机器人动力学

1、机器人动力学Dynamics of Robotics研究机器人的运动特性与力的关系。有两类问题：动力学正问题：各关节的驱动力（或力矩），求解机器人的运动（关节位移、速度和加速度），主要用于机器人的仿真。动力学逆问题：已知机器人关节的位移、速度和加速度，求解所需要的关节力（或力矩），是实时控制的需要。机器人动动力学DynamicsofRobotics5.1工工业机机器人速速度分析析5.2工工业机机器人静静力分析析5.3机机械手手动力学学方程5.1工工业机机器人速速度分析析5.1.1雅可比比矩阵两空间之之间速度度的线性映射射关系雅可比比矩阵（简称雅雅可比）。它可可以看成成是从关关节空间间到操作作空

2、间运运动速度度的传动比，同时也也可用来来表示两两空间之之间力的传递递关系。vxvy存在怎样样的关系系首先来看看一个两两自由度度的平面面机械手手，如图图5-1所示。图5-1 两自由度平面机械手 容易求得得将其微分分得写成矩阵阵形式简写成：dx=Jd。式中J就称为为机械手手的雅可可比（Jacobian）矩矩阵，反映了了关节空空间微小小运动d与手手部（手手爪）作作业空间间微小位位移dx之间的的关系。机器人末末端在操操作空间间的位置置和方位位可用末末端手爪爪的位姿姿X表示示，是关关节变量量的函数数是n个关关节变量量的函数数，可写写成：，并且是是一个6维列矢矢量。反映了操操作空间间的微小小运动，由机器器

3、人末端端微小线线位移和和微小角角位移(微小转转动)组组成。可可写为式中：是是6n的偏导导数矩阵阵，称为为n自由由度机器器人速度度雅可比比矩阵。 或其中:v机器器人手部部在操作作空间中中的广义义速度，(q)速度度雅可比比矩阵机器人人关节在在关节空空间中的的速度从上式可可以看出出，对于于给定的的关节变变量q，雅可比矩矩阵是从从关节空空间的关关节速度度向操作作空间的的广义速速度映射射的线性性变换。5.1.2机器器人速度度分析若令J1，J2分别为上上例中雅雅可比矩矩阵的第第一列矢矢量和第第二列矢矢量，即即由上式可可知，分分别是是由产产生生的手部部速度的的分量。而J1是在时时，也就是是第二个个关节固固定

4、时，仅在第第一个关关节转动动的情况况下，手手部平移移速度在在基础坐坐标系上上表示出出的向量量。同样样，J2是第一关关节固定定时，仅仅在第二二关节转转动的情情况下，手部平平移速度度在基础础坐标系系上表示示出的向向量。因此，机机器人速速度雅可可比的每每一列表表示其它它关节不不动而某某一关节节运动产产生的端端点速度度。例5-1如图所所示二自自由度机机械手，手部沿沿固定坐坐标系Xo轴正正向以1.0m/s速度移移动，杆杆长为。设在在某瞬时时求求相应应瞬时的的关节速速度。图5-1 两自由度平面机械手 相应的关关节速度度：因此，在在该瞬时时两个节节的位置置分别为为速度分别别为，手部瞬瞬时速度度为1m/s。因

5、此,逆雅可比比矩阵矩阵A可逆且 A可可逆时，n阶方阵A可逆的充充分必要要条件是是A为非非奇异矩矩阵，而而且 对于关节节空间的的某些形形位，机机械手的的雅可比比矩阵的的秩减少少，这些些形位称称为操作作臂（机机械手）的奇异异形位。当2=0或或2=180时，机械手手的雅可可比行列列式为0，矩阵阵的秩为为1，因因此处于于奇异状状态。在在奇异形形位时，机械手在在操作空空间的自自由度将将减少。奇异位形形：由于雅可可比矩阵阵J(q)是关关节变量量q的函函数,总总会存在在一些位位形,在在这些位位形处,|J(q)|=0,即J(q)为为奇异矩矩阵,这这些位形形就叫奇奇异位形形。一般，奇奇异位形形有两种种类型：工作

6、域边边界上的的奇异：这种奇异异位形出出现在机机器人的的机械手手于工作作区的边边界上时时，也就就是在机机器人手手臂全部部展开或或全部折折回时出出现。这这种奇异异位形并并不是特特别严重重，只要要机器人人末端执执行器远远离工作作区边界界即可。工作域内内部奇异异：这种奇异异位形出出现在两两个或多多个关节节轴线重重合时，这种奇奇异位形形很难处处理，因因为它可可能出现现在工作作区的任任何位置置，并且且机器人人的末端端执行器器在这种种奇异位位形附近近的可操操作性会会变坏，这样极极大的减减少了机机器人的的可行区区。对机器人人通过奇奇异位形形时轨迹迹控制方方法的研研究可以以大致分分为如下下四种方方法:1)回避避

7、机器人人操作器器的奇异异位形预测奇异异位形的的可能出出现位置置,并避避免它。理论上上对给定定的机器器人操作作器只要要令其雅雅可比行行列式的的值等于于零，即即可找到到它的奇奇异位形形。2)根据据机构的的各向同同性原理理设计机机器人操操作器通过设计计上的优优化，能能使得机机器人机机构在一一个比较较大的区区域内保保持各向向同性，即在各各个方向向的可能能误差和和施加的的力都是是相同的的。3)利用用降秩雅雅可比矩矩阵求近近似反解解在奇异位位形附近近利用矩矩阵论中中的伪逆矩阵阵理论，通过定定义一种种伪逆雅雅可比矩矩阵，将将雅可比比矩阵降降秩处理理，求解解近似反反解。4)利用用具有冗冗余度的的机器人人操作器

8、器使机器人人通过奇奇异位形形时给机机械臂增增加多余余的关节节。定义：设设，若若，且且同时有有则称A+是A的伪伪逆矩阵阵。5.2机器人的的静力学学y0 x0存在怎样样的关系系用矢量来来标标记力，用表表示示对于所所定义坐坐标系各各轴x,y,z的分力力。用矢矢量来来标标记力矩矩，以表表示作作用于任任何定义义的坐标标系（而而不是基基坐标）各轴的的分力矩矩。5.2.1静力力和静力力矩的表表示5.2.2虚虚功功原理虚功原理理：约束力不做功的的力学系系统，若若在某一一位置已已处于静静止状态态，则其其能够保保持静止止的必要要与充分分条件是是，所有有主动力力在该位位置的任任意虚位移上所作的的虚功之之和等于于零。

9、已知作用用在杠杆杆一端的的力，试用用虚功原原理求作作用于另另一端的的力。设杆杆长为已已知知。杠杆及作作用在它它两端上上的力对于一个个系统来来说，限限制系统统中质点点运动的的各种条条件就是是系统的的约束，而约束束力是使使系统动动作受到到制约的的力。另一个概概念就是是虚位移移，这里里所说的的虚位移移是描述述作为对对象的系系统力学学结构的的位移，也就是是当系统统的质点点位于某某个位置置的时候候，为约约束所允允许的可可能实现现的任何何无限小小的位移移，具有有：无限小小性质不破坏坏约束与是否否发生实实际运动动无关，不同于于随时间间一起产产生的实实际位移移，为此用“虚”一一词来表表示。虚虚位移在在数学上上

10、用变分分符号表示，实实位移在在数学上上用微分分符号d表示。5.2.3机器器人静力力关系式式的推导导可用虚功功原理证证明。以图所示示的二自自由度机机械手为为研究对对象，要要产生图图所示的的虚位移移，推导导出图b所示各各力之间间的关系系。证明:假假设如果施加加在机械械手上的的力为F，以机机械手为为研究对对象，这这个力成成为手爪爪力的反反力（-F来表表示）时时，机械械手的虚虚功可表表示为：应用虚功功原理，则可得得到：手爪的虚虚位移和和关关节虚位位移之之间间的关系系，用雅雅克比矩矩阵表示示为可得：由于这一一公式对对任意的的 都成成立，因因此机械手静静力学关关系式：式中，广义义关节力力矩，F机机器人手手

11、部端点点力，与与手手部端点点力和广广义关节节力矩之之间力传传递有关关，称为为机器人力力雅可比比。机器器人力雅雅可比正正好是速速度雅可可比的转转置。 若J是关节空间向操作空间的映射（微分运动矢量），则 把操作空间的广义力矢量映射到关节空间的关节力矢量。关节空间间操作空间间雅可比J力雅可比比JT上式表明明关节的的力可由由手坐标标系中期期望的力力和力矩矩决定。由于前前面对速速度的分分析已得得知速度度雅可比比矩阵，所以控控制器可可根据手手坐标系系中的期期望值计计算关节节力和力力矩，并并对机器器人进行行控制。显然，随着机机器人构构型的变变化，雅雅可比矩矩阵也随随之发生生变化。因此当当机器人人进行运运动时

12、，机械手手在不断断的对工工件进行行操作，为了使使机械手手能够持持续施加加同样的的力，关关节处的的力矩也也要随之之发生变变化，这这时需要要控制器器根据这这个关系系式不断断的计算算所需的的关节力力矩。从操作臂臂手部端端点力F与广义义关节力力矩之之间间的关系系式可可知，操操作臂静静力计算算可分为为两类：已知外界界对手部部作用力力F，求求满足静静力平衡衡条件的的关节驱驱动力矩矩（）已知关节节驱动力力矩，确定定机器人人手部对对外界环环境的作作用力F或负荷荷质量（逆解，即解）当自由度度n6时，力力雅可比比可能不不是方阵阵，没有有逆解，一般情情况下不不一定能能得到唯唯一的解解。例3：一一个6自自由度机机器人

13、的的雅可比比矩阵数数值如下下。为了了在部件件上钻孔孔，希望望沿手坐坐标系Z轴产生生1N的的力，并并对于Z轴产生生20N/m的的力矩，求需要要的关节节力和力力矩。解： 解：由前面的的推导知知例 2:由图所示示的一个个二自由由度平面面关节机机械手，已知手手部端点点力，忽略略摩擦，求时时的的关节力力矩。所以得：图3-18 关节力和操作力关系y0 x0根据所以在某一瞬瞬时,则与手部部端点力力相对应应的关节节力矩为为5.2.4运动动学、静静力学和和动力学学的关系系运动学动力学静力学Robotics动力学5.3机机器人人动力学学分析5.3.1拉格格朗日方方程Lagrange方程程i=1，2，3，.,n系统

14、选定定的广义义坐标（动能和和势能的的坐标）广广义坐标标对对时时间的一一阶导数数广义义力,作作用在第第i个坐坐标上的的力或力力矩n为连杆杆数目Robotics动力学5.3.1拉格格朗日方方程两杆机器器人如图图。对连杆1：对连杆2：l1l2Robotics动力学5.3.1拉格格朗日方方程二杆动能能和势能能分别为为：l1l2Robotics动力学5.3.1拉格格朗日方方程系统的总总动能和和势能及及拉格朗朗日函数数分别为为：分别求得得注意：这这里只求求显因变变量的偏偏导数Robotics动力学5.3.1拉格格朗日方方程 写成矩阵阵有：惯性力向向心心力哥哥式式力重重力5.3.2牛顿顿-欧拉拉法 式中等等的含义义与拉格格朗日法法的一样