第17讲 图形变换性问题-2022中考数学巅峰冲刺（解析版）

1、PAGE182022年中考数学总复习巅峰冲刺专题17图形变换性问题【难点突破】着眼思路，方法点拨,疑难突破；平移解题要领：关键是确定图形平移的方向和距离，从一个点或一条线段的平移前后的变化，归纳出平移的规律，进而得出图形其他部分的平移变化折叠解题要领：图形的折叠本质上就是轴对称问题，根据轴对称的性质，可探求出图形变换前后的等量关系；求解线段和最小值问题，本质上就是两点间线段最短间接运用三角形三边大小关系，通过点的轴对称变换，把线段和转化为某一条线段求解，选择作适当的点的轴对称点往往是解题的突破口旋转解题要领：由旋转角相等，可以得到等角，由对应点到旋转中心的距离相等，可以得到线段相等和等腰三角形

2、；由图形的旋转求线段长时，常常用到勾股定理、锐角三角函数，全等三角形及相似三角形的判定与性质；图形的旋转常常与求解弧长或扇形的面积整合在一起，注意学习运用相似解题要领：证明两个三角形相似，最常用的方法：一是利用平行线构造相似三角形，二是两个角对应相等证明两三角形相似；探求两个三角形相似的条件时，根据确定的已知条件，不拘泥于现成的图形，充分考虑三角形相似的情形具体性质有：相似三角形对应线段的比等于相似比，其中只要说明两线段是对应线段，就可以直接运用性质定理；利用相似三角形的性质求面积时，不要忽视“相似比的平方”位似解题要领：利用点的坐标表示位似变换时，一般地是以原点为位似中心，但是，要注意位似中

3、心不是原点的情况；求位似图形相应点的坐标时，要注意是缩小还是扩大，是一种还是两种情形【名师原创】原创检测，关注素养，提炼主题；【原创】在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点A0，6，与轴的正半轴交于点B8，0，连接AB，将线段AB绕着点A顺时针旋转，点B恰好落在y轴C点处，试解答下列问题：1这条抛物线的解析式；2求的值；3在抛物线上存在点H，使得点H到A、B两点的距离相等，求点H的横坐标。解析：（1）因为已知条件中A、B两点坐标，故可代入抛物线解析式，列二元一次方程组解得即可得到抛物线解析式；（2）求三角函数值，首先要把角放在某一直角三角形内，故作AB边上的高CD，如何求CD的值，借用面积法，

4、从不同方法求解三角形ABC的面积，一是包围法：三角形ABC的面积=，二是直接利用面积公式：三角形ABC的面积=，解得CD的值即可得到答案；（3）求点H到两端点的距离，考虑到其一定在AB的垂直平分线上，故先求垂直平分线的解析式，需要两个点的条件，可先利用勾股定理求得轴上的一点，从而确定两点求得解析式，代入抛物线解析式解得的值，即可得到H的横坐标。解：（1）抛物线过点A（0，,6）、B（8，0）故有解得：此抛物线的解析式为：（2）因为AB=10，故AC=10，=3，AE=作CDAB，利用等面积法，作如图辅助线可得：三角形ABC的面积=EC=3，CF=5，BF=-6，GB=6，AG=8可解得CD=3

5、因为点A的坐标为0，6，点B的坐标为8，0，点H到A、B两点的距离相等，则点H一定在线段AB的垂直平分线上，平分线一定过点（4,3）设垂直平分线交轴于点（,0）,则有622=（8-）2解得：=，则AB的垂直平分线过点（，0），（4,3），令其解析式为y=b,将点的坐标代入得：，解得：=,b=即：y=，代入抛物线解析式有=，化简为：解得：，故点H的横坐标为或。【典题精练】典例精讲，运筹帷幄，举一反三；【例题1】如图，在平面直角坐标系中，ABC的三个顶点分别为A（1，1）、B（3，3）、C（4，1）（1）画出ABC关于y轴对称的A1B1C1，并写出点B的对应点B1（2）画出ABC绕点A按顺时针旋转

6、90后的AB2C2，并写出点C的对应点C2的坐标【分析】（1）分别作出点A，B，C关于y轴的对称点，再首尾顺次连接即可得；（2）分别作出点B，C绕点A按顺时针旋转90后所得对应点，再首尾顺次连接可得【解答】解：（1）如图（1）所示，A1B1C1即为所求，其中B1的坐标为（3，3）（2）如图（2）所示，AB2C2即为所求，C2的坐标为（1，2）【点评】本题主要考查作图旋转变换和轴对称变换，解题的关键是熟练掌握轴对称变换与旋转变换的定义和性质，并据此得出变换后的对应点【例题2】已知AOB=90，在AOB的平分线OM上有一点C，将一个三角板的直角顶点与C重合，它的两条直角边分别与OA、OB（或它们的

7、反向延长线）相交于点D、E（1）当三角板绕点C旋转到CD与OA垂直时（如图1），易证：ODOE=OC；（2）当三角板绕点C旋转到CD与OA不垂直时，在图2、图3这两种情况下，上述结论是否还成立若成立，请给予证明；若不成立，线段OD、OE、OC之间又有怎样的数量关系请写出你的猜想，不需证明【考点】旋转的性质；全等三角形的性质；全等三角形的判定；勾股定理【专题】探究型【分析】（1）CD与OA垂直时，根据勾股定理易得OC与OD、OE的关系，将所得的关系式相加即可得到答案（2）当三角板绕点C旋转到CD与OA不垂直时，易得CKDCHE，进而可得出证明；判断出结果解此题的关键是根据题意找到全等三角形或等价

8、关系，进而得出OC与OD、OE的关系；最后转化得到结论【解答】解：（1）当CD与OA垂直时，CDO为Rt，OC=，由题意得四边形ODCE是正方形，ODOE=ODOD=2OD，ODOE=（2）过点C分别作CKOA，垂足为K，CHOB，垂足为HOM为AOB的角平分线，且CKOA，CHOB，CK=CH，CKD=CHE=90，又1与2都为旋转角，1=2，CKDCHE，DK=EH，ODOE=ODOHEH=ODOHDK=OHOK由（1）知：OHOK=，ODOE=（3）结论不成立过点C分别作CKOA，CHOB，OC为AOB的角平分线，且CKOA，CHOB，CK=CH，CKD=CHE=90，又KCD与HCE都

9、为旋转角，KCD=HCE，CKDCHE，DK=EH，OEOD=OHEHOD=OHDKOD=OHOK，由（1）知：OHOK=，OD，OE，OC满足【例题3】已知：如图，在四边形ABCD中，AD=BC，A、B均为锐角。（1）当A=B时，则CD与AB的位置关系是CDAB，大小关系是CDAB；（2）当AB时，（1）中CD与AB的大小关系是否还成立，证明你的结论。分析：（1）如图1，需要根据题意画出图，然后做DE平行于BC，推出B=AED，结合题意A=AED，推出四边形CBED为平行四边形，继而推出DC平行且等于BE，由于BE小于AB，继而推出（1）的结论；（2）根据要求证的结论，可以通过作辅助线的形式

10、把DC，AB等有关的线段引入到同一个三角形中，再通过三角形的三遍关系论证结论是否成立如图2，分别过点D、B作BC、CD的平行线，两线交于F点，作ADF的平分线交AB于G点，连接GF，推出四边形BCDF为平行四边形，可推出BC=DF=AD，继而推出ADGFDG，可得出AG=FG，CD=FB，那么FGBGBFAGBGDCDCAB（1）如图1，CDAB，CDAB。（2）CDAB还成立。证明如下：如图2，分别过点D、B作BC、CD的平行线，两线交于F点。四边形DCBF为平行四边形。AD=BC，AD=FD。作ADF的平分线交AB于G点，连接GF。ADG=FDG。在ADG和FDG中ADGFDG，AG=FG

11、。在BFG中，。DCAB。点评：本题主要考查了平行四边形判定定理，平行四边形性质，三角形三边关系，全等三角形的性质及判定定理的综合应用【例题4】在ABC中，ABC45，BC4，tanC3，AHBC于点H，点D在AH上，且DHCH，连接BD（1）如图1，将BHD绕点H旋转，得到EHF（点B、D分别与点E、F对应），连接AE，当点F落在AC上时（F不与C重合），求AE的长；（2）如图2，EHF是由BHD绕点H逆时针旋转30得到的，射线CF与AE相交于点G，连接GH，试探究线段GH与EF之间满足的等量关系，并说明理由【分析】（1）先根据tanC3，求出AH3，CH1，然后根据EHAFHC，得到H的取

12、值范围是（C）ABCD解析:在y中，令y0，解得19,25，点A，B的坐标分别为（9，0），（5，0）C2是由C1向左平移得到的，点D的坐标为（1，0），C2对应的函数解析式为y（15）当直线y与C2相切时，可知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，即方程2752m0有两个相等的实数根，（7）241（52m）0，解得m当直线y过点B时，可得0，解得m如图，故当m，直线y与C1，C2共有3个不同的交点5如图，1C2C1C2C，AC=10cm，然后提出一个问题：将ACD沿着射线DB方向平移acm，得到ACD，连接BD，CC，使四边形BCCD恰好为正方形，求a的值，请你解答此问题；（4）请你参照以上

13、操作，将图1中的ACD在同一平面内进行一次平移，得到ACD，在图4中画出平移后构造出的新图形，标明字母，说明平移及构图方法，写出你发现的结论，不必证明【分析】（1）利用旋转的性质结合菱形的性质得出：1=2，2=3，1=4，AC=AC，进而利用菱形的判定方法得出答案；（2）利用旋转的性质结合菱形的性质得出，四边形BCCD是平行四边形，进而得出四边形BCCD是矩形；（3）首先求出CC的长，分别利用点C在边CC上，点C在CC的延长线上，求出a的值；（4）利用平移的性质以及平行四边形的判定方法得出答案【解答】解：（1）如图2，由题意可得：1=2，2=3，1=4，AC=AC，故ACEC，ACCE，则四边形ACEC是平行四边形，故四边形ACEC的形状是菱形；故答案为：菱形；（2）证明：如图3，作AECC于点E，由旋转得：AC=AC，则CAE=CAE=BAC，四边形ABCD是菱形，BA=BC，BCA=BAC，CAE=BCA，AEBC，同理可得：AEDC，BCDC，则BCC=90，又BC=DC，四边形BCCD是平行四边形，BCC=90，四边形BCCD是矩形；（3）如图3，过点B作BFAC，垂足为F，BA=BC，CF=AF=AC=10=5，在RtBCF中，BF=12，在ACE和CBF中，CAE=BCF，CEA=B