(新高考)高考数学一轮复习课时练习3.4《函数性质的综合问题》(含解析)

1、第4讲函数性质的综合问题函数的单调性与奇偶性 (1)设f(x)是定义在2b，3b上的偶函数，且在2b，0上为增函数，则f(x1)f(3)的解集为()A3，3 B2，4C1，5 D0，6(2)(多选)定义在R上的奇函数f(x)为减函数，偶函数g(x)在区间0，)上的图象与f(x)的图象重合，设ab0，则下列不等式中成立的是()Af(b)f(a)g(a)g(b)Cf(a)f(b)g(b)g(a)【解析】(1)因为f(x)是定义在2b，3b上的偶函数，所以2b3b0，解得b3，由函数f(x)在6，0上为增函数，得f(x)在0，6上为减函数故f(x1)f(3)f(|x1|)f(3)|x1|3，故2x4

2、.(2)函数f(x)为R上的奇函数，且为单调减函数，偶函数g(x)在区间0，)上的图象与f(x)的图象重合，由ab0，得f(a)f(b)0，f(a)g(a)，f(b)g(b)；对于A，f(b)f(a)g(a)g(b)f(b)f(a)g(a)g(b)2f(b)0上成立)，所以A正确；对于B，f(b)f(a)g(a)g(b)f(b)f(a)g(a)g(b)2f(b)0，这与f(b)0矛盾，所以B错误；对于C，f(a)f(b)g(b)g(a)f(a)f(b)g(b)g(a)2f(a)f(b)0，这与f(a)g(b)g(a)f(a)f(b)g(b)g(a)2f(a)f(b)0，这与f(a)f(x2)或

3、f(x1)f(x2)的形式，再根据函数的奇偶性与单调性，列出不等式(组)，要注意函数定义域对参数的影响 1已知函数f(x)是奇函数，在(0，)上是减函数，且在区间a，b(ab0，则实数m的取值范围是()Aeq blc(rc)(avs4alco1(0，f(1,2) B(，0)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，)Ceq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)，0)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，f(4,3) Deq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)，f(4,3)解析：选C.因为f(x)为偶函数，且在0，3)上是减函数，所以f(

4、x)在(3，0)上是增函数f(m1)f(3m1)0可化为f(m1)f(3m1)，因为f(x)为偶函数，所以f(m1)f(3m1)即为f(|m1|)f(|3m1|)又f(x)在0，3)上为减函数，所以eq blc(avs4alco1(3m13，,33m13，,|m1|3m1|，)解得meq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)，0)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，f(4,3)，故选C.函数的周期性与奇偶性 (1)(2021河南模拟)已知定义在R上的奇函数f(x)，对任意实数x，恒有f(x3)f(x)，且当xeq blc(rc(avs4alco1(0，f(3,2

5、)时，f(x)x26x8，则f(0)f(1)f(2)f(2 020)()A6 B3C0 D3(2)已知函数yf(x)满足yf(x)和yf(x2)是偶函数，且f(1)eq f(,3)，设F(x)f(x)f(x)，则F(3)()Aeq f(,3) Beq f(2,3)C Deq f(4,3)【解析】(1)根据题意，对任意实数x，恒有f(x3)f(x)则有f(x6)f(x3)f(x)，即函数f(x)是周期为6的周期函数，又由f(x)为定义在R上的奇函数，得f(0)0，则f(3)f(0)0.又由当xeq blc(rc(avs4alco1(0，f(3,2)时，f(x)x26x8，得f(1)3，f(2)f

6、(13)f(1)f(1)3.f(4)f(13)f(1)3，f(5)f(23)f(2)3.则有f(0)f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)0，则f(0)f(1)f(2)f(2 020)f(0)f(1)f(2)f(5)336f(0)f(1)f(2)f(3)f(4)3.故选B.(2)由yf(x)和yf(x2)是偶函数知f(x)f(x)，且f(x2)f(x2)，则f(x2)f(x2)所以f(x4)f(x)，则yf(x)的周期为4.所以F(3)f(3)f(3)2f(3)2f(1)2f(1)eq f(2,3).【答案】(1)B(2)Beq avs4al()周期性与奇偶性结合，此类问题多考查求值问题，常

7、利用奇偶性及周期性进行转换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的定义域内求解 1已知f(x)是定义在R上以3为周期的偶函数，若f(1)1，f(5)eq f(2a3,a1)，则实数a的取值范围为()A(1，4) B(2，1)C(1，2) D(1，0)解析：选A.因为函数f(x)是定义在R上以3为周期的偶函数，所以f(5)f(1)f(1)，即eq f(2a3,a1)1，化简得(a4)(a1)0，解得1a4.2(2021全国高考冲刺压轴卷(样卷)已知定义在R上的奇函数yf(x)满足f(x8)f(x)0，且f(5)5，则f(2 019)f(2 024)()A5 B5C0 D4 043解析：选B.由f

8、(x8)f(x)0，得f(x8)f(x)，所以f(x16)f(x8)f(x)，故函数yf(x)是以16为周期的周期函数在f(x8)f(x)0中，令x0，得f(8)f(0)0，因为函数yf(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)0.故f(8)0.故f(2 024)f(161268)f(8)0.又在f(x8)f(x)0中，令x3，得f(5)f(3)0，得f(5)f(3)f(3)5，则f(2 019)f(161263)f(3)5，所以f(2 019)f(2 024)5.故选B.函数的奇偶性、周期性与对称性的综合问题 (1)若函数yf(x)在(0，2)上是增函数，函数yf(x2)是偶函数，则下列结论正

9、确的是()Af(1)feq blc(rc)(avs4alco1(f(5,2)feq blc(rc)(avs4alco1(f(7,2)Bfeq blc(rc)(avs4alco1(f(7,2)f(1)feq blc(rc)(avs4alco1(f(5,2)Cfeq blc(rc)(avs4alco1(f(7,2)feq blc(rc)(avs4alco1(f(5,2)f(1)Dfeq blc(rc)(avs4alco1(f(5,2)f(1)feq blc(rc)(avs4alco1(f(7,2)(2)(多选)(2021福建高三毕业班质量检查测试)已知f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于点(1

10、，0)对称，下列关于f(x)的结论，正确的是()Af(x)是周期函数Bf(x)满足f(x)f(4x)Cf(x)在(0，2)上单调递减Df(x)cos eq f(x,2)是满足条件的一个函数【解析】(1)因为yf(x2)是偶函数所以yf(x)的图象关于直线x2对称，所以f(1)f(3)又f(x)在(0，2)上为增函数，所以f(x)在(2，4)上为减函数，所以feq blc(rc)(avs4alco1(f(7,2)f(1)feq blc(rc)(avs4alco1(f(5,2).(2)因为f(x)为偶函数，所以f(x)f(x)，因为f(x)的图象关于点(1，0)对称，则f(x)f(2x)，故f(x

11、2)f(x)，故有f(x4)f(x2)f(x)，即f(x)是以4为周期的周期函数，故A正确；可得f(x)f(x)f(x4)，把x替换成x可得f(x)f(4x)，故B正确；f(x)cos eq f(x,2)是定义在R上的偶函数，(1，0)是其图象的一个对称中心，可得D正确；f(x)cos eq f(x,2)满足题意，但f(x)在(0，2)上单调递增，故C错误【答案】(1)B(2)ABDeq avs4al()函数的奇偶性、对称性、周期性，知二断一特别注意“奇函数若在x0处有定义，则一定有f(0)0；偶函数一定有f(|x|)f(x)”在解题中的应用 函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x)f(2

12、x)若f(x)在区间1，2上是减函数，则f(x)()A在区间2，1上是增函数，在区间3，4上是增函数B在区间2，1上是增函数，在区间3，4上是减函数C在区间2，1上是减函数，在区间3，4上是增函数D在区间2，1上是减函数，在区间3，4上是减函数解析：选B.由f(x)f(2x)得f(x)的图象关于直线x1对称又f(x)是偶函数，故函数f(x)的周期是2，f(x)在区间2，1上是增函数，在区间3，4上是减函数思想方法系列4活用函数性质中的“三个二级”结论函数的奇偶性、周期性、对称性及单调性，在高考中常常将它们综合在一起命题，解题时，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区

13、间的转换，再利用单调性解决相关问题一、奇函数的最值性质已知函数f(x)是定义在区间D上的奇函数，则对任意的xD，都有f(x)f(x)0.特别地，若奇函数f(x) 在D上有最值，则f(x)maxf(x)min0，且若0D，则f(0)0. 设函数f(x)eq f(（x1）2sin x,x21)的最大值为M，最小值为m，则Mm_【解析】函数f(x)的定义域为R，f(x)eq f(（x1）2sin x,x21)1eq f(2xsin x,x21)，设g(x)eq f(2xsin x,x21)，则g(x)g(x)，所以g(x)为奇函数，由奇函数图象的对称性知g(x)maxg(x)min0，所以Mmg(x

14、)1maxg(x)1min2g(x)maxg(x)min2.【答案】2二、抽象函数的周期性(1)如果f(xa)f(x)(a0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T2a.(2)如果f(xa)eq f(1,f（x）)(a0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T2a.(3)如果f(xa)f(x)c(a0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T2a. 已知函数f(x)为定义在R上的奇函数，当x0时，有f(x3)f(x)，且当x(0，3)时，f(x)x1，则f(2 023)f(2 024)()A3B2C1 D0【解析】因为函数f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(2 023)f(2 02

15、3)因为当x0时，有f(x3)f(x)，所以f(x6)f(x3)f(x)，即当x0时，自变量的值每增加6，对应函数值重复出现一次又当x(0，3)时，f(x)x1，所以f(2 023)f(33761)f(1)2，f(2 024)f(33762)f(2)3.故f(2 023)f(2 024)f(2 023)31.【答案】C三、抽象函数的对称性已知函数f(x)是定义在R上的函数(1)若f(ax)f(bx)恒成立，则yf(x)的图象关于直线xeq f(ab,2)对称，特别地，若f(ax)f(ax)恒成立，则yf(x)的图象关于直线xa对称(2)若函数yf(x)满足f(ax)f(ax)0，即f(x)f(

16、2ax)，则f(x)的图象关于点(a，0)对称 (多选)(2021山东日照联考)已知定义在R上的函数f(x)满足条件f(x2)f(x)，且函数f(x1)为奇函数，则下列结论正确的是()A函数f(x)是周期函数B函数f(x)的图象关于点(1，0)对称C函数f(x)为R上的偶函数D函数f(x)为R上的单调函数【解析】因为f(x2)f(x)，所以f(x4)f(x2)f(x)，故f(x)是周期函数，故A正确；因为函数f(x1)为奇函数，所以函数f(x1)的图象关于原点中心对称，所以函数f(x)的图象关于点(1，0)对称，故B正确；因为函数f(x1)为奇函数，所以f(x1)f(x1)，根据f(x2)f(

17、x)，f(x1)f(x1)，所以f(x1)f(x1)，f(x)f(x)，即函数f(x)为R上的偶函数，故C正确；因为函数f(x1)为奇函数，所以f(1)0，又函数f(x)为R上的偶函数，所以f(1)0，所以函数f(x)不单调，D不正确【答案】ABC A级基础练1已知函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当0 x1时，f(x)4x，则feq blc(rc)(avs4alco1(f(5,2)f(1)()A2 B0C2 D1解析：选A.因为函数f(x)为定义在R上的奇函数，且周期为2，所以f(1)f(1)f(12)f(1)，所以f(1)0，feq blc(rc)(avs4alco1(f(5,2

18、)feq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)feq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)4eq sup6(f(1,2)2，所以feq blc(rc)(avs4alco1(f(5,2)f(1)2.2下列函数中，其图象与函数yln x的图象关于直线x1对称的是()Ayln(1x) Byln(2x)Cyln(1x) Dyln(2x)解析：选B.通解：设所求函数的图象上的任一点坐标为(x，y)，则其关于直线x1的对称点坐标为(2x，y)，由对称性知点(2x，y)在函数yln x的图象上，所以yln(2x)故选B.优解：由题意知，对称轴x1上的点(1，0)既在函数yln x的图

19、象上也在所求函数的图象上，将点(1，0)代入选项中的函数表达式逐一检验，排除A，C，D.故选B.3若f(x)是定义在(，)上的偶函数，x1，x20，)(x1x2)，有eq f(f（x2）f（x1）,x2x1)0，则()Af(3)f(1)f(2) Bf(1)f(2)f(3)Cf(2)f(1)f(3) Df(3)f(2)f(1)解析：选D.因为x1，x20，)(x1x2)，有eq f(f（x2）f（x1）,x2x1)0，所以当x0时，函数f(x)为减函数，因为f(x)是定义在(，)上的偶函数，所以f(3)f(2)f(1)，即f(3)f(2)f(1)4已知函数f(x)满足f(x1)f(5x)，且对任

20、意的x1，x22，)，x1x2，都有eq f(f（x1）f（x2）,x1x2)0成立，若pf(7)，qf(8)，mf(2)，则p，q，m的大小关系为()Aqmp BpmqCqpm Dpqm解析：选C.因为f(x1)f(5x)，所以函数f(x)的图象关于直线x2对称又对任意的x1，x22，)，x1x2，都有eq f(f（x1）f（x2）,x1x2)f(7)f(12)，即mpq，故选C.5(多选)已知f(x)是定义域为R的奇函数，且函数f(x2)为偶函数，则下列结论正确的是()A函数yf(x)的图象关于直线x1对称Bf(4)0Cf(x8)f(x)D若f(5)1，则f(19)1解析：选BCD.根据题

21、意，f(x)是定义域为R的奇函数，则f(x)f(x)，又由函数f(x2)为偶函数，则函数f(x)的图象关于直线x2对称，则有f(x)f(4x)，则有f(x4)f(x)，则f(x8)f(x4)f(x)，则函数f(x)是周期为8的周期函数；据此分析选项：对于A，函数f(x)的图象关于直线x2对称，A错误；对于B，f(x)是定义域为R的奇函数，则f(0)0，又由函数f(x)的图象关于直线x2对称，则f(4)0，B正确；对于C，函数f(x)是周期为8的周期函数，即f(x8)f(x)，C正确；对于D，若f(5)1，则f(19)f(524)f(5)1，D正确6若函数f(x)eq blc(avs4alco1

22、(x22x1，x0，,a， x0，,g（2x）， x0)为奇函数，则a_，f(g(2)_解析：因为f(x)是R上的奇函数 ，所以f(0)0，即a0，若x0，则f(x)f(x)，即f(x)f(x)，则g(2x)(x22x1)，令x1，则g(2)(121)2，f(2)f(2)(441)7，故f(g(2)7.答案：077设函数f(x)eq f(x3,x21)1在x9，9上的最大值为M，最小值为m，则Mm_解析：f(x)eq f(x3,x21)1，其中eq f(x3,x21)上奇下偶明显是奇函数，最大、最小值之和为零，那么f(x)的最大值与最小值之和就是212.答案：28已知函数f(x)eq blc(

23、avs4alco1(2x2，x0，,f（x2）1，x0，)则f(2 021)_解析：当x0时，f(x)f(x2)1，则f(2 021)f(2 019)1f(2 017)2f(1)1 010f(1)1 011，而f(1)0，故f(2 021)1 011.答案：1 0119已知函数yf(x)的图象关于原点对称，且当x0时，f(x)x22x3.(1)试求f(x)在R上的解析式；(2)画出函数的图象，根据图象写出它的单调区间解：(1)因为函数f(x)的图象关于原点对称，所以f(x)为奇函数，则f(0)0.设x0，因为x0时，f(x)x22x3，所以f(x)f(x)(x22x3)x22x3.所以f(x)

24、eq blc(avs4alco1(x22x3，x0，,0，x0，,x22x3，x0.)(2)先画出函数在y轴右侧的图象，再根据对称性画出y轴左侧的图象，如图由图象可知函数f(x)的单调递增区间是(，1，1，)，单调递减区间是(1，0)，(0，1)10函数f(x)的定义域为Dx|x0，且满足对于任意x1，x2D，有f(x1x2)f(x1)f(x2)(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论解：(1)因为对于任意x1，x2D，有f(x1x2)f(x1)f(x2)，所以令x1x21，得f(1)2f(1)，所以f(1)0.(2)f(x)为偶函数证明如下：令x1x21，有f(1)f(

25、1)f(1)，所以f(1)eq f(1,2)f(1)0.令x11，x2x有f(x)f(1)f(x)，所以f(x)f(x)，所以f(x)为偶函数B级综合练11(2020新高考卷)若定义在R的奇函数f(x)在(，0)单调递减，且f(2)0，则满足xf(x1)0的x的取值范围是()A1，13，)B3，10，1C1，01，)D1，01，3解析：选D.通解：由题意知f(x)在(，0)，(0，)单调递减，且f(2)f(2)f(0)0.当x0时，令f(x1)0，得0 x12，所以1x3；当x0时，令f(x1)0，得2x10，所以1x1，又x0，所以1x0；当x0时，显然符合题意综上，原不等式的解集为1，01

26、，3，选D.优解：当x3时，f(31)0，符合题意，排除B；当x4时，f(41)f(3)0，此时不符合题意，排除选项A，C.故选D.12(多选)已知f(x)是定义域为R的函数，满足f(x1)f(x3)，f(1x)f(3x)，当0 x2时，f(x)x2x，则下列说法正确的是()Af(x)的最小正周期为4Bf(x)的图象关于直线x2对称C当0 x4时，函数f(x)的最大值为2D当6x8时，函数f(x)的最小值为eq f(1,2)解析：选ABC.由f(x1)f(x3)得，f(x)f(x1)1f(x1)3f(x4)，故函数f(x)的周期为4，A正确；由f(1x)f(3x)可得f(2x)f(2x)，所以

27、函数f(x)的图象关于直线x2对称，B正确；作出函数f(x)在0，8上的大致图象如图所示，由图可知，当0 x4时，函数f(x)的最大值为f(2)2.C正确；当6x8时，函数f(x)的最小值为feq blc(rc)(avs4alco1(f(15,2)feq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)eq f(1,4)，D错误13已知定义在R上的函数f(x)满足：对任意的实数x，yR，有f(xy1)f(x)f(y)f(1x)f(1y)；f(x)在区间0，1上单调递增(1)求f(0)的值；(2)求证：f(x)是图象关于直线x1对称的奇函数解：(1)令xy0，则f(1)f2(0)f2(1)，再令

28、x0，yeq f(1,2)可得feq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)f(0)feq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)f(1)feq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2).若feq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)0，则f(1)f2eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)f2eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)0，这与f(x)在区间0，1上单调递增矛盾，故feq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)0，故1f(0)f(1)联立解得f(0)0且f(1)1，或f(0)eq f(1,2)且f(1)

29、eq f(1,2)(舍去)综上，f(0)0，f(1)1.(2)证明：用y代替1y得f(xy)f(x)f(1y)f(1x)f(y)在中令yx，可得f(0)f(x)f(1x)f(1x)f(x)由式可知f(x1)f(x)f(0)f(1x)f(1)f(1x)，即f(x1)f(1x)，故f(x)的图象关于直线x1对称，将上式代入可得0f(x)f(1x)f(1x)f(x)又f(x1)不恒为0，故f(x)f(x)0恒成立，故f(x)为奇函数14已知函数f(x)eq f(ax2bxc,xd)(其中a，b，c，d是实数常数，xd)(1)若a0，函数f(x)的图象关于点(1，3)成中心对称，求b，d的值；(2)若

30、函数f(x)满足条件(1)，且对任意x03，10，总有f(x0)3，10，求c的取值范围解：(1)因为a0，所以f(x)eq f(bxc,xd)beq f(cbd,xd).我们知道函数yeq f(k,x)(x0)的图象关于点(0，0)对称，而f(x)beq f(cbd,xd)相当于将f(x)eq f(cbd,x)向左平移d个单位，再向上平移b个单位得到，因此f(x)的对称中心是(d，b)又因为函数f(x)的图象的对称中心是(1，3)，所以eq blc(avs4alco1(b3，,d1.)(2)由(1)知，f(x)3eq f(c3,x1).依据题意，对任意x03，10，恒有f(x0)3，10当c3时，f(x)3，符合题意当c3且c3时，对任意x3，10，恒有f(x)3eq f(c3,x1)3，函数f(x)3eq f(c3,x1)在3，10上是单调递减函数，且满足f(x)3.因此，当且仅当f(3)10，即3x1f(x2)x2f(x1)，则称函数yf(x)为“H函数”下列函数为“H函数”的是()Af(x)sin x Bf(x)exCf(x)x33x Df(x)x|x|解析：选D