函数及其表示、定义域、解析式、值域的求法

函数的概念与表示法疑难点、易错点剖析1、映射是特殊的对应，其“特殊性”在于，它只能是“一对一”或“多对一”的对应，不能是“一对多”的对应，故判断一个对应是否是映射的方法是：首先检验集合A中的每一个元素是否在集合B中都有像；然后看集合A中每个元素的象是否唯一。另外映射是有方向性的，即A到B的映射与B到A的映射是不同的。问题一：以下对应中，哪些是映射？1-12-214f：平方12341964张三李四王五赵高刘邦关公ABBBAA图1图2图35743194AB图4问题二：判断下列对应是否为从集合A到集合B的映射。要弄清映射定义中如下几点：1、“对应法则”重在效果，未必要写出，可以“尽在不言中”；对应法则未必都有能用解析式表达。2、A中的第一个元素都有象，且唯一；B中的元素未必有原象，即使有，也未必唯一。3、若对应法则为f，则a的象记为f（a）。4、映射是特殊的对应：“多对一”，“一对一”的对应是映射；“一对多”的对应不是映射。2、函数是特殊的映射，其特殊性在于，集合A与集合B只能是非空数集。即函数是非空数集A到非空数集B的映射。问题三：以下映射中。哪些是函数？12341964BA图1张三李四王五赵高刘邦关公BA图2（1）（2）（3）A={平面ɑ内的三角形}，B={平面ɑ内的圆}，f：三角形该三角形的内切圆对函数要注意：1、函数是映射，映射不一定是函数，只有两非空数集之间的映射才是函数；2、要克服“函数就是解析式”的片面认识，有此对应法则很难甚至于无法用解析式表达（可用列表法图象法表示出来）3、定义域=原象集合A，值域C象集合B。3、对函数符号f（X）的涵义的理解：f（X）是表示一个整体符号，而记号“f”可看作是对“x”施加的某种法则（或运算）“f”可看作一部机器，把“x”输入“f”中，输出函数值。4、函数有三要素：定义域、值域、对应法则。只有当两个函数的三要素相同时，它们才是同一函数。5、定义域优先原则：函数定义域是函数的灵魂，它是研究函数的基础依据，对函数性质的讨论，必须在定义域上进行，坚持定义域优先的原则，之所以要做到这一点，不仅是为了防止出现错误，有时，优先考虑定义域还会解题带来很大的方便。一、判断两个函数是否是同一函数例1、下列各组函数中，表示同一函数的是：（）变式：下列四组函数中，其函数图像相同的是（）CD二、对函数概念的理解-22xy-22xy-22xy-22xyOOOO222ABCD变式：已知函数f（x）的定义域为[-2，4]，在同一坐标系下，函数y=f（x）的图象与直线x=2的交点个数是（）A、0个B、1个C、2个D、0个或1个B三、对映射概念的理解例3、设f：M→N是集合M到集合N的映射，下列说法正确的是（）A、M中每一个元素在N中必有象；B、N中第一个元素在M中必有原象；C、N中每一个元素在M中的原象是唯一的；D、N是M中所有元素的象的集合。A变式：映射f：A→B，其中A={-3，-2，-1，1，2，3，4}，集合B中元素都是A中的元素在映射f下的象，且对于任意的a∈A，在集合B中和它对应的元素是|a|，则B中元素有（）A、4个B、5个C、6个D、7个A四、如何确定映射的个数例4、设集合M={-1，0，1}，N={-2，-1，0，1，2}，如果从M到N中的映射f满足条件：对M中的每一个元素x与它在N中的象f（x）的和都是奇数，则这样的映射f共有多少个？18个变式：若A={1，2，3，4}，B={a，b，c}，a，b，c∈R，则A到B的映射有

个，B到A的映射有

个，A到B的函数有

个。818164五、对函数符号f（x）的理解CBD求函数的定义域1.方法:

常规方法分母根式(开偶次方)真数底数指数为零时，底数不为零例题:解:依题有:解得:练习:解:依题有2.复合函数求定义域的几种题型解:由题意知:解：由题意知:解：由题意知:解：由题意知:练习3:题型三：已知函数的定义域，求含参数的取值范围(1)当K=0时,3≠0成立解:（1）m=0时5＞0成立解：归纳小结：求定义域的方法：（1）常规求定义域的方法（1）分母（2）根式（开偶次方）（3）真数（4）底数（5）指数为零时，底数不为0（4）已知函数的定义域,求含参数的取值范围布置作业：求函数的解析式求函数的解析式

把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫函数的解析式，简称解析式。函数解析式的常用方法有：待定系数法换元法解函数方程组法代入法凑配法在给定条件下求函数的解析式f(x),是高中数学中经常涉及的内容,形式多样,没有一定的程序可循,综合性强,解起来有相当的难度,但是只要认真仔细去探索,还是有一些常用之法.下面谈谈求函数解析式

f(x)

的方法.（一）、待定系数法设二次函数满足且图象在轴上的截距为1，在轴截得的线段长为，求的解析式。例1解法一、又解得设由得解法二、得的对称轴为由设解法三、有对称轴又与轴交点为故设变式:设f(2x)+f(3x+1)=13x2+6x-1,求f(x).

解:由原式可知

f[g(x)]

中的

g(x)

一个是

2x,

另一个是

3x+1,都是一次式.而右端是二次式，故

f(x)

是一个二次式,则可设:f(x)=ax2+bx+c,从而有:f(2x)+f(3x+1)=13ax2+(6a+5b)x+(a+b+2c).比较系数得:a=1,b=0,c=-1.从而有:f(x)=x2-1.

评注:先分析出

f(x)

的基本形式,再用待定系数法,求出各系数.又由已知f(2x)+f(3x+1)=13x2+6x-1,∴13ax2+(6a+5b)x+(a+b+2c)

与

13x2+6x-1

表示同一个式子,即13ax2+(6a+5b)x+(a+b+2c)≡13x2+6x-1

.（二）、换元法例2、根据条件，分别求出函数的解析式（1）解：令则且即换元法凑配法用替代式中的又考虑到（2）解：所以f(x)=2lnx-3(x>0).

评注:通过换元,用“新元”代替原表达式中的“旧元”,从而求得

f(x).又如:已知f(cosx-1)=cos2x.求f(x).变式:已知f(ex)=2x-3,求f(x).解:设t=ex,则x=lnt且t>0,有:f(t)=2lnt-3(t>0).f(x)=2x2+4x+1(-2≤x≤0)（三）、解函数方程组法例3、已知，求解：由解得变式已知f(x)+f()=1+x(x≠0,1),求f(x).xx-1解:记题中式子为①式,用代替①中的

x,整理得:xx-1f()+f()=②,xx-11-x1x2x-1再用代替①中的

x,整理得:1-x1f()+f(x)=③,1-x11-x2-x解由

①,②,③

组成的方程组,得:2x(x-1)x3-x2-1f(x)=.

评注:把f(x),f(),f()都看作“未知数”,把已知条件化为方程组的形式解得f(x).又如:已知af(x)+bf()=cx,其中,|a|≠|b|,求f(x).xx-11-x

11xf(x)=(ax-

).a2-b2cbx（四）、代入法例4、设函数的图象为，关于点对称的图象为，

求对应的函数的表达式。设图象上任一点，则关于对称点为在上，解：即即故例5已知

f{f[f(x)]}=27x+13,且

f(x)

是一次式,求

f(x).解:由已知可设

f(x)=ax+b,则:

五、迭代法f[f(x)]=a2x+ab+b.∴f{f[f(x)]}=a3x+a2b+ab+b.由题意知:a3x+a2b+ab+b≡27x+13.比较系数得:a=3,b=1.故f(x)=3x+1.评注:本题的解法除了用迭代法,还用了待定系数法.★课堂练习1.已知f(x)是一次函数,且f[f(x)]=4x-1,求f(x)的解析式.5.若3f(x-1)+2f(1-x)=2x,求f(x).2.已知f(4x+1)=,求f(x)的解析式.

4x+616x2+14.已知2f(x)+f(-x)=10x,求f(x).

6.已知f(0)=1,f(a-b)=f(a)-b(2a-b+1),求f(x).7.已知

f(x)

是

R

上的偶函数,且f(x+4)=f(-x),当x∈(-2,2)时,f(x)=-x2+1,求当x∈(-6,-2)时f(x)的解析式.f(x)=-2x+1

或

2x-

13x+5x2-2x+2f(x)=f(x)=x2-1(x≥1)f(x)=

10x

-

10-x

1323f(x)=2x+

25f(x)=x2+x+1f(x)=-x2-8x-158.已知函数f(x)=求f(x+1).x2,x∈[0,+∞),,x∈(-∞,0),1xf(x+1)=(x+1)2,x∈[-1,+∞).,x∈(-∞,-1),x+113.已知f(

x

+1)=x+2

x

,求f(x).

9.已知

F(x)=f(x)-g(x),其中

f(x)=loga(x-b),当且仅当点

(x0,y0)在

f(x)

的图象上时,点

(2x0,2y0)

在

y=g(x)

的图象上(b>1,a>0

且a≠1),(1)求

y=g(x)

的解析式;(2)当

F(x)≥0

时,求

x

的范围.解:(1)

由已知y0=loga(x0-b),2y0=g(2x0)

g(x)=2loga(-b).x2(2)

由(1)

知:F(x)=f(x)-g(x)=loga(x-b)-2loga(-b).x2故由

F(x)≥0

可得:loga(x-b)≥2loga(-b).x2当

a>1

时,x-b≥(-b)2,x2-b>0,x2解得:2b<x≤2b+2+2b+1.解得:x≥2b+2+2b+1.当

0<a<1

时,x-b≤(-b)2,x2

-b>0,x2综上所述:当

a>1

时,2b<x≤2b+2+2

b+1;当

0<a<1

时,x≥2b+2+

2

b+1.函数值域的常见解法1．函数的值域的定义在函数y=f(x)中，与自变量x的值对应的y的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。知识点2．确定函数的值域的原则

①当函数y=f(x)用表格给出时，函数的值域是指表格中实数y的集合；

②当函数y=f(x)用图象给出时，函数的值域是指图象在y轴上的投影所覆盖的实数y的集合；

③当函数y=f(x)用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定；

④当函数y=f(x)由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义确定。

3．求函数值域的方法①直接法:从自变量x的范围出发，推出y=f(x)的取值范围②二次函数法：利用换元法将函数转化为二次函数求值域③反函数法：将求函数的值域转化为求它的反函数的值域④判别式法：运用方程思想，依据二次方程有根，求出y的取值范围；⑤单调性法：利用函数的单调性求值域；⑥不等式法：利用平均不等式求值域；⑦图象法：当一个函数图象可作时，通过图象可求其值域⑧求导法：当一个函数在定义域上可导时，可据其导数求最值，再得值域；⑨几何意义法：由数形结合，转化斜率、距离等求值域。例1