b2c2)+(4b4+4c2a2)+(a4+4c2a2)—3abc(a+b+c)>0即：当a>b>c时，s>0，S>0，S+2Sk>0，S+2Sk>0；acabcb根据23.2SOS法第(3)条：S>0.证毕.设a,b,c,d>0，且a+b+c+d+abcd=5，求证：1+1+1+1>4.abcd解析：本题采用琴生不等式.构建函数：f(x匚1,在x>0区间，f(x)为向下凸函数.x根据琴生不等式(21)：对于向下凸函数，均值的函数值不大于函数的均值

即：/(〃)+/3)+/(c)+/(d)>/(a+b+c+d即：/(即：/(〃)+/3)+/(c)+/(d)>/(a+b+c+d即：/(«)+f(b)+/(c)+/(d)N4f("+"+‘+")①4将/(元)=,及a+A+c+d=5-abed代入①式得：x-24.一―abeda+b+c+d165-abed由均值不等式：5-abed=a+b+c+d>4^/abed(3)设：t=4/abcd>0,则|③式为：5-t4>4t，即：t4+4t-5<0即,（方-7）（，3+#+，+5）W0（?）因为，>。，所以#+#+/+5>0则由④式得：，VI,故：此（0,八⑤将⑤式代入②式得：l+l+l+l>jl=4.证毕.abed5-1另：采用拉格朗日乘数法.设：fia^b^c^d)=-+—+-+—,g(a,b,cyd)=a+b+c+d+abed-5abed贝(I：拉氏函数：L=f-Xg偏导数:些~=--入—=X(a-abed)-0，即：-=-a(a-abed)dadadaa2aX同理：A=-b(b-abcd)；—=-c(c-abed)；—=-d(d-abed).则：a(a—abed)=b(b—abed),BP：a2-b2=(a-b)abcd即：(a-b)(a+b-abed)=0⑥故：a=bs&a+b-abcd=0.同理可得«a=b=c=d.而由a+b—abed=0,b+c-abed=0,将，同样得到：a=b=c=d

故极值点：a=b=c=d=1.即f(a,b，c,d)=1+1+1+1的极小值为4.abcd设不等式：ab(a2一b2)+bc(b2一c2)+ca(c2一a2)<M(a2+b2+c2)2对一切实数a，b，c都成立，求M的最小值.解析：注意到ab(a2一b2)+bc(b2一c2)+ca(c2一a2)=(a一b)(b一c)(a一c)(a+b+c)则不等式ab(a2-b2)+bc(b2-c2)+ca(c2-a2)<M(a2+b2+c2)2TOC\o"1-5"\h\z变为(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)<M(a2+b2+c2)2①⑴设：x=a一b；y=b一c；z=c一a；s=a+b+c，则：x+y+z=0②及：a2+b2+c2=[[(a+b+c)2+(a一b)2+(b一c)2+(c-a)21=](S2+x2+y2+z2)33代人①式：sxyz<9M(s2+x2+y2+z2)2即：9sxyz<M(s2+x2+y2+z2)2③其中，x，y，z，seR⑵③式两边xyz与x2+y2+z之间的关系由②式限制.由于x+y+z=0，3个变量x，y，z中有两个的符号相同，不妨设为x，y>0.因为x，y=0时，a=b=c，①式只要M>0即可.当x，y>0时，z=-(x+y)，设t=x+y=—z，由均值不等式xy<(x+y)2得：4sxyz=sxyz=sxy(x+y)<s-t3当x=y时，④式得等号成立.⑶由均值不等式得:

2s2t62s2t6=2s2•t2•t2•t2<’2s2+t2+t2+t2Y即：2st3<=—(s2+—t2)2<一(s2+X2+y2+Z即：2st3<424即：42st3<(s2+X2+y2+Z2)2⑤上面用到了：3t2=t2+2t2=(x+y)2+2z2<2x2+2y2+2z2⑷由⑤式得：，⑷由⑤式得：，st3<—162(s2+X2+y2+a2⑥将⑥式代入④式得：sxyz<i1^2(s2+x2+y2+z2)2=3^-(s2+x2+y2+z2)2于是：9sxyz<——(s2+x2+y2+z2)2⑦32比较®⑦两式得：M2号,故：M的最小值为93；.27.24设a,b,c>0，且a+b+c=3，求证：(a2b+b2c+c2a)(ab+bc+ca)<9.解析：采用uvw法.⑴齐次化：27(a2b+b2c+c2a)(ab+bc+ca)<(a+b+c