计数应用题解题策略

1、PAGE 5 -计数应用题解题策略数学选修2-31.4计数应用题教学反思沛县体育中学 李锋计数应用题题是排列列组合中中最常见见的题型型，由于于其解法法往往是是构造性性的, 因此方方法灵活活多样, 不同同解法导导致问题题难易变变化也较较大，而而且解题题过程出出现“重复”和“遗漏”的错误误较难自自检发现现。因而而对这类类问题归归纳总结结，并把把握一些些常见解解题模型型是必要要的。以以下结合合一些例例题讲述述了在解解决计数数应用题题时的一一般步骤骤和需要要注意的的细节。 一、把把握分类类计数原原理、分分步计数数原理是是基础例1在111名工人人中，有有5人只只能当钳钳工，44人只能能当车工工，另外外2

2、人能能当钳工工也能当当车工。现现从111人中选选出4人人当钳工工，4人人当车工工，问共共有多少少种不同同的选法法? 解：采用加加法原理理首先要要做到分分类不重重不漏，如如何做到到这一点点？分类类的标准准必须前前后统一一。 以以两个全全能的工工人为分分类的对对象，考考虑以他他们当中中有几个个去当钳钳工为分分类标准准。 第第一类：这两个个人都去去当钳工工，有种种； 第第二类：这两人人有一个个去当钳钳工，有有种； 第三类类：这两两人都不不去当钳钳工，有有 种。 因而共共有1885种。小结：把握握了“分分类的要要求”和和“分步步的合理理性”，解解决排列列组合问问题就快快速多了了。并能能提高解解题的准准

3、确度。二、注注意区别别“恰好”与“至少”例2从6双双不同颜颜色的手手套中任任取4只只，其中中恰好有有一双同同色的取取法有_。 解：通过合合理的分分步可以以完成任任务。 第一步步从6双双中选出出一双同同色的手手套，有有6种方方法； 第二步步从剩下下的十只只手套中中任选一一只，有有10种种方法； 第三三步从除除前所涉涉及的两两双手套套之外的的八只手手套中任任选一只只，有88种方法法。 由由于选取取与顺序序无关，因因而第二二步和第第三步中中的选法法重复一一次，因因而共种种。 小结：“恰恰好有一一个”是“只有一一个”的意思思。“至少有有一个”则是“有一个个或一个个以上”，可用用分类讨讨论法求求解，它它

4、也是“没有一一个”的反面面，故可可用“排除法法”。三、特特殊元素素，优先先处理；特殊位位置，优优先考虑虑 例3六人站站成一排排，求： (1)甲不在在排头，乙乙不在排排尾的排排列数 (2)甲不在在排头，乙乙不在排排尾，且且甲乙不不相邻的的排法数数 解：（11）先考考虑排头头，排尾尾，但这这两个要要求相互互有影响响，因而而考虑分分类。 第一类：乙乙在排头头，有种种站法。 第二类类：乙不不在排头头，当然然他也不不能在排排尾，有有种站法法，共5504种种站法 （2）第一一类：甲甲在排尾尾，乙在在排头，有有种方法法；第二二类：甲甲在排尾尾，乙不不在排头头，有种种方法；第三类类：甲不不在排尾尾,乙在在排头

5、，有有种方法法；第四四类：甲甲不在排排尾，乙乙不在排排头，有有种方法法。共有有3122种方法法。 小结：1、“在”与“不在”可以相相互转化化。解决决某些元元素在某某些位置置上用“定位法法”，解决决某些元元素不在在某些位位置上一一般用“间接法法”或转化化为“在”的问题题求解。2、排列组组合应用用题极易易出现“重”、“漏”现象，而而重”、“漏”错误常常发生在在该不该该分类、有有无次序序的问题题上。为为了更好好地防“重”堵“漏”，在做做题时需需认真分分析自己己做题思思路，也也可改变变解题角角度，利利用一题题多解核核对答案案四、“相邻邻”用“捆绑”，“不邻”就“插空”例4、7名名学生排排成一排排，下列

6、列情况各各有多少少种不同同的排法法？（1）甲、乙乙必须站站在一起起；（2）甲、乙乙互不相相邻。解：（1）将将甲、乙乙二人看看作一个个元素，先先排甲、乙乙有种，然然后再与与其他55人构成成6个元元素进行行全排列列，有种种方法。（2）先排排除甲、乙乙二人外外的5人人有种，产产生6个个空，把把甲、乙乙二人插插空有种种方法。小结：以元元素相邻邻为附加加条件的的应把相相邻元素素视为一一个整体体，即采采用“捆绑法法”；以某某些元素素不能相相邻为附附加条件件的,可可采用“插空法法”。“插空”有同时时“插空”和有逐逐一“插空”,并要注注意条件件的限定定.五、混合问问题，先先“组”后“排”例5 对某某种产品品的

7、6件件不同的的正品和和4件不不同的次次品,一一一进行行测试，至至区分出出所有次次品为止止，若所所有次品品恰好在在第5次次测试时时全部发发现,则则这样的的测试方方法有种种可能？解：由题意意知前55次测试试恰有44次测到到次品，且且第5次次测试是是次品。故故有：种种可能小结：本题题涉及一一类重要要问题：问题中中既有元元素的限限制，又又有排列列的问题题，一般般是先元元素（即即组合）后后排列。六、分清排排列、组组合、等等分的算算法区别别例6、有66本不同同的书按按下列分分配方式式分配，问问共有多多少种不不同的分分配方式式？（1）分成成1本、223本；（2）分给给甲、乙乙、丙三三人,其其中1人人一本，1

8、人人二本、1人人三本；（3）分成成三份,每份22本解:(1)分三步步：先选选一本有有种选法法；再从从余下的的5本中中选2本本有种选选法；最最后余下下的3本本全选有有种。由由分步计计数原理理知，分分配方法法共有：种。（2）由于于甲、乙乙、丙三三人是不不同的三三个人，在在（1）的基础础上，还还应考虑虑再分配配问题，因因此，分分配方法法共有：种。（3）先分分三步：则应是是种方法法，但是是这里出出现重复复，不防防记六本本书为AA、B、CC、D、EE、F，若若第一步步取了AAB，第第二步取取了CDD，第三三步取了了EF。记记该种分分法为（AAB、CCD、EEF）则则种分法法中还有有（ABB、EFF、CDD）、(CCD、AAB、EEF)、(CD、EEF、AAB)、（EF、CD、AB）、(EF、AB、CD)、共种情况，而且这种情况是AB、CD、EF的顺序不同，因此，只能作为一种分法，故分配方式有：种。小结：平均均分组问问题：一一般来说说，kmm个不同同的元素素分成kk组，每每组m个个，则不不同的分法有：种。七、分类组组合,隔隔板处理理例7 某中中学从高高中7个个班中选选出122名学生生组成校校代队，参参加中学学生数学学竞赛活活动，使使代表队队中每班班至少11人参加加的选法法有多少少种？解:问题相相当于把把个1