2021年全国统一新高考数学试卷(新高考Ⅱ卷)

1、2021 年全国统一高考数学试卷（新高考卷）一选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的2 i1. 复数在复平面内对应的点所在的象限为（B. 第二象限）1 A. 第一象限C. 第三象限D. 第四象限 2. 设集合U AB，则A B （）UA.B.C.D.3. 若抛物线 y2 2px(p的焦点到直线yx1的距离为2，则 p（）2 2A. 1B. 2C.D.44. 北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为36000km个球心为 ，半径 r为6400km的球，其上

2、点A的纬度是指OA与赤道平面所成角的度数地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为 ，记卫星信号覆盖地球表面的表面积为S 2 r (1 )（单位： S占地球表面积的百分比约为（）22A. 26%B. 34%C. 42%D.50%5. 正四棱台上下底面的边长分别为 2，4，侧棱长为 2，则其体积为（） 2 3 2A.B.C.D.33 N 26. 某物理量的测量结果服从正态分布A. 越小，该物理量在一次测量中在的概率越大B. 越小，该物理量在一次测量中大于10概率为0.5，下列结论中不正确的是（）C. 越小，该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等D. 越小，

3、该物理量在一次测量中落在与落在的概率相等c 1a 2 b 37. 已知，2，则下列判断正确的是（）58cbabacabcD.A.B.C. acb f xf x2f 2x18. 已知函数的定义域为R ，为偶函数，C.为奇函数，则（）1 f 1 0 f 4 0 f0f 2 0 A.B.D. 2 二选择题：本题共 4 小题，每小题 5分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得 2分，有选错的得 0 分x ,x ,x9. 下列统计量中，能度量样本的离散程度的是（B. 样本）12nx ,x ,xx ,x ,xA. 样本C. 样本的标准差的极差的中位数的平均

4、数12n12nx ,x ,xx ,x ,xD. 样本12n12n 10. 如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，N为正方体的顶点则满足的是（）A.B.C.D.l:r 0与圆C:x2 y2r2，点 (a,b)，则下列说法正确的是（B. 若点 A在圆 C内，则直线 l与圆 C相离D. 若点 A在直线 l上，则直线 l与圆 C相切11. 已知直线2）A. 若点 A在圆 C上，则直线 l与圆 C相切C. 若点 A 圆 C外，则直线 l与圆 C相离在 ，记n a 2 a 2 a 2k 1a 2 ka n a a a12. 设正整数0k 101ki01k（A.） 2n n 8n5 4n32n

5、3 n 1B. 2 1 nnC.D.三填空题：本题共 4 小题，每小题 5分，共 20 分x y221 a b 013. 已知双曲线 的离心率为 2，则该双曲线的渐近线方程为_a b22 f x :14. 写出一个同时具有下列性质的函数_ f x x f x f xx)时，f(x)0； f(x)是奇函数；当1 212 abbcca _a 1 b c 2abc015. 已知向量16. 已知函数， A x, f xB x , f xf(x) e 1,x 0,x 0 x f(x)的图象在点和点的两条121122| |切线互相垂直，且分别交 y轴于 ，N两点，则|取值范围是_四解答题：本题共 6 小题

6、，共 70分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤 a S ,a a SSa17. 记 是公差不为 0 的等差数列的前 n项和，若nn352 44 ana（1）求数列的通项公式 ；nS a（2）求使成立的 n的最小值nncCa bba1 ca2.18. 在中，角A 、B 、 所对的边长分别为 、 、 ，（1）若2sinC3sinA，求 的面积；aa（2）是否存在正整数 ，使得为钝角三角形?若存在，求出 的值；若不存在，说明理由19. 在四棱锥Q中，底面是正方形，若2, 5,3622，右焦点为322x y b (x0)与曲线 2 2 2相切证明：F三点共线21. 一种微生物群体可以经过自身繁殖不断

7、生存下来，设一个这种微生物为第 0 1代，再经过一次繁殖后为第 2 代，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设 X表示(Xi)pi0,1,2,3)iE(X)；，求0123230123x2（2）从下面两个条件中选一个，证明： f(x)有一个零点；22021年全国统一高考数学试卷（新高考全国卷）参考答案与试题解析一选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的2 i1. 复数在复平面内对应的点所在的象限为（B. 第二象限）1 A. 第一象限C. 第三象限D. 第四象限2 i【思路分析】利用复数的除法可化简，从而可求对应的点的位置

8、.1 1 1,2i 12i5 1i，所以该复数对应的点为，2 21 2该点在第一象限，故选：A.2. 设集合U AB2,3,4，则 A B （）UA.B.C.D. A B【思路分析】根据交集、补集的定义可求. U B A B U，故，故选：B.U3. 若抛物线 y2 2px(p的焦点到直线yx1的距离为2，则 p（）2 2A. 1B. 2C.D.4p【思路分析】首先确定抛物线的焦点坐标，然后结合点到直线距离公式可得 的值.pp 0 1 ，其到直线 xy10的距离：d 22，解得：21 1p 2 p 6(舍去)故选：B.4. 北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果在卫星导航系统中，地球

9、静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为36000km个球心为 ，半径 r为6400km的球，其上点A的纬度是指OA与赤道平面所成角的度数地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为 ，记卫星信号覆盖地球表面的表面积为S 2 r(1cos )（单位： S占地球表面积的百分比约为（）2A. 26%B. 34%C. 42%D.50%【思路分析】由题意结合所给的表面积公式和球的表面积公式整理计算即可求得最终结果.S占地球表面积的百分比约为：2 r ) 1 2.故选：C.0.42 14 r2225. 正四棱台的上下底面的边长分别为 2，4，侧棱长为 2，则其体积为（） 23

10、 3 2A.B.C.D.3【思路分析】由四棱台的几何特征算出该几何体的高及上下底面面积，再由棱台的体积公式即可得解. 2h 2 2 2 2 2，下底面面积，2111333121 22，下列结论中不正确的是（【思路分析】由正态分布密度曲线的特征逐项判断即可得解. A， 2 内的概率越大，故 A 正确；对于 B，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于 10 的概率为0.5，故B正确；对于 C，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等，故 C 正确；的概率与落在的概率与落在 10,10.3的概率不同，故D错误.10.2,10.3的概率

11、不同，所以一次测量1，2，则下列判断正确的是（）8B.b1，即acb.故选：C.25588 的定义域为R ，为偶函数，）1 f 2 0D. f0f 4 0A.B.C.24【思路分析】推导出函数是以 为周期的周期函数，由已知条件得出，结合已知条件可得出结论. 为偶函数，则 f 12x f 2x1 因为函数为奇函数，则，所以，f 1x f x1 ， f x3 f x1 f x1，即f x f x4 ，所以， f x4故函数是以 为周期的周期函数， F x f 2x1 因为函数为奇函数，则F 0 f 1 0， f 1 f 1 0故，其它三个选项未知.故选：B.二选择题：本题共 4 小题，每小题 5分

12、，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得 2分，有选错的得 0 分x ,x ,x9. 下列统计量中，能度量样本的离散程度的是（B. 样本）12nx ,x ,xx ,x ,xA. 样本C. 样本的标准差的极差的中位数的平均数12n12nx ,x ,xx ,x ,xD. 样本12n12n【思路分析】考查所给的选项哪些是考查数据的离散程度，哪些是考查数据的集中趋势即可确定正确选项.由中位数的定义可知，中位数考查的是数据的集中趋势；由极差的定义可知，极差考查的是数据的离散程度；由平均数的定义可知，平均数考查的是数据的集中趋势；故选：AC. 10. 如图，

13、在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，N为正方体的顶点则满足的是（）A.B.C.D.【思路分析】根据线面垂直的判定定理可得 BC 的正误，平移直线 构造所考虑的线线角后可判断 AD的正误.2 ，对于 A，如图（1）所示，连接 ，则MN/AC，故（或其补角）为异面直线OP,所成的角， 1，故2，OC 2，1在直角三角形，2 2故不成立，故 A 错误. （或者易得在上底面的射影为，故不成立）对于 B，如图（2）所示，取 NT 的中点为 ，连接，对于 ，,PQ,OQ,，K的中点 ，连接Q 的中点 ，则/，故/，因为 ，故所以或其补角为异面直线PO所成的角，1 2 12 3，因为正方体的棱长为

14、 2，故，222，故不是直角， 22 41 5，222PO, 不垂直，故D错误.故选：BC.故11. 已知直线l:axbyr20与圆22(a,b)，则下列说法正确的是（2 ，点）C:x y rA. 若点 A在圆 C上，则直线 l与圆 C相切C. 若点 A在圆 C外，则直线 l与圆 C相离B. 若点 A在圆 C内，则直线 l与圆 C相离D. 若点 A在直线 l上，则直线 l与圆 C相切a b ,r【思路分析】转化点与圆、点与直线的位置关系为的位置关系即可得解.的大小关系，结合点到直线的距离及直线与圆222 C r2d 到直线 l的距离，a b22r2 A a,bd =r ，r ，r ，在圆 C上

15、，则a b r若点，所以，所以，所以2222a b2222则直线 l与圆 C相切，故 A 正确；r2 A a,bd 在圆 C内，则a b r2若点2a b2则直线 l与圆 C相离，故 B 正确；r2 A a,bd 在圆 C外，则a b r2若点22a b2则直线 l与圆 C相交，故 C 错误； A a,ba2b2r 0 a b r2 2 2 2即 ，若点在直线 l上，则r2d= rlC所以，直线 与圆 相切，故 D 正确.故选：ABD.a b22 ，记n a 2 a 2 a 2k 1a 2 ka in a a a12. 设正整数0k 101k01k（A.） 2n n 8n5 4n32n3 n

16、1B. 2 1 nnC.D. 【思路分析】利用n 的定义可判断 ACD 选项的正误，利用特殊值法可判断 B 选项的正误. 2n a 2 a 2，a 2 a 2k k 1n a a a12 A 选项， ，01k01k 1k 2 n a a a n所以，A 选项正确；01k n2 2n3712 12 12 7 3对于 B 选项，取，2，01 2 17 2 1202 120 1，则而，即，B 选项错误；n 5 a 23a 214a 2k 3 5 1 2k01 22a 203a 214a 2k 3k 对于 C 选项， ， 8 5 20n a a a所以，01k4n 3 a 22a 23a 2k 2 3

17、 1 201 21a 202a 213a 2k 2k ，01k 4 3 2 8n5 4n3n a a a所以，因此，C 选项正确； 01k 2 1 n2n1 2 22，故n1对于 D 选项， n，D 选项正确.01故选：ACD.三填空题：本题共 4 小题，每小题 5分，共 20 分x y221 a b 013. 已知双曲线 的离心率为 2，则该双曲线的渐近线方程为_a b22【思路分析】由双曲线离心率公式可得 b23，再由渐近线方程即可得解.a2x y221 a b 0 的离心率为 2，a b22c2a2a bb222e 2所以 3，所以 ，a2a2byx 3x.故答案为：所以该双曲线的渐近线

18、方程为 y 3x.a【归纳总结】本题考查了双曲线离心率的应用及渐近线的求解，考查了运算求解能力，属于基础题. f x :14. 写出一个同时具有下列性质的函数_ f x x f x f x；当x)时， f(x)0； f (x)是奇函数，满足，1 212 f x【思路分析】根据幂函数的性质可得所求的. f x xf x x x x x x f x f x4 ，则441421 21 212 3f x 4x x0f x 0，时有，满足， 3f x 4xR 的定义域为 ， f x 4x f xf x又3，故是奇函数，满足. f x xf x x2n nN*故答案为：4 （答案不唯一，均满足）【归纳总结

19、】熟悉常见基本初等函数的基本性质有利于进行构造. abc0 abbcca a 1 b c 215. 已知向量，_ abc20，展开化简后可得结果.【思路分析】由已知可得 2a2b2c2 2 abbcca 9 2 abbcca 0， 922f(x) e 1,x 0,x 0 x和点的两条121122切线互相垂直，且分别交 y轴于 ，N两点，则【思路分析】结合导数的几何意义可得|取值范围是_12 1e x2x ，化简即可得解.，12121 e ,x 0 x x，则，e x 0 x1112xx，1212 xxxx，111111 x e x2，x1111,22 x1e 11x. x222故答案为：x ，

20、得，xk e ，k e ，xx12AMk eAMAN12BF OE ，AEOE，0 AOEe ，所以而故填：0 x x 012Sa的前 n项和，若n352 44 a（1）求数列nS a成立的 n的最小值nn【思路分析】(1)由题意首先求得 的值，然后结合题意求得数列的公差即可确定数列的通项公式；(2)首先求得前 n 项和的表达式，然后求解二次不等式即可确定 n 的最小值.a a a 0，则：，53333 aa a d a d d2d设等差数列的公差为 ，从而有：，2433 S a a a a a 2d a d a a d 2d，412343333从而：，由于公差不为零，故：d2，d 2d2 a

21、 a n3 d 2n6数列的通项公式为：.n3 n n 1 a 264S nn42 n n (2)由数列的通项公式可得：，则： 2，12 S an1 n6 0，n nn6则不等式即：，整理可得：2nnnnn1 n67解得：或，又 为正整数，故 的最小值为 .【归纳总结】等差数列基本量的求解是等差数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等差数列的有关公式并能灵活运用.c18. 在Ca bba1 ca2，.中，角A 、B 、 所对的边长分别为 、 、 ，（1）若2sinC3sinA，求 的面积；aa（2）是否存在正整数 ，使得余弦定理以及同角三角函数的基本关系求出B，再利用三角形的面积

22、公式可求得结果；为钝角三角形?若存在，求出 的值；若不存在，说明理由ccaab，结合已知条件求出 的值，进一步可求得 、 的值，利用Ca（2）分析可知，角 为钝角，由cosC 0结合三角形三边关系可求得整数 的值. 2sinC3sinA，则2c2 a2 a，则a4，故b5，c6，a b c 13 72+2-2C= ，所以，C 1 C C，为锐角，则2288113 7 7因此，S C 45；2284ABC（2）显然cba，若为钝角三角形，则 为钝角，Caa 1a 2a 3 a b c 2 2a 2 2222C0由余弦定理可得 ， 2a a 122a a 1解得1a3，则0a3，由三角形三边关系可

23、得aa1a2，可得a1aZ，故a2.19. 在四棱锥Q中，底面是正方形，若2, 5,3（1）证明：平面平面；（2）求二面角BA的平面角的余弦值的中点为 ，连接QO,，可证平面 ，从而得到面 面O.O于 ，则，建如图所示的空间坐标系，求出/，交T（2）在平面内，过 作平面、平面的法向量后可求二面角的余弦值.O QO,.的中点为 ，连接（1）取 ，则因为，而 5，故 512.在正方形 中，因为2，故1，故 5，因为3，故，故 为直角三角形且 ， 222因为O 平面，故因为平面（2）解法一：在平面结合（1）中的平面，故可建如图所示的空间坐标系.，故平面 平面.O于 ，则，/，交T内，过 作 D ,Q

24、 ,B 2, 2,1,2 , .则，故 的法向量n x,y,z设平面，n 02x y 2z 0 即x1，则yz2，则，取n 0 2x 2y 0 12n 故.2而平面的法向量为m ，故13 3.122的平面角为锐角，故其余弦值为 .322522cos BQD5即sin BMA232622，右焦点为32x y b (x0)与曲线 2 2 2相切证明：F三点共线b k 1，由直线与圆相切得，联立直线与椭圆方程结合弦长223，进而可得k1，即可得解.2c6c 2 ex2b a c 1，所以椭圆方程为2223，22，不合题意；当直线的斜率存在时，设必要性：，1122 若 ，F三点共线，可设直线x y x

25、相切可得2 2k 12,x x 3，可得x2224212123 11 x x 4x x 3所以2,1212所以必要性成立； : y b, 0 yb0充分性：设直线即，b由直线 与曲线x y x相切可得1，所以b k 1，2222k 12y b 1k x 6b 30222联立 x2可得，y 1 236b23，x x,x x 所以 1k21k21212b 3221 k x x4x x1 k4 所以2 2 21k 21k 2121224k2 3，1 k 21 k2 3 k 120，所以 k 1，化简得2k 1 k 1 所以 或 b 2，所以直线或:yx 2 yx 2，b2所以直线过点， ， ， 三点

26、共线，充分性成立；F( M N F所以 ，F三点共线的充要条件是 | 3【归纳总结】解决本题的关键是直线方程与椭圆方程联立及韦达定理的应用，注意运算的准确性是解题的重中之重.21. 一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第 0 1代，再经过一次繁殖后为第 2 代，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设 X表示(Xi)pi0,1,2,3)1 个微生物个体繁殖下一代的个数，ip p 0.3,p p E(X)；（1）已知，求0123p p x p x p x x p 表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p 是关于 x的方程：的一个最小正实根，求证：当

27、E(X)1时， p1，当 E(X)1时， p1；（3）根据你的理解说明（2）问结论的实际含义230123 E(X). f xf 1 0（2）利用导数讨论函数的单调性，结合及极值点的范围可得的最小正零点.（3）利用期望的意义及根的范围可得相应的理解说明.E(X)01231. f x p x3 p x2 p 1 x p（2）设，3210 p p p p 1f x p x p x p p p x p因为，故3 2，3210322030E X 1p 2p 3p 1p 2p p若，则，故.123230 f x 3p x2p x p p p2， 32203 f 0 p p p 0 f 1 p 2p p 0

28、因为，203230 f xx 01 xx ,x故有两个不同零点，且，1212 x ,x x ,fx 0 x x,xfx 0且故若时，；时，；1212 f x,xx ,x,x在，上为增函数，在上为减函数，1212 x 1f xx ,2f 1 0，因为在为增函数且，2 f x f x f 1 0 x 0,xf xx,x而当时，因为在上为减函数，故，2122p p xp x p x x1故 为23的一个最小正实根，0123 0,xx 1f 1 0p p xp x p x x2 3若，因为且在上为减函数，故 1 为的一个最小正实根，220123E X 1，则 p1.综上，若 E X 1p 2p 3p

29、1p 2p p若，则，故. 123230f0 p p p 0 f1 p 2p p 0此时，203230fxx ,xx 0 x 1故且故而又有两个不同零点，且， x ,x3434 fx 0 x ,fx 0 x x ,x时，；时，；3434 f xf 1 0,xx ,4x ,x在，上为增函数，在上为减函数，334f x 0，故，4f 0 p 0 f xxpp1.，故在存在一个零点 ，且04p p p xp x p x x的一个最小正实根，此时 p1，所以 为230123 E X 1p1故当时，.（3）意义：每一个该种微生物繁殖后代的平均数不超过 1，则若干代必然灭绝，若繁殖后代的平均数超过1，则若干代后被灭绝的概率小于 1.f(x)(x1)e bx22. 已知函数2（1）讨论 f(x)的单调性；（2）从下面两个条件中选一个，证明： f(x)有一个零点12e2a ,b2a；210a ,b2a2【思路分析】(1)首先求得导函数的解析式，然后分类讨论确定函数的单调性即可；(2)由题意结合(1)中函数的单调性和函数零点存在定理即可证得题中的结论. f x x e 2ax， x f x f x当 a 0时，若 x 若，则单调递减， f x f x，则单调递增； 1