(新高考)高考数学一轮复习讲与练第1章§1.4《基本不等式》(含详解)

1、1.4基本不等式考试要求1.了解基本不等式的推导过程.2.会用基本不等式解决简单的最值问题.3.理解基本不等式在实际问题中的应用知识梳理1基本不等式：eq r(ab)eq f(ab,2)(1)基本不等式成立的条件：a0，b0.(2)等号成立的条件：当且仅当ab时，等号成立(3)其中eq f(ab,2)叫做正数a，b的算术平均数，eq r(ab)叫做正数a，b的几何平均数2几个重要的不等式(1)a2b22ab(a，bR)(2)eq f(b,a)eq f(a,b)2(a，b同号)(3)abeq blc(rc)(avs4alco1(f(ab,2)2 (a，bR)(4)eq f(a2b2,2)eq b

2、lc(rc)(avs4alco1(f(ab,2)2 (a，bR)以上不等式等号成立的条件均为ab.3利用基本不等式求最值(1)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当xy时，和xy有最小值2eq r(P).(2)已知x，y都是正数，如果和xy等于定值S，那么当xy时，积xy有最大值eq f(1,4)S2.注意：利用不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)不等式abeq blc(rc)(avs4alco1(f(ab,2)2与eq r(ab)eq f(ab,2)等号成立的条件是相同的()(2)yxeq f(1,x)的最小值

3、是2.()(3)若x0，y0且xyxy，则xy的最小值为4.()(4)函数ysin xeq f(4,sin x)，xeq blc(rc)(avs4alco1(0，f(,2)的最小值为4.()教材改编题1已知x2，则xeq f(1,x2)的最小值是()A1 B2 C2eq r(2) D4答案D解析 x2，xeq f(1,x2)x2eq f(1,x2)22eq r(x2f(1,x2)24，当且仅当x2eq f(1,x2)，即x3时，等号成立2(多选)若a，bR，则下列不等式成立的是()A.eq f(b,a)eq f(a,b)2Babeq f(a2b2,2)C.eq f(a2b2,2)eq blc(

4、rc)(avs4alco1(f(ab,2)2D.eq f(2ab,ab)eq r(ab)答案BC解析当eq f(b,a)0时，A不成立；当ab0时，D不成立3若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是_ m2.答案25解析设矩形的一边为x m，面积为y m2，则另一边为eq f(1,2)(202x)(10 x)m，其中0 x10，yx(10 x)eq blcrc(avs4alco1(f(x10 x,2)225，当且仅当x10 x，即x5时，等号成立，ymax25，即矩形场地的最大面积是25 m2.题型一利用基本不等式求最值命题点1配凑法例1(1)(2022长沙模拟)设0

5、xeq f(3,2)，则函数y4x(32x)的最大值为()A.eq f(9,4) B4C.eq f(9,2) D9答案C解析y4x(32x)22x(32x)2eq blc(rc)(avs4alco1(f(2x32x,2)2eq f(9,2).当且仅当2x32x，即xeq f(3,4)时取等号，当xeq f(3,4)时，ymaxeq f(9,2).(2)若xeq f(2,3)，则f(x)3x1eq f(9,3x2)有()A最大值0 B最小值9C最大值3 D最小值3答案C解析xeq f(2,3)，3x21)的最小值为_答案9解析因为x1，则x10，所以yeq f(x14x11,x1)eq f(x1

6、25x14,x1)(x1)eq f(4,x1)52eq r(x1f(4,x1)59，当且仅当x1eq f(4,x1)，即x1时等号成立，所以函数的最小值为9.命题点2常数代换法例2(2022重庆模拟)已知a0，b0，且ab2，则eq f(2,a)eq f(1,2b)的最小值是()A1 B2C.eq f(9,4) D.eq f(9,2)答案C解析因为a0，b0，且ab2，所以eq f(ab,2)1，所以eq f(2,a)eq f(1,2b)eq f(1,2)(ab)eq blc(rc)(avs4alco1(f(2,a)f(1,2b)eq f(1,2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(

7、2b,a)f(a,2b)f(5,2)eq f(1,2)eq blc(rc)(avs4alco1(2f(5,2)eq f(9,4)，当且仅当aeq f(4,3)，beq f(2,3)时，等号成立命题点3消元法例3(2022烟台模拟)已知x0，y0，x3yxy9，则x3y的最小值为_答案6解析方法一(换元消元法)由已知得9(x3y)eq f(1,3)x3yeq f(1,3)eq blc(rc)(avs4alco1(f(x3y,2)2，当且仅当x3y，即x3，y1时取等号即(x3y)212(x3y)1080，令x3yt，则t0且t212t1080，得t6，即x3y的最小值为6.方法二(代入消元法)由

8、x3yxy9，得xeq f(93y,1y)，所以x3yeq f(93y,1y)3yeq f(93y3y1y,1y)eq f(93y2,1y)eq f(31y261y12,1y)3(1y)eq f(12,1y)62eq r(31yf(12,1y)61266，当且仅当3(1y)eq f(12,1y)，即y1，x3时取等号，所以x3y的最小值为6.延伸探究本例条件不变，求xy的最大值解方法一9xyx3y2eq r(3xy)，9xy2eq r(3xy)，令eq r(xy)t，t0，9t22eq r(3)t，即t22eq r(3)t90，解得00，y0，且2x8yxy0，则当xy取得最小值时，y等于()

9、A16 B6 C18 D12答案B解析因为x0，y0,2x8yxy，所以eq f(2,y)eq f(8,x)1，所以xy(xy)eq blc(rc)(avs4alco1(f(2,y)f(8,x)10eq f(2x,y)eq f(8y,x)102eq r(f(2x,y)f(8y,x)102418，当且仅当eq blcrc (avs4alco1(f(2x,y)f(8y,x)，,2x8yxy0，)即eq blcrc (avs4alco1(x12，,y6)时取等号，所以当xy取得最小值时，y6.2已知函数f(x)eq f(x2,x1)(x1)，则()Af(x)有最小值4Bf(x)有最小值4Cf(x)有

10、最大值4Df(x)有最大值4答案A解析f(x)eq f(x2,x1)eq f(x211,x1)eq blc(rc)(avs4alco1(x1f(1,x1)eq blc(rc)(avs4alco1(x1f(1,x1)2)(x1)eq f(1,x1)2.因为x1，所以x10，所以f(x)2eq r(1)24，当且仅当(x1)eq f(1,x1)，即x2时，等号成立故f(x)有最小值4.思维升华(1)前提：“一正”“二定”“三相等”(2)要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式(3)条件最值的求解通常有三种方法：一是配凑法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法

11、；三是消元法跟踪训练1(1)已知函数f(x)eq f(2,2x1)x(2x1)，则f(x)的最小值为_答案eq f(5,2)解析2x1，xeq f(1,2)0，f(x)eq f(2,2x1)xeq f(1,xf(1,2)xeq f(1,2)eq f(1,2)2eq r(f(1,xf(1,2)blc(rc)(avs4alco1(xf(1,2)eq f(1,2)2eq f(1,2)eq f(5,2)，当且仅当eq f(1,xf(1,2)xeq f(1,2)，即xeq f(3,2)时取“”f(x)的最小值为eq f(5,2).(2)(2022襄阳模拟)若实数x1，yeq f(1,2)且x2y3，则e

12、q f(1,x1)eq f(1,2y1)的最小值为_答案4解析令x1m,2y1n，则m0，n0且mnx12y11，eq f(1,x1)eq f(1,2y1)eq f(1,m)eq f(1,n)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,m)f(1,n)(mn)2eq f(n,m)eq f(m,n)224，当且仅当eq f(n,m)eq f(m,n)，即mneq f(1,2)时取“”eq f(1,x1)eq f(1,2y1)的最小值为4.题型二基本不等式的常见变形应用例4(1)(2022宁波模拟)几何原本卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这

13、一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明现有如图所示图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OFAB，设ACa，BCb，则该图形可以完成的无字证明为()A.eq f(ab,2)eq r(ab)(a0，b0)Ba2b22eq r(ab)(a0，b0)C.eq f(2ab,ab)eq r(ab)(a0，b0)D.eq f(ab,2)eq r(f(a2b2,2)(a0，b0)答案D解析由图形可知，OFeq f(1,2)ABeq f(1,2)(ab)，OCeq f(1,2)(ab)beq f(1,2)(ab)，在RtOCF中，由勾股定理可得，CFeq r(blc(rc)

14、(avs4alco1(f(ab,2)2blc(rc)(avs4alco1(f(ab,2)2)eq r(f(1,2)a2b2)，CFOF，eq r(f(1,2)a2b2)eq f(1,2)(ab)(a0，b0)(2)(2022广州模拟)已知0a1，则下列不等式中成立的是()Aabeq f(4ab,ab)B.eq r(ab)eq f(2ab,ab)C.eq r(2a22b2)2eq r(ab)Dabeq r(2a22b2)答案D解析对于选项A，因为0a1，所以(ab)2a22abb24ab，故选项A错误；对于选项B，eq r(ab)eq f(2,f(1,a)f(1,b)eq f(2ab,ab)，故

15、选项B错误；对于选项C，eq r(2a2b2)eq r(22ab)2eq r(ab)，故选项C错误；对于选项D,2a22b2a22abb2(ab)2，所以ab0，则下列不等式中，恒成立的是()Aa2b22abBab2eq r(ab)C.eq f(1,a)eq f(1,b)eq f(2,r(ab)D.eq f(b,a)eq f(a,b)2答案D解析a2b22ab，所以A错误；ab0，只能说明两实数同号，同为正数，或同为负数，所以当a0，b0，b0)跟踪训练2(1)(2022浙南名校联盟联考)已知命题p：ab0，命题q：eq f(a2b2,2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(ab,2

16、)2，则p是q成立的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案A解析ab0，则a2b22ab，2(a2b2)a2b22ab，2(a2b2)(ab)2，eq f(a2b2,2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(ab,2)2，由p可推出q，当a0，beq blc(rc)(avs4alco1(f(ab,2)24，由q推不出p，p是q成立的充分不必要条件(2)(2022漳州质检)已知a，b为互不相等的正实数，则下列四个式子中最大的是()A.eq f(2,ab) B.eq f(1,a)eq f(1,b)C.eq f(2,r(ab) D.eq r(f(2,a2b2

17、)答案B解析a，b为互不相等的正实数，eq f(1,a)eq f(1,b)eq f(2,r(ab)，eq f(2,ab)eq f(2,2r(ab)eq f(1,r(ab)eq f(2,r(ab)，eq r(f(2,a2b2)eq r(f(2,2ab)eq f(1,r(ab)eq f(2,r(ab)，最大的是eq f(1,a)eq f(1,b).题型三基本不等式的实际应用例5小王于年初用50万元购买了一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出2万元，假定该车每年的运输收入均为25万元小王在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第x

18、年年底出售，其销售价格为(25x)万元(国家规定大货车的报废年限为10年)(1)大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？(2)在第几年年底将大货车出售，能使小王获得的年平均利润最大？(利润累计收入销售收入总支出)解(1)设大货车运输到第x年年底，该车运输累计收入与总支出的差为y万元，则y25x6xx(x1)50 x220 x50(00，可得105eq r(2)x10.因为2105eq r(2)3，所以大货车运输到第3年年底，该车运输累计收入超过总支出(2)因为利润累计收入销售收入总支出，所以二手车出售后，小王的年平均利润为eq f(y25x,x)19eq blc(rc)(avs4a

19、lco1(xf(25,x)192eq r(25)9，当且仅当xeq f(25,x)，即x5时，等号成立，所以小王应当在第5年年底将大货车出售，能使小王获得的年平均利润最大教师备选某高级中学高二年级部为了更好的督促本年级学生养成节约用水、珍惜粮食、爱护公物的良好习惯，现要设计如图所示的一张矩形宣传海报，该海报含有大小相等的左中右三个矩形栏目，这三栏的面积之和为60 000 cm2，四周空白的宽度为10 cm，栏与栏之间的中缝空白的宽度为5 cm.怎样确定矩形栏目高与宽的尺寸，能使整个矩形海报面积最小，其最小值是_ cm2.答案72 600解析设矩形栏目的高为a cm，宽为b cm，由题意可得3a

20、b60 000，所以ab20 000，即beq f(20 000,a)，所以该海报的高为(a20)cm，宽为(3b10252)cm，即(3b30)cm，所以整个矩形海报面积S(a20)(3b30)3ab30a60b60030(a2b)60 60030eq blc(rc)(avs4alco1(af(40 000,a)60 600302eq r(af(40 000,a)60 6003040060 60072 600，当且仅当aeq f(40 000,a)，即a200时等号成立，所以当广告栏目的高为200 cm，宽为100 cm时，能使整个矩形海报面积最小，其最小值是72 600 cm2.思维升华利

21、用基本不等式求解实际问题时，要根据实际问题，设出变量，注意变量应满足实际意义，抽象出目标函数的表达式，建立数学模型，再利用基本不等式求得函数的最值跟踪训练3网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时期内，成为商业的一个主要发展方向某品牌行车记录仪支架销售公司从2021年10月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式根据几个月运营发现，产品的月销量x万件与投入实体店体验安装的费用t万元之间满足函数关系式x3eq f(2,t1).已知网店每月固定的各种费用支出为3万元，产品每1万件进货价格为32万元，若每件产品的售价定为“进货价的150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和，

22、则该公司最大月利润是_万元答案37.5解析由题意知teq f(2,3x)1(1x3)，设该公司的月利润为y万元，则yeq blc(rc)(avs4alco1(32150%f(t,2x)x32x3t16xeq f(t,2)316xeq f(1,3x)eq f(1,2)345.5eq blcrc(avs4alco1(163xf(1,3x)45.52eq r(16)37.5，当且仅当xeq f(11,4)时取等号，即最大月利润为37.5万元柯西不等式是法国著名的数学家、物理学家、天文学家柯西(Cauchy,17891857)发现的，故命名为柯西不等式柯西不等式是数学中一个非常重要的不等式，除了用柯西

23、不等式来证明一些不等式成立外，柯西不等式还常用于选择、填空求最值的问题中，借助柯西不等式的技巧可以达到事半功倍的效果1(柯西不等式的代数形式)设a，b，c，d均为实数，则(a2b2)(c2d2)(acbd)2，当且仅当adbc时，等号成立推广一般情形：设a1，a2，an，b1，b2，bnR，则(aeq oal(2,1)aeq oal(2,2)aeq oal(2,n)(beq oal(2,1)beq oal(2,2)beq oal(2,n)(a1b1a2b2anbn)2(当且仅当bi0(i1,2，n)或存在一个实数k，使得aikbi(i1,2，n)时，等号成立)2(柯西不等式的向量形式)设，为平

24、面上的两个向量，则|，当且仅当是零向量，或存在实数k，使k时，等号成立3(柯西不等式的三角不等式)设x1，y1，x2，y2，x3，y3为任意实数，则：eq r(x1x22y1y22)eq r(x2x32y2y32)eq r(x1x32y1y32).一、利用柯西不等式求最值例1已知x，y满足x3y4，则4x2y2的最小值为_答案eq f(64,37)解析(x3y)2(4x2y2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,4)9)，所以4x2y216eq f(4,37)eq f(64,37)，当且仅当y12x时，等号成立，所以4x2y2的最小值为eq f(64,37).例2已知正实数x，y

25、，z满足x2y2z21，正实数a，b，c满足a2b2c29，则axbycz的最大值为_答案3解析(axbycz)2(a2b2c2)(x2y2z2)9，axbycz3，当且仅当a3x，b3y，c3z时取“”，axbycz的最大值为3.例3函数y5eq r(x1)eq r(102x)的最大值为_答案6eq r(3)解析y2(5eq r(x1)eq r(102x)2(5eq r(x1)eq r(2)eq r(5x)2(522)(x15x)108，当且仅当xeq f(127,27)时等号成立，y6eq r(3).二、利用柯西不等式证明不等式例4已知a1，a2，b1，b2为正实数，求证：(a1b1a2b

26、2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(a1,b1)f(a2,b2)(a1a2)2.证明(a1b1a2b2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(a1,b1)f(a2,b2)(eq r(a1b1)2(eq r(a2b2)2eq blcrc(avs4alco1(blc(rc)(avs4alco1(r(f(a1,b1)2blc(rc)(avs4alco1(r(f(a2,b2)2)eq blc(rc)(avs4alco1(r(a1b1)r(f(a1,b1)r(a2b2)r(f(a2,b2)2(a1a2)2.当且仅当b1b2时，等号成立例5已知a1，a2，an都是实数，求证：eq f

27、(1,n)(a1a2an)2aeq oal(2,1)aeq oal(2,2)aeq oal(2,n).证明根据柯西不等式，有 SKIPIF 1 0 (aeq oal(2,1)aeq oal(2,2)aeq oal(2,n)(1a11a21an)2，所以eq f(1,n)(a1a2an)2aeq oal(2,1)aeq oal(2,2)aeq oal(2,n).课时精练1下列函数中，最小值为2的是()Ayxeq f(2,x)Byeq f(x23,r(x22)CyexexDylog3xlogx3(0 x1)答案C解析当x0时，yxeq f(2,x)0，故A错误；yeq f(x23,r(x22)eq

28、 r(x22)eq f(1,r(x22)2，当且仅当eq r(x22)eq f(1,r(x22)，即x21时取等号，x21，故B错误；yexex2eq r(exex)2，当且仅当exex，即x0时取等号，故C正确；当x(0,1)时，ylog3x2，y1，(x2)(y1)4，则xy的最小值是()A1 B4C7 D3eq r(17)答案C解析x2，y1，(x2)(y1)4，xy(x2)(y1)32eq r(x2y1)37，当且仅当eq blcrc (avs4alco1(x4，,y3)时等号成立5已知不等式(xy)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,x)f(a,y)9对任意正实数x，y

29、恒成立，则正实数a的最小值为()A2 B4 C6 D8答案B解析已知不等式(xy)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,x)f(a,y)9对任意正实数x，y恒成立，只要求(xy)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,x)f(a,y)的最小值大于或等于9，(xy)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,x)f(a,y)1aeq f(y,x)eq f(ax,y)a2eq r(a)1，当且仅当yeq r(a)x时，等号成立，a2eq r(a)19，eq r(a)2或eq r(a)4(舍去)，a4，即正实数a的最小值为4.6(2022湖南五市十校联考)原油作为“工业血

30、液”“黑色黄金”，其价格的波动牵动着整个化工产业甚至世界经济小李在某段时间内共加油两次，这段时间燃油价格有升有降，现小李有两种加油方案：第一种方案是每次加油40升，第二种方案是每次加油200元，则下列说法正确的是()A第一种方案更划算 B第二种方案更划算C两种方案一样 D无法确定答案B解析设小李这两次加油的油价分别为x元/升、y元/升(xy)，则方案一：两次加油平均价格为eq f(40 x40y,80)eq f(xy,2)eq r(xy)，方案二：两次加油平均价格为eq f(400,f(200,x)f(200,y)eq f(2xy,xy)0，b0，且ab1，则下列不等式成立的有()A2a2b2

31、eq r(2) Ba2b21C.eq f(1,a)eq f(1,b)4 Daeq f(1,a)2答案AB解析2a2b2eq r(2a2b)2eq r(2ab)2eq r(2)，当且仅当ab时取等号，A正确；a2b20，b0，ab1，0a2，D错误8(多选)设a0，b0，则下列不等式中一定成立的是()Aabeq f(1,r(ab)2eq r(2) B.eq f(2ab,ab)eq r(ab)C.eq f(a2b2,r(ab)ab D(ab)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,a)f(1,b)4答案ACD解析因为a0，b0，所以abeq f(1,r(ab)2eq r(ab)eq f(

32、1,r(ab)2eq r(2)，当且仅当ab且2eq r(ab)eq f(1,r(ab)，即abeq f(r(2),2)时取等号，故A正确；因为ab2eq r(ab)0，所以eq f(2ab,ab)eq f(2ab,2r(ab)eq r(ab)，当且仅当ab时取等号，故B错误；因为eq f(2ab,ab)eq f(2ab,2r(ab)eq r(ab)，当且仅当ab时取等号，所以eq f(a2b2,ab)eq f(ab22ab,ab)abeq f(2ab,ab)2eq r(ab)eq r(ab)eq r(ab)，当且仅当ab时取等号，所以eq f(a2b2,ab)eq r(ab)，即eq f(a

33、2b2,r(ab)ab，故C正确；因为(ab)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,a)f(1,b)2eq f(b,a)eq f(a,b)22eq r(f(b,a)f(a,b)4，当且仅当ab时取等号，故D正确9若0 x2，则xeq r(4x2)的最大值为_答案2解析0 x0，b0，且a2b2ab，则ab的最小值为_，2ab的最小值为_答案2eq f(9,2)解析a2b2ab，2ab2eq r(2ab)，即ab2，当且仅当a2b，即b1，a2时等号成立，故ab的最小值为2.a2b2ab，eq f(1,b)eq f(2,a)2，2ab(2ab)eq f(1,2)eq blc(rc)(

34、avs4alco1(f(1,b)f(2,a)eq f(1,2)eq blc(rc)(avs4alco1(5f(2a,b)f(2b,a)eq f(1,2)(52eq r(4)eq f(9,2)，当且仅当eq f(2a,b)eq f(2b,a)，即abeq f(3,2)时等号成立，2ab的最小值为eq f(9,2).11(2022郴州模拟)习近平同志提出：乡村振兴，人才是关键，要积极培养本土人才，鼓励外出能人返乡创业为鼓励返乡创业，某镇政府决定投入“创业资金”和开展“创业技术培训”帮扶返乡创业人员预计该镇政府每年投入的“创业资金”构成一个等差数列an(单位：万元，nN*)，每年开展“创业技术培训”投入的资金为第一年创业资金a1的3倍，已知aeq oal(2,1)aeq oal(2,2)72.则预计该镇政府帮扶五年累计总投入资金的最大值为_万元答案120解析由题意得，五年累计总投入资金为a1a