二分法的应用

1、PAGE6二分法的应用函数与方程的思想贯穿了高中数学的始终，而且函数与方程紧密联系，函数的零点就是相应方程的实数根，研究二分法求方程的近似解问题，首先是通过估算，数形结合借助计算器、计算机等手段来确定一个零点所在的大致区间。本文通过几个具体例子来看看二分法有何应用。一、求方程的近似解=2在区间1,2内有唯一一个实数解，并求出这个实数解（精确到证明:设函数使f=23-6fl=-10,又f是增函数，所以函数f=23-6在区间1,2有唯一的零点，则方程6-3=2在区间1,2有唯一一个实数解设该解为0，则01,2，取1=，f=0，F1f0，01,取2，f0，f1f0，01,取3，f0，ff0，0,取4

2、,f0，ff0，0,1,25|，可取0，则方程的实数解为0=点评：用二分法求方程实数解的思想是非常简明的、但是为了提高解的精确度，用二分法求方程实数解的过程又是较长的，有些计算不用计算工具甚至无法实施，所以需要借助科学计算器二、判断方程解的个数在其定义域上是单调函数，证明f至多有一个零点分析:不妨设f在R上是增函数，为证明f=0至多有一个实根，考虑用反证法证明证明:假设f=0至少有两个不同的实根1,2，且不妨设12，由题意得f1O,f2=0,f1f2f在定义域上是单调菌数，不妨设为增函数，由12，则f1f2例3题图1-2-10例3题图1-2-10y三、求一定条件下的函数的零点=32-2-2的一

3、个为正数的零点（精确到）分析：用二分法，要注意到初始区间的选取。解：由于f1=-20,可取区间1,2作为计算的初始区间。用二分法逐次计算，列表如下：端点（中点）坐标计算中点的函数值取区间f1=-201,21=12/2=f1=01,X2=1/2=f2=0,X3=/2=f3=0,X5=/2=f5=0由上表的计算可知，区间,的长度小于，所以这个区间的中点5=32-2-2的图象如图实际上还可用二分法继续算下去，进而得到这个零点精确度更高的近似值点评：给定精确度，用二分法求函数f零点的近似值应该按课本P73的三个步骤进行四、确定函数零点的个数例4二次函数y=a2bc中,ac0，则函数零点个数为分析:c=

4、f0,ac=af00,a与f0异号即或函数必有两零点或ac0b2-4ac0,函数有两个零点答案:2点评：用二分法求方程近似解，关键是判断近似解所在的区间（a,b），用二分法选定初始区间时，往往通过分析函数图象的变化趋势，并通过试验确定端点。五、求一些无理数的值二分法不仅仅用于求函数零点或方程的根，它还有很多应用，例如求一些无理数的值，解决实际问题等例5求的近似值（精确到分析：若设=，则3-2=0，因此的近似值就是方程3-2=0的根的近似值，也就是函数y=3-2的近似零点解：设=，则3-2=0,令f=3-2,则函数f的零点的近似值就是的近似值，以下用二分法求其零点的近似值由于f1=-10,故可以

5、取区间1,2为计算的初始区间用二分法逐步计算，列表如下：区间，的长度，所以这个区间的两个端点的近似值都可以作为函数f零点的近似值是,即的近似值是六、解决实际应用问题二分法不仅仅用于求函数零点或方程的根，它在现实生活中也有许多重要的应用例5在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障这是一条10 km长的线路，如何迅速查出故障所在如果沿着线路一闸门（待查）指挥部一小段一小段查找，困难很多每查一个点要爬一次电线杆子，10 km长，大约有200多根电线杆子呢想一想，维修线路的工人师傅怎样工作最合理如图，他首先从中点C查用随身带的话机向两端测试时，发现AC段正常，断定故障在BC段，再到BC段中点D，这次发现BD段正常，可见故障在CD段，再到CD中点E来查每查一次，可以把待查的线路长度缩减一半，算一算，要把故障可能发生的范围缩小到50100 m左右，即一两根电线杆附近，要查多少次解:用简便易行的方法最多测试7次就能找到故障，方法是：10km线路共有200根电杆第一次测试第100根，第二次测试有故障的一侧中的第50根，第三次再测有故障的一侧中的第25根，去掉一根，（有可能故障在这里）再侧有故障的一段中的第12根，第五次测有故障一段中的第6根，第六次侧试有故障段中的第三根第七次侧故障段