第三章《导数及其应用》知识点点拨

1、PAGE7第三章导数及其应用知识体系总览导数概念平均变化率瞬时变化率导数概念平均变化率瞬时变化率导数的几何意义几个初等函数的导数导数在研究函数中的应用函数的单调性函数的极值和最值生活中的优化问题导数导数的运算法则知识梳理1平均速度：物理学中，运动物体的位移与所用时间的比称为平均速度，即一段时间或一段位移内的速度；若物体的运动方程为则物体从到这段时间内的平均速度；一般的，函数在区间上的平均变化率为。2瞬时速度：是某一时刻或位置物体的速度，方向与物体运动方向相同。我们测量的瞬时速度是用很短时间内的平均速度来代替的，是对物体速度的一种粗略的估算。当平均速度中的无限趋近于0时，平均速度的极限称为在时刻

2、的瞬时速度，记作v=。求瞬时速度的步骤为：1设物体的运动方程为；2先求时间改变量和位置改变量3再求平均速度4后求瞬时速度：瞬时速度v=3求函数的导数的一般方法：（1）求函数的改变量（2）求平均变化率（3）取极限，得导数4上点（）处的切线方程为;导数的计算知识梳理1根据导数定义求函数的导数步骤：计算；2基本初等函数的求导公式：；,b为常数；3导数的运算法则4复合函数求导步骤若的定义域为E，函数的定义域为D,值域为W,若，当的值域落在的定义域内时则称是由中间变量u复合成的复合函数，可以通过中间变量表示为自变量的函数，即形如y=f的函数称为复合函数。可见，并非任意两个函数都能复合成一个复合函数。复合

3、函数求导步骤：，如的求导可下法求解：。导数在研究函数中的应用知识梳理一函数的单调性1利用导数的符号判断函数的单调性：一般地，设函数在某个区间可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数；如果在某区间内恒有，则为常数；2对于可导函数来说，是在某个区间上为增函数的充分非必要条件，是在某个区间上为减函数的充分非必要条件。3利用导数判断函数单调性的步骤：求函数f的导数f令f0解不等式，得的范围就是递增区间令f0解不等式，得的范围，就是递减区间4已知函数的单调性求参数的取值范围是一种常见的题型，常利用导数与函数单调性关系：即“若函数单调递增，则；若函数单调递减，则”来求解，注意此时公式中的等号不能省略，否则

4、漏解二函数极大值、极小值1极大值：如果是函数f在某个开区间上的最大值点，即不等式对一切成立，就说函数f在处取到极大值，并称为函数f的一个极大值点，为f的一个极大值。2极小值：如果是函数f在某个开区间上的最小值点，即不等式对一切成立，就说函数f在处取到极小值，并称为函数f的一个极小值点，为f的一个极小值。3极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点；若，则叫做函数f的驻点；可导函数的极值点必为驻点，但驻点不一定是极值点。c是极大、极小值的方法:若满足，且在c的两侧的导数异号，则c是的极值点，是极值，并且如果在c两侧满足“左正右负”，则c是的极大值点，是极大值；如果在c两侧满足“左负

5、右正”，则c是的极小值点，是极小值的极值的步骤:1确定函数的定义区间，求导数f2求f的驻点，即求方程f=0的根3用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，那么f在这个根处无极值三函数的最大值和最小值在区间a，b上连续的函数f在a，b上必有最大值与最小值。求闭区间上连续的函数的最大值和最小值的思想方法和步骤：（1）求函数在a，b内的极值；（2）求函数在区间端点的值a、b；（3）将函数的各极值与a、b比较，其中最大的是最大值，其中最小的是

6、最小值。四三次函数有极值导函数的判别式0生活中的优化问题举例知识梳理1在生产实践及科学实验中，常遇到质量最好、用料最省、效益最高、成本最低、利润最大、投入最小等问题，这类问题在数学上常常归结为求函数的最大值或最小值问题，通常称为优化问题。解决优化问题的常见方法有判别式方法、平均不等式方法、线性规范方法、差分方法、利用二次函数的性质和利用单调性等。2不少优化问题，可以化为求函数最值问题，对于函数的最值问题，多利用函数的图像、性质以及不等式的性质来解题。其中求导数是求函数最大（小）值的有力工具。导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题。主要有以下几个方面：与几何有关的最值问题；与物理学有关的最值问题；与利润及其成本有关的最值问题；效率最值问题等。3利用导数解决优化问题的基本思路：建立数学模型解决数学模型建立数学模型解决数学模型作答用函数表示的数学问题优化问题用导数解决数学问题优化问题的答案（1）分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系；（2）求函数的导数，解方程；（3）比较函数在区间端点和使的点的函数值的大小，最大（小）者为最大（小）值。4解决生活中的优化问题应当注意的问题：（1）在求实际问题的最大值、最小值时，一定要考虑实际问题的意义，不符合实际问题的值应舍去；（2）在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只