国家教师资格证考试·数学学科知识与教学能力·全真模拟卷-解析

2022年下半年中小学国家教师资格考试（初级中学）模拟卷1..............................................22022年下半年中小学国家教师资格考试（初级中学）模拟卷2..............................................92022年下半年中小学国家教师资格考试（高级中学）模拟卷1............................................172022年下半年中小学国家教师资格考试（高级中学）模拟卷2............................................252022年下半年中小学国家教师资格考试（初级中学）模拟卷1一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1.【答案】A【考点】高等数学——极限与连续——函数的极限【解析】本题主要考查极限的相关知识。由题，当푥→时，푥3为无穷小，1cos为有界函数，因此由“无穷小与有界函数的乘积”得该极限仍为无穷小。푥2故正确答案为A。2.【答案】C【考点】高等数学——极限与连续——函数间断点及分类푓(푥)=푥−푥3푥取푠任何整数时，=0，此时푓(푥)无意义，因此푓(푥)有无穷多个间断点，但是可去间断点为极限存在的点，因此该点为푥−푥3=0的解，解得푥=0或。푥−푥31−3푥21=；휋lim=lim푥→0푠푥→0휋푐표푠휋푥푥−푥31−3푥22=；휋lim=lim푥→−1푠푥→−1휋푐표푠휋푥푥−푥31−3푥22lim=lim=；푥→1푠푥→1휋푐표푠휋푥휋故正确答案为C。3.【答案】B【考点】高等数学——导数与微分——导数的概念【解析】本题主要考查导数的相关知识。由题푓’(푥)=퐴，则0푓(푥+ℎ)−푓(푥−ℎ)푓(푥+ℎ)−푓(푥−ℎ)푓(푥+ℎ)−푓(푥−ℎ)00limℎ→000=퐴，因此lim00=2lim=。ℎ→0ℎℎ→0故正确答案为B。4.【答案】C【考点】线性代数——行列式——行列式的性质111213|푎푎푎|=푎푎31푎32푎33111213111213|−푎푎+푎11−푎푎+푎12−푎|=2|−푎푎+푎11−푎푎+푎12−푎|=푎+푎푎+푎313213333132133311푎12푎13푎111213−2||=−2|푎푎푎23|=−2푎。푎+푎11푎+푎12푎+푎13푎31푎32푎33313233故正确答案为C。5.【答案】D【考点】空间与图形——解析几何——空间平面与直线푥−11푦−22푧−33==的方向向量为⃗，则⃗=，并且直线经过点。设平面的法向量11⃗푖푗푘为⊥⊥=)=×=|12|=−푖+11111푥−21푦−3−1푧−4−1⃗−푘=−1)⃗为===−1,−1)22⃗푘푖푗所求直线的方向向量为푠，则푠⊥，푠⊥，因此푠=×=|−12−1|=221−1−1푥−3⃗−−푘=(−3,−1)。又直线经过点(3,4,5)，则所求直线方程为=−3푦−4−2푧−5−1=。故正确答案为D。6.【答案】B【考点】高等数学——级数——幂级数11푢=푛+1=，푛(푛+2)∙2푛(푛+3)∙2푛+11푢푛|=lim|(푛+2)∙2푛|=lim2(푛+3)|=，因此收敛半径为2。则푅=lim|1푛→∞푢푛→∞푛→∞푛+2푛+1(푛+3)∙2푛+1∞∞(−2)푛−1(−1)푛−12(푛+2)∞当푥=∑=∑(푛+2)∙2푛푛=1∞∞푛−1111푥=∑=∑=∑2푃(푛+2)∙2푛2(푛+2)푛+2푛=1푛=1级数的性质可知级数发散；因此收敛域为。故正确答案为B。7.【答案】D【考点】教材教法——数学课程标准——课标内容与理念【解析】本题考查的是教学知识的相关知识。学生评价不是为了满足家长需求为目的的。故正确答案为D。8.【答案】C【考点】教材教法——数学课程标准——课标内容与理念把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。故正确答案为C。二、简答题（本大题共5小题，每小题7分，共35分）9.【参考答案】【考点】高等数学——导数与微分——导数的概念푓(푥+ℎ)−푓(푥)ℎ푠(푥+ℎ)−푠ℎ1ℎℎ′()푓푥=lim=lim=lim∙(푥+)=ℎ→0ℎ→0ℎ→0ℎ22ℎ푠ℎlim(푥+)∙2=。ℎ2ℎ→0210.【参考答案】【考点】高等数学——积分——定积分11设∫푓(푡)푑푡=퐴，则푓(푥)=푥+，等式两边同时积分得(푥+=∫00111111(푥+=(푥2+|=++=퐴퐴=∫푓(푡)푑푡∫0022201−，所以푓(푥)=푥−。2【参考答案】【考点】高等数学——导数与微分——微分学基本定理3−푥221由题可知分段点为푥=，因为lim=1，lim=，푓(1)=1，所以푥→1−푥→1+푥lim푓(푥)=푓(1)=，因此函数在푥=处连续。函数在的非分段点处均为푥→1푓(푥)−푓(1)初等函数，因此函数푓(푥)在区间上连续。又푓′=lim=−푥→1−푥−13−푥21−1푥−12푓(푥)−푓(1)푥→1+푥−13−푥−22=lim=−1，푓1=lim′()=lim==−1，所以lim+푥→1−푥−1푥→1−2(푥−1)푥→1+푥−1′()′(，函数푓(푥)在푥=处可导，则函数푓(푥)在区间[上可导。푓1=푓1−+综上，函数푓(푥)在区间上满足拉格朗日定理条件。12.【参考答案】学生思考。生活问题数学化些生活中常见的实例，提出问题，学生列出关系式，引出课题。函数时，教师通过几何画板展示不同函数图象，引导学生小组讨论图象的性质。手段，变静态为动态，变抽象为直观，变复杂为简单。13.【参考答案】【考点】教学技能——教学原则——巩固与发展（1）遵循记忆的规律，巩固所学知识。①通过加深理解，增强识记和保持。②通过归纳、类比、联想，促进再认、再现。（2）掌握遗忘的规律，复习所学知识。（3）巩固知识要着眼于发展能力。①基础知识的复习，要注重数学思想的培养和数学方法的训练。②综合知识的复习，要有计划、有步骤地进行题组训练。三、解答题（本大题1小题，10分）14.【参考答案】【考点】高等数学——极限与连续——函数的连续证明：因为函数푓(푥)在开区间(푎,푏)内连续，푎<푥<푥<푏，所以푓(푥)在12[푥,푥]푓(푥)在[푥,푥]上存在最大值푀1212与最小值푚，即在[푥,푥]上，푚≤푓(푥)≤푀，所以(푡+푡)푚≤푡푓(푥)+121211푡푓(푥)+푡푓(푥)푡푓(푥)≤(푡+푡)푀푡+푡>0，所以푚≤1122≤푀221212푡+푡12푡푓(푥)+푡푓(푥)函数的介值定理可得，存在푐∈[푥,푥]，使得1122=푓(푐)，即푡푓(푥)+1112푡+푡12푡푓(푥)=(푡+푡)푓(푐)，>0,푡>0)。221212得证。四、论述题（本大题1小题，15分）15问题用代数方法，两方面有机结合才是完整的数形结合．要引导学生总结数形结合思想方法的便利之处，并找到数形结合思想方法的限制．最后多利用练习题巩固数形结合的思想方法．五、案例分析题（本大题1小题，20分）16.【参考答案】【考点】教学技能——教学评价——课堂教学评价（1）教学优点：①新课程标准指出数学教学活动应激发学生的兴趣，调动（2）需改进的方面：新课标要求教师不仅要教会学生知识，还要教会学生宽学生的思考范围，增强学生各方面能力的提升。置一些问题串来引导学生，让所有的学生都能达到较好的学习效果。六、教学设计题（本大题1小题，30分）17.【参考答案】【考点】教学技能——教学设计——教学设计工作（1）教学目标知识与技能目标：掌握多边形内角和公式，并能运用公式解决简单问题。抽象的研究问题的方法。学活动充满着探索性和创造性，增强学习数学的兴趣和勇于创新的精神。（2）教学重难点教学重点：多边形内角和公式的探究过程。角形的个数。（3）教学过程一、导入新课教师活动：通过复习导入的方式，复习三角形内角和与矩形内角和，提问：任意四边形、五边形、六边形……的内角和是多少？学生活动：就教师的提问展开独立思考或进行讨论。教师活动：教师顺势引出课题——多边形的内角和。二、探索新知1.任意四边形内角和的内角和都是360°，那么是否任意四边形的内角和都等于360°？能否证明？组价。三角形，即可求出四边形的内角和。刚好是四边形的内角和。2.探究多边形内角和束之后请小组代表分享成果，教师给予积极的评价。前后四人为一组，合作完成表格的前两行。3.总结归纳，得出结论教师活动：继续提问：如果是边形，内角和又是多少呢？怎么利用分割法求边形的内角和？引导学生观察四边形、五边形、六边形对应的数据，进行归纳猜想。学生活动：预设学生根据四边形、五边形、六边形的内角和得出规律：边形从一顶点出发的对角线条数为(푛−条、分割成的三角形个数为(푛−个，内角和为°×(푛−，完成表格。三、巩固提高找学生代表到黑板进行板演，针对结果进行相应评价。1.八边形的内角和是多少度？2.已知一个多边形的内角和是1980°，则这个多边形是几边形？学生活动：学生进行相关练习，展示结果。四、课堂小结教师活动：教师利用课件展示以下几个问题：（1）本节课学习了哪些主要内容？（2）我们是怎样得到多边形内角和公式的？（3）在探究多边形内角和公式的过程中，连接对角线起到什么作用？学生活动：学生畅谈本节课收获。五、布置作业你能否想到其他分割方法推导出多边形的内角和公式？2022年下半年中小学国家教师资格考试（初级中学）模拟卷2一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1.【答案】D【考点】高等数学——极限与连续——函数的极限2푥+푎푥+푏【解析】本题主要考查极限的相关知识。由题可得lim=푥→2푥−2lim(푥−=0，因此lim(푥+푎푥+푏=02)，令2푥+푎푥+푏=푥−+푚)，(푥→2푥→2则lim(푥+푚)=푚=푥2+푎푥+푏=(푥−+=푥2−푥−푥→2以푎=，푏=。故正确答案为D。2.【答案】B【考点】高等数学——导数与微分——导数的运算푓(푥)−푓(2)【解析】本题主要考查导数的相关知识。由题，푓′=lim=푥→2푥−2(푥−1)(푥−2)∙∙∙(푥−100)lim푥→2=1∙(−1)∙⋯(−98)=98!。푥−2故正确答案为B。3.【答案】C【考点】高等数学——极限与连续——渐近线2푥+1lim=0(푥−1)2푥→∞2푥+1푦=是其水平渐近线；又因为lim=，所以푥=是其垂直渐近线。(푥−1)2푥→1故正确答案为C。4.【答案】A【考点】线性代数——矩阵——矩阵的运算10123퐴=(210)퐵=(2)，02则=(54)。4−1故正确答案为A。5.【答案】B【考点】空间与图形——解析几何——空间平面与直线|6+4+0|的距离公式可得푑==。√9+16+25故正确答案为B。6.【答案】B【考点】高等数学——级数——幂级数11푢=푛+1=푛푛∙3푛(푛+1)∙3푛+11푢푛3(푛+1)푛→∞푛푅=lim||=lim|푛∙3푛|=lim||=3，因此收敛半径为3，所以1푛→∞푢푛→∞푛+1(푛+1)∙3푛+1+<，−5<푥<。当푥=−5时，级数为∑∞∞(−3)푛(−1)푛=∑，由莱布尼兹判别法可知级푛∙3푛푛푛=1∞∞3푛数收敛；当푥=时，级数为∑=∑1，由푃级数的性质可知级数发푛∙3푛푛푛=1푛=1散；因此收敛域为[−5,1)。故正确答案为B。7.【答案】B【考点】课程知识——数学史——中国古代数学数、小数、负数，还第一次用小数表示无理根的近似值。故正确答案为B。8.【答案】C【考点】教材教法——数学课程标准——课标内容与理念答案为C。二、简答题（本大题共5小题，每小题7分，共35分）9.【参考答案】【考点】高等数学——导数与微分——导数的意义与应用11左右同时对푥求导得∙(1+′)=푒푦∙′푥=푦=时，∙22휋2[푐표푠(푥+푦+)]()4[1+′(0)]=′(0)，2[1+′(0)]=′(0)，解得′(0)=。故切线方程为푦−0=−0)，即푦=−2푥。10.【参考答案】【考点】高等数学——积分——积分的应用由题意作出平面图形，绕푥轴旋转一周所生成的旋转体的体积，则푉=푉−푥122522푥휋2휋푥8휋524轴푉=휋×1×2−∫휋()푑푥=−∫푥푑푥=2휋−×|=2041601650211旋转一周所生成的旋转体的体积，则푉=휋(√푑푦==∫∫푦0021푦4휋×|=。20【参考答案】【考点】空间与图形——解析几何——空间平面与直线푥+=4−2푦=2{푥=在直线1对于直线푙푧={1푦=1上，也在平面上。⃗푖푗푘⃗|=+−=(8,5,−6)。令直线푙的方向向量为⃗，则⃗=|1232−21111又令直线푙的方向向量为⃗=−1)的法向量为⊥222⃗푘푖푗⃗|=푖−−=−4,。，⊥⃗，因此=⃗×=|85−621−11212故平面的方程为(푥−−−−−=푥−−2푧+2=0。12.【参考答案】【考点】课程知识——高中数学课程知识——课程概述数学抽象是指通过数量关系与空间形式的抽象，得到数学研究对象的素养。的关系，从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，并用数学语言予以表征。法与思想，认识数学结构与体系。题。义的必要性。13.【参考答案】【考点】课程知识——高中数学课程知识——课程实施理的欲望，产生学习的自觉性，迸发出极大的学习热情。三、解答题（本大题1小题，10分）14.【参考答案】【考点】高等数学——导数与微分——微分学基本定理1푓(푥)在푓(−푥)=−푓(푥)푓(0)=。令퐹(푥)=푓(푥)−푥퐹(푥)在퐹(0)=푓(0)−0=，퐹(1)=푓(1)−1=0，满足罗尔定理，因此存在휉∈，使得퐹′(휉)=0，即푓′(휉)−1=0，푓′(휉)=。得证。（2）由于푓(푥)在上是奇函数，则푓′(푥)在[−1,1]上是偶函数，因此由（1）可得，存在휉∈，푓′(−휉)=푓′(휉)=。令퐺(푥)=푒푥[푓′(푥)−퐺(푥)在퐺(휉)=퐺(−휉)=0휂∈(−휉,휉)휂∈퐺′(휂)=0即푓′′(휂)+푓′(휂)=。，得证。四、论述题（本大题1小题，15分）15.【参考答案】【考点】课程知识——高中数学课程知识——课程内容几何对象。（1）解析几何使得数学的研究方向发生了一次重大的转折：以几何为主导的数学转变为以代数和分析为主导的数学；（2）解析几何使得以常量为主的数学转变为以变量为主的数学为微积分到的诞生奠定了基础；（3）解析几何使代数与几何融为一体，实现了几何图形的数字化，是数学化时代的先声；（4）代数的几何化和几何的代数化，使得人们摆脱了现实的束缚，它带来维的空间。五、案例分析题（本大题1小题，20分）16.【参考答案】【考点】教学技能——教学评价——课堂教学评价（1）上述教学片段中，教师的教学行为值得肯定之处有：①教师先让学生画出一次函数푦=−3和学生4回答出问题的角色，充分体现了学生是学习的主体。上，学生积极踊跃进行思考，并回答教师的问题，答案多样化。（2）存在的问题：①在整个教学过程中，在提问回答的交流中，针对学生如何画反比例函数的图象。六、教学设计题（本大题1小题，30分）17.【参考答案】【考点】教学技能——教学设计——教学设计工作（1）教学目标知识与技能目标：能用列表法计算概率，并解决实际问题。用，提高分析问题和解决问题的能力。解决生活中的实际问题。（2）教学重点和难点教学重点：列表法的概念。教学难点：列表法求概率的步骤方法。（3）教学过程环节一：问题导入又怎样计算呢？引导学生思考。学生活动：就教师的问题进行思考。教师活动：教师顺势引出课题——列表法求概率。环节二：探究新知①合作探究，得出结论么你会列出下列表格所有可能的结果吗？组织学生根据目标问题四人一组进行表回答结果，教师评价。学生活动：通过自主探究，学生列出表格。②总结归纳，知识应用的情况记为事件，你能求出事件A的概率吗？如果把两枚骰子的点数和是9记为事件BB的概率吗？如果把至少有一枚骰子的点数是2记为事件C，你能求出事件C的概率吗？给予一定的时间，组织学生思考并抢答或自主探究再回答，教师针对学生的回答结果作相应评价。学生活动：采取圈一圈的方法得到所有可能出现的结果有36种，满足事611件A的结果有6푃(퐴)==푃(퐵)=，366911푃(퐴)=。362问题。环节三：巩固提升结果给予评价并总结。环节四：课堂小结教师利用课件展示以下问题：①今天你学会了什么？②你要提醒大家注意什么？让学生以小组为单位，每位学生充分发言，交流学习所得。环节五：布置作业完成课后练习第1、3题。2022年下半年中小学国家教师资格考试（高级中学）模拟卷1一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1.【答案】C【考点】高等数学——极限与连续——函数的连续1【解析】本题主要考查连续的相关知识。由题，lim푓(푥)=lim(1+=푥푥→0푥→01∙22lim(1+=푒，푓(0)=푘，又푓(푥)在푥=0处连续，所以lim푓(푥)=푓(0)，푥→0푥→0即푘=푒2。故正确答案为C。2.【答案】C【考点】高等数学——导数与微分——微分学基本定理푓(푥)在区间上连续，在内可导，且푓(1)=푓(5)=0，所以푓(푥)在区间[1,5]上满足罗尔定理，由푓′(푥)=−，可知在内存在一点휉=，使得푓′(휉)=。故正确答案为C。3.【答案】C【考点】线性代数——矩阵——矩阵的初等变换【解析】本题主要考查秩的相关知识。由题，对矩阵进行初等行变换可得1021021021022−132450−1−10−1−10−1−100−3()→()→()→()04100−336206−400000行数为3，因此푅(퐴)=。故正确答案为C。4.【答案】C【考点】线性代数——线性方程组——一般线性方程组征值。故正确答案为C。5.【答案】D【考点】空间与图形——解析几何——空间平面与直线【解析】本题主要考查直线与平面位置关系的相关知识。由题，令直线푙：푥+++1=0−푦−+3=0{的方向向量为⃗，则⃗=×−1,=11⃗푖푗푘⃗|=+−=−7)。令平面的法向量为，则|1322−1=。因为⃗//，所以直线푙⊥平面。1故正确答案为D。6.【答案】C【考点】概率论与数理统计——概率——随机事件的概率【解析】本题主要考查概率的相关知识。由题，甲乙丙三人每人射击一次，1没有射中靶心，说明甲乙丙三人都没有射中靶心，因此概率为(1−)(1−21311)(1−)=。44故正确答案为C。7.【答案】A【考点】课程知识——数学史——几何作图三大难题问题、立方倍积问题、化圆为方问题。故正确答案为A。8.【答案】D【考点】课程知识——高中数学课程知识——教学与评价建议【解析】本题主要考查学业质量水平的相关知识。情境主要是指现实情境、数学情境、科学情境；问题是指在情境中提出的数学问题。故正确答案为D。二、简答题（本大题共5小题，每小题7分，共35分）9.【参考答案】——极限与连续————导数与微分——导数的运算；2由方程−+푥=푥=时，푓(0)=lim푛[푓()−푛→∞푛222푓()−1푛푓(0+)−푓(0)푓(0+)−푓(0)′()=0=lim=2lim푛2=푛2−1푛→∞푛→∞2푛푛푛푛1+푥=两边同时对푥进行求导得+푥푦−∙푦+1=푥=，′)′푦푦=代入得푦0=1′()。2故原式lim푛[푓()−=′(0)=′(0)=。푛→∞푛10.【参考答案】【考点】高等数学——导数与微分——导数的意义与应用11(0,푓′(푥)=−푓′(푥)=푥푒푥=푒0<푥<푒푓푥>0푓(푥)在(0,푒푥>푒푓′(푥)<0푓(푥)在(푒,푓(푥)在푥=푒处取得极大值为푓(푒)=푘>。′()又lim푓(푥)=−∞，lim푓(푥)=−∞，因此푓(푥)有两个零点。푥→0푥→+∞【参考答案】【考点】概率论与数理统计——概率——随机事件的概率（1）由∫+∞푓(푥)푑푥=，得∫1푥푑푥+(푘푥−=，解得푘=。∫−∞01푥0≤푥<1（21푋具有概率密度函数푓(푥)={푥−11≤푥<푋的分0其它，0푥<0푥∫푥푑푥0≤푥<10布函数퐹(푥)=即퐹(푥)=1푥∫푥푑푥+∫(푥−1≤푥<201{1푥≥20푥2푥<010≤푥<121。2푥−푥+11≤푥<22{1푥≥213311（3）푃{<푥<}=퐹()−퐹()=。2222212.【参考答案】【考点】课程知识——高中数学课程知识——课程概述（1=最邻近的属概念种差。概念的种差，就是在同一个属概念里，一个种概念与其他种概念之间本质属性的差别。例如：有一个角是直角的平行四边形是矩形。例如：一组对边平行并且相等的四边形叫做平行四边形。邻近的属加种差的定义方法有两种特殊形式：种差来下定义的。是发生式定义。在其中，种差是描述圆的发生过程。另一对象对第三者的关系作为种差的一种定义方式。例如，若푎푏=푁，则log푁=푏（푎>0，푎≠）푎（2）揭示外延式定义：数学中有些概念，不易揭示其内涵，可直接指出概念”的方式下定义。①逆式定义法，的和、非、积运算叫做逻辑运算等等②约定定义法，例如：푎0=（푎≠0，=。13.【参考答案】【考点】课程知识——高中数学课程知识——教学与评价建议体现数学学科核心素养的四个方面如下：（1）情境与问题学问题；（2）知识与技能主要是指能够帮助学生形成相应数学学科核心素养的知识与技能；（3）思维与表达主要是指数学活动过程中反映的思维品质、表述的严谨性和准确性；（4）交流与反思方法，并能进行评价、总结与拓展。三、解答题（本大题1小题，10分）14.【参考答案】【考点】线性代数——线性方程组——线性方程组解的结构10231对增广矩阵퐵=(퐴,푏)=(2130)进行初等变换，有3012410231(21305)→30124102(01−1−600−5−7131푟;푟−3푟1213157510010201−1−63311푟×(−)→3푟+푟;푟3145231()→010−，可知푅(퐴)=71551001−755001−(55)17푥=−푥+145514푅(퐴,푏)=푥=푥+24557541푥=−푥−{15715−1514푥2为휂=，基础解系为휉=，故所求方程组得通解为()=55푥3175−−45()()011−75514푘+，其中푘为任意常数。557150−−51()()四、论述题（本大题1小题，15分）15.【参考答案】【考点】教学技能——教学实施——有效数学教学①在知识形成过程中培养数学概念、法则、公式、性质等知识都明显地写在教材中，是有“形”的，导；最后再引导学生归纳得出结论。②在问题解决过程中培养获取知识和独立解决问题的能力。③在反复运用过程中培养有效的普遍途径，数学思想方法也只有在反复运用中，才能得到巩固与深化。练，才能使学生真正地领悟数学思想方法，实现能力的提升。五、案例分析题（本大题1小题，20分）16.【参考答案】【考点】教学技能——教学评价——课堂教学评价（1푎=0开口方向对题目的影响。（2）一方面学生在解决不等式的过程中出现了计算上的错误，属于知识方致的。（3）正确答案选D项。不等式푎푥2+푥+푎<0的解集为空集，若푎=0，则不等式为푥<푎≠0푎푥2+푥+푎<0的解集为푦=푎푥2+푥+푎的开口向上且与푥푎>0且∆≤1，解得푎≥。2教学措施：①知识呈现的改进建议。运用在解题过程中。②教学方式的改进建议。规律，并且重视创设情境和知识总结，帮助学生构建数学体系。③必要的巩固练习。围绕教学重点、难点强化练习，针对易混、易错点对比练习。六、教学设计题（本大题1小题，30分）17.【参考答案】【考点】教学技能——教学设计——教学设计工作（1）由定义可知，푎푛+1−푎=푑，因此푛푎−푎=푑；21푎−푎=푑；32푎−푎=푑；43⋯⋯；푎−푎푛=푑；푛−1左右累加得푎−푎=(푛−1)푑，故푎=푎+(푛−1)푑。푛1푛1（2）教学目标推导过程及思想。解决问题的能力。的求知精神与细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯。（3）教学过程一、导入新课教师活动：教师PPT展示几道题目：1.我们经常这样数数，从0开始，每隔5数一个数，可以得到数列：0，5，10，15，20，25。2.小明目前会100地每天忘掉2个单词，那么在今后的五天内他的单词量逐日依次递减为：100，98，96，94，92。3.2000年，在澳大利亚悉尼举行的奥运会上，女子举重正式列为比赛项目，该项目共设置了74kg48，53，58，63。教师提出问题：这几组数有什么特点？数。教师活动：教师顺势引入新课——等差数列。二、探索新知环节一们应该注意哪些细节呢？能否将等差数列满足的关系式用数学符号进行表示呢？组织学生同桌之间进行讨论，讨论结束后找学生代表回答讨论结果学生活动：预设学生回答从第二项起”满足条件；公差푑一定是由后项减前푎푛+1−푎=푛푑（푛≥教师活动：教师再次提问：公差푑一定是大于0的吗？给予一定的时间，组织学生思考并抢答，教师针对学生的回答结果做相应评价。学生活动：预设学生得出结论公差可以是正数、负数，也可以是0。环节二导，交流讨论结束后，找学生代表回答讨论结果，教师评价。学生活动：经过小组讨论，预设学生给出通项公式的推导过程：根据等差数列的定义可得푎푛+1−푎=푑，所以푎−푎=푑，푎−푎=푑，푛2132푎−푎=푑⋯푎=푎+푑푎=푎+푑=푎+푎=푎+푑=푎+43213214313푑，⋯，以此类推푎=푎+(푛−1)푑。푛1环节三导学生完成并展示。学生活动：学生利用所学在练习册上完成例题。三、巩固练习答，或者找同学代表到黑板上进行板演，完成后教师针对结果给予评价并总结。四、课堂小结。教师引导学生可以从知识方面，能力方面或情感等方面畅谈本节课的收获，针对学生的回答，相机评价并总结。五、作业布置。学生完成书后剩余练习题或者自主设计一道能用本节课知识解决的生活实际问题。2022年下半年中小学国家教师资格考试（高级中学）模拟卷2一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1.【答案】D【考点】高等数学——导数与微分——导数的概念푓(푥)在푥=푓′(푥)=1(푥−1)푎푠푓(푥)−푓(1)푥−1112(1−푥)=lim푥−)푎−1存在，又是有lim푥→1=lim((1−푥)2(1−푥)푥→1푥−1푥→1lim(푥−푎−1=푎−1>0푎>。푥→1故正确答案为。2.【答案】C【考点】线性代数——矩阵——矩阵的运算102100【解析】本题主要考查逆矩阵的相关知识。由题，(21301)→325001102100102100(01−1−210)→(01−1−21→02−1−301100−14−2(010−1−11)，所以퐴=(−1−11)0011−21−14−2−1。0011−211−21故正确答案为C。3.【答案】B【考点】高等数学——积分——定积分푒푥(푡+1)푑푡，【解析】本题主要考查积分上限函数的相关知识。由题，푓(푥)=1∫푥′1111则푓′(푥)=(푒푥+1)(푒푥)′−(+()=푒+푒푥++。푥푥푥2푥3故正确答案为B。4.【答案】C【考点】高等数学——导数与微分——微分学基本定理【解析】本题主要考查泰勒公式的相关知识。由题，푓(푥)=1−+−⋯+24푥푥4!푥(−1)푛，则푓(푥)=，因此=。(2푛)!故正确答案为C。5.【答案】C【考点】空间与图形——解析几何——空间平面与直线【解析】本题主要考查直线与平面位置关系的相关知识。由题，令直线푙、푙的12⃗푘푖푗⃗方向向量分别为⃗、，则⃗=，⃗=||=−푖−푗+=1−101212021|∙|1(−1,푙与直线푙夹角휑的余弦值=12=휑=12||||212휋3。故正确答案为C。6.【答案】A【考点】线性代数——二次型——正定二次型和正定矩阵【解析】本题主要考查二次型的相关知识。由题，二次型2+푥푦+2对应矩1272阵的一阶顺序主子式为>0，二阶顺序主子式为|1|=>0，所以二次型41222是正定的。+푥푦+푦故正确答案为。7.【答案】A【考点】教学知识——教学方法——常用的教学方法力，发展智力的方法。故正确答案为。8.【答案】D【考点】课程知识——高中数学课程知识——教学与评价建议进而也考查教师教学的成效。通过考查，诊断学生学习过程中的优势与不足，改进教师的教学行为，促进学生数学学科核心素养的达成。故正确答案为。二、简答题（本大题共5小题，每小题7分，共35分）9.【参考答案】【考点】高等数学——导数与微分——导数的意义与应用224푎2푎23푏2푏2푥푦将点(2푎,√3푏)代入方程得−=−=(2푎,√3푏)在双曲线上且是푎2푏2切点。2푦푦′푏2푏푥2푎2方程左右两边同时对푥求导得−=0′=(2푎,√3푏)得切푎2푦2푎푏23푎线斜率푘===。√3푏푎2√3푎所以过点(2푎,√3푏)的切线方程为푦−=(푥−，即−−3푎3푎푎푏=푦−=−(푥−+−+푏=22)。10.【参考答案】【考点】高等数学——导数与微分——导数的运算（1）由题得，푓(푥)的定义域为푅，푓′(푥)=6푥2−−=−+1)，令푓′(푥)=，解得푥=或。因此푓(푥)在−1)或푓(푥)在푥=−1处取得极大值푓(−1)=，在푥=处取得极小值푓(3)=−51。综上푓(푥)的单调递增区间为−1)，，单调递减区间为(−1,3)，极大值为푓(−1)=，极小值为푓(3)=。（21푓(푥)在푓(−2)=푓(−1)=푓(1)=，所以函数푓(푥)在上的最大值푓(−1)=，最小值为푓(1)=−19。【参考答案】【考点】线性代数——线性变换——线性变换的运算（1푎=푏=푀=(2)|푀|=20|=푀∗=(30)0303021201)푀∗−1푀=。=(|푀|03（2）设曲线퐶：푥2+2=1上任意一点푃(푥,，它在矩阵푀所对应的线性变换푥푦′′푎0푥푥=푎푥作用下得到点푃′(푥′,푦′，则(0푏)()=()，即{，又点푃′(푥′,푦′在曲′푦′푦=푏푦2′22푥2푎푥线퐶′上，所以+′=，即+푏22=，又点푃(푥,满足푥2+2=1，442푎=2푎=4因此{，因为푎>，푏>，所以{푏=1。2푏=112.【参考答案】成，教学效益更是无从谈起。13.【参考答案】的过程包括：从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、用意识。培养学生的模型思想需要：念等的培养紧密结合.“问题情境——建立模型——求解验证”的数学活动体现了课程标准中模型思问题，培养创新意识。第三，结合综合实践活动的开展，进一步发展学生的数学建模能力。第四，通过数学建模改善学习方式。三、解答题（本大题1小题，10分）14.【参考答案】【考点】高等数学——极限与连续——函数的连续令푔(푥)=푓(푥+푎)−푓(푥+，则푔(0)=푓(푎)−푓(2푎)，由题当푥<时>，푓(푥)单增，因此푓(푎)<푓(2푎)，푔(0)<；푔(푎)=푓(2푎)−푓(3푎)푥>时<0푓(푥)푓(2푎)>푓(3푎)，푔(푎)>；푔(푥)=푓(푥+푎)−푓(푥+，则푔(푥)可导且