全国高考理科数学试卷

1、3 /14乒乓球台面被网分成甲、乙两部分，如图，甲上有两个不相交的区域A,B，乙被划分为两个不相交的区域C,D.某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球规定：回球一次，落点在C上记分，在D上记分，其它情况记分对落点在A上的来球，1；对落点在B上的来球，小明上的来球，1；对落点在B上的来球，小明回球的落点在C上的概率为5，在D上的概率为35假设共有两次来球且落在A,B上各一次，小明的两次回球互不影响.求:小明的两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率；两次回球结束后，小明得分之和E的分布列与数学期望。()(本小题满分分)已知等差数列a的公差为，前n项和为S，且S,S,S成等比数列.nn1

2、24求数列a的通项公式；n4n令b=(1)n-1，求数列b的前n项和T.TOC o 1-5 h znaannnn+1()(本小题满分分)ex2设函数f(x)=-k(+Inx)(k为常数，e=2.71828是自然对数的底数).x2x当k0)的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线1交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有IFA1=1FD丨当点A的横坐标为时，AADF为正三角形。(I)求C的方程;(II)若直线l/1，且l和C有且只有一个公共点E,11证明直线AE过定点，并求出定点坐标；AABE的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由。参考答案一、选择题二、填

3、空题三、解答题二、填空题三、解答题.解：(I)由题意知f(x)=a-b=msin2x+ncos2x因为y=f(x)的图像过点(12，3)和，2)J3=msin+ncos66宀.4兀4兀-2=msin+ncos333=3m+22解得m=3,n=1(II)由(I)知f(x)=y/3sin2x+cos2x=2sin(2x+上)6兀由题意知g(x)=f(x+申)=2sin(2x+2申+：)6设y=g(x)的图像上符合题意的最高点为(x,2),0由题意知xo2+1=1，所以x0=0即到点(，)的距离为的最高点为(，)兀将其代入y=g(x)得sm(2申+三)=16兀因为0申兀，所以=6因此g因此g(x)=

4、2sin(2x+牛)=2cos2xf)f)由2kn-n2x2k兀,keZ，得k兀一xkn,keZ2n所以，函数y=g(x)的单调递增区间为k兀,kn,keZ(I)证明：因为四边形ABCD是等腰梯形,且AB=2CD所以AB/DC，又由是的中点,因此CD/MA且CD=MA连接AD1在四棱柱ABCD一ABCD中，1111因为CD/CD,CD=CD1111可得CD/MA,CD1111=MA所以四边形AMC1D1可得CD/MA,CD1111=MA11又CM乞平面AADD,DAu平面AADD111111所以CM/平面AADD111（II）解法一：连接AC,MC由（I）知CD/AM且CD=AM所以四边形AM

5、CD为平行四边形可得BC=AD=MC由题意ZABC=ZDAB=60o所以口MBC为正三角形因此AB二2BC二2,CA=;3因此CA丄CB以C为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系C-xyz所以A3,0,0）,B（0,1,0）,D（0,0八斤1因此M（-亍,2,0）所以MDi=(-1_:Q12屛花=厕=(-A严设平面CDM的一个法向量n（x,y,z）由由-y=0+y-2、3z=0可得平面CiM的一个法向量n二（1,巨D又CD1=(0,0,为平面ABCD的一个法向量因此cos=1CD-nICDIInI1所以，平面CD严和平面ABCD所成的角(锐角)的余弦值为5的余弦值为乎的余弦值为乎解法二：由(I

6、)知平面DCMc平面ABCD=AB11过C向AB引垂线交AB于N，连接DN1由CD丄平面ABCD，可得DN丄AB11因此ZDNC为二面角C-AB-C的平面角11在R/BNC中，BC二1,ZNBC二60U可得CN2所以ND=、,:CD2+CN2=空_1*12在叫DR中,cos如严=DN送手1亍所以平面C1D1M和平面ABCD所成的角(锐角).解：(I)记A为事件“小明对落点在上的来球回球的得分为i分”(i=0,1,3)i则P(A3)=2,p(A1)=3,p(A0)=1-2-3=6记B为事件“小明对落点在上的来球回球的得分为i分”(i=0,1,3)i13131则P(B3)=5,P(B=5,P(B0

7、)=1-5-5=5记为事件“小明两次回球的落点中恰有次的落点在乙上”由题意，DAB+AB+AB+ABTOC o 1-5 h z30100103由事件的独立性和互斥性，P(D)P(AB+AB+AB+AB)30100103P(AB)+P(AB)+P(AB)+P(AB)30100103P(A)P(B)+P(A)P(B)+P(A)P(B)+P(A)P(B)30100103111113113=_x+X+X+X-25356565103所以，小明两次回球的落点中恰有次的落点在乙上的概率为币(II)由题意，随机变量g可能的取值为,，由事件的独立性和互斥性，得P一0)-P(A0B0)-1x1-P(g1)P(AB

8、+AB)P(AB)+P(AB)1x1+1x31TOC o 1-5 h z1001100135656P(g2)P(AB)-x-511355P(g3)P(AB+AB)P(AB)+P(AB)1x-+-x130033003255615P(g4)P(AB+AB)P(AB)+P(AB)1x3+1x11131133113253530P-6)P(A3b3)2x5g1112111P3065153010可得，随机变量g的分布列为:所以，数学期望Eg0 x丄+1x1+2x1+3x+4x11+6x乂学期30651530109130.解:2x1,(I)因为S=a,S=2a+x2=2a+2112121x3S=4a+x2=

9、4a+124121由题意得(2a+2)2=a(4a+12)111解得ai=1所以a=2n一1n(II)bn4n=(II)bn4n=(l)n-11aann+14n(2n1)(2n+1)=(1)n-1+-12=(1)n-1+-12n12n+1丿仁1)(11)(11(11+.+nI3J135Jj2n32n1Jj2n12n+1丿当为偶数时，=112n1(1)(11)(11(11)+.+卜n13丿135丿j2n32n1丿j2n12n+1丿2n2n+1当为奇数时，1+2n12n+22n+1所以，2n、2n+i(或T(或Tn2n+1+(1)n12n+1.解：.解：(I)函数y=f(x)的定义域为(0,+8)

10、TOC o 1-5 h zx2ex-2xex21、-k(-+)x4x2xxex-2exk(x-2)x3x2(x-2)(ex-kx)X3由k0所以，当xe(0,2)时，f(x)0，函数y=f(x)单调递增。所以，f(x)的单调递减区间为(0,2)，单调递增区间为(2,+8)(II)由(I)知，k0时，设函数g(x)=ex一kx,xe0,+8)因为g(x)=exk=exeink当0k0,y二g(x)单调递增故f(x)在(0,2)内不存在两个极值点；当k1时，得xe(0,lnk)时，g(x)0，函数y=g(x)单调递增所以，函数y=g(x)的最小值为g(ink)=k(1-ink)函数f(x)在(，)内存在两个极值点g(0)0g(Ink)00lnk2e2解得ek0)，则FD的中点为(,0)4因为IFA1=1FDI由抛物线的定义知3+-P=It-PI解得t=3+p或t=-3(舍去)