数学物理方法：第九章 二阶常微分方程级数解法变换法本征值问题

1、第九章 二阶常微分方程级数解法变换法 本征值问题9.2 特殊函数常微分方程9.1 正交曲线坐标系9.3 常点邻域的级数解法9.4 正则奇点邻域上的级数解法9.5 施图姆刘维本征值问题对于圆的Dirichlet问题，其边界条件若分离变量则但若选极坐标9.1 正交曲线坐标系边界条件分离不出来则边界条件能分离出来若以q1 , q2 , q3 正交坐标，则它与直角坐标的相互关系为如（1）、柱坐标1、 正交曲线坐标系（1）、柱坐标其中（2）、球坐标其中（1）、柱坐标2、 正交曲线坐标系中的 u直角坐标系中类似有上面第一式两边除以 2在柱坐标系中直角坐标系中在柱坐标系中直角坐标系中在极坐标系中（2）、球坐

2、标系中9.2 特殊函数常微分方程（1）、球坐标系（一）、Laplace方程 u=0首先试图将此变量变r与 和 分离代入令化简为两个方程两边除以R，Y，乘以r2上边第一式化为是欧拉型常数方程，令称为球函数方程称为球函数方程令接着试图将变量 和 分离代入用除以两边用除以两边令令令令令该方程称为连带勒让德方程如 m=0称为勒让德方程球坐标系连带勒让德方程代入称为球函数方程（2）、柱坐标系试图将变量变 与 和 z 分离代入用除以两边代入令令用除以两边代入令令令即即称为贝塞尔方程即称为虚宗量贝塞尔方程柱坐标系考虑三维波动方程 （二）、波动方程 首先试图将时间变量t与空间变量r代入令简化为令分解为第一个方

3、程的解为称为亥姆霍兹方程考虑三维输运方程 （三）、输运方程 首先试图将时间变量t与空间变量r代入令简化为令分解为第一个方程的解为为亥姆霍兹方程（1）、球坐标系（三）、亥姆霍兹方程首先试图将此变量变r与 和 分离代入两边除以R，Y，乘以r2令化简为两个方程上边第一式化为这称为 l 阶球贝塞尔方程称为球函数方程令若 k=0 l 阶球贝塞尔方程退化为欧拉型方程 l 阶球贝塞尔方程 l 阶球贝塞尔方程为 l+1/2 阶贝塞尔方程 l 阶球贝塞尔方程连带勒让德方程（2）、柱坐标系试图将变量变 与 和 z 分离代入用除以两边代入令令代入令令为 m 阶贝塞尔方程令代入若为 m 阶贝塞尔方程m 阶球贝塞尔方程

4、退化为欧拉型方程为 m 阶贝塞尔方程m 阶贝塞尔方程退化为欧拉型方程例：输电线影响带电云层与地间的电场 柱外泛定方程导体为等势体，不妨 u=0Laplace 方程在极坐标下的表达方程为边界条件空间一点电势为 u无限远处，Ey=0, Ex=E0 即：泛定方程边界条件解：令因为常微分方程为欧勒方程令则下面确定系数边界条件边界条件若导体原来不带电D0=0边界条件例：在圆域内求泊松方程边值问题泊松方程由对称性1）、寻找泊松方程的特解解：考虑令特解 v2）、泊松方程的转化为边界条件泊松方程为 Laplace 方程方程一般解圆域内代入边界条件亥姆霍兹方程:球坐标:柱坐标:I、连带勒让德方程II、贝塞尔方程

5、虚宗贝塞尔方程l+1/2 阶(l球阶)贝塞尔方程注：（1）（实）贝塞尔方程：（2）：（3）统一形式：9.3 常点邻域的级数解法(解析解)考虑二阶常微分方程初始条件为可以用级数求更一般，对于复变函数 w(z)初始条件为z为复变函数, z0 为选定点，C0，C1为复常数9.3 常点邻域的级数解法考虑二阶常微分方程初始条件为Liouville公式：则是一个特解，也是一个与线性无关的特解。（1）、勒让德方程的级数解即在 x0 =0的邻域内解析, 可以用级数求勒让德方程或令代入有即比较各次幂系数有从而可得外推外推将以上系数代入得其中将以上系数代入得其中（2）、解的收敛性利用达朗贝尔判别法有说明收敛说明发

6、散可以证明在（3）、勒让德多项式由于勒让德方程的级数解若能退化为多项式，则发散问题解决考虑到若取则 y0(x) 只到 x2n 项被称为 l 阶勒让德多项式若取则 y0(x) 只到 x2n 项因为但可取则 y1(x)仍发散从而将l 限制在 0 或正整数，使“解在 x=1 保持有限“，称为勒 让德方程的自然边界条件小结：连带勒让德方程在-1,1有解析解在（-1,1）有解析解考虑二阶常微分方程9.4 正则奇点邻域上的级数解法若 z0 是p(z)和 q(z)的奇点，z0 称为方程的奇点，解也以方程为奇点，则在存在两个线性独立解或（一）、正则奇点邻域上的级数解存在两个线性独立解或在若存在的两个线性独立解

7、为有限个负幂项，称 z0 为方程的正则奇点考虑p(z)以z0为不高于一阶极点，q(z)以z0为不高于二阶极点，则可以证明 z0 为方程的正则奇点有或或其中 s1 和 s2 是如下判定方程的两个根取若 s1 s2 整，则取第一个w2(z)等式，否则取第二个的证明代入的证明考虑z的最低幂次zs-2考虑阶贝塞尔方程（二）、阶贝塞尔方程p(z)以 x0=0 为一阶极点，q(z)以 x0=0 为二阶极点判定方程代入（1）、0阶贝塞尔方程（阶数不为整数或半奇数）考虑阶贝塞尔方程代入先取 s1 =代入阶贝塞尔方程先取 s1 =代入阶贝塞尔方程即即比较各次幂系数有得其中而故只要 y=(x/2)2 有限，级数收

8、敛A:解的收敛性利用达朗贝尔判别法有故只要 x 有限，级数收敛B:贝塞尔函数有取称为贝塞尔函数表示为阶贝塞尔函数用同理有阶贝塞尔方程的通解为J 和 J- 称为第一类柱函数当 m时，J 和 J- 线性无关当 = m时，J 和 J- 线性相关证明如下：（2 )、整数 m 阶贝塞尔方程令 k-m=l=0故当 = m时，J 和 J- 线性相关需要寻找另一与 Jm 无关的解 取阶贝塞尔方程的一个特解为称为阶诺伊曼函数阶诺伊曼函数为第二类柱函数阶贝塞尔方程的通解可取为但当 = m时C为欧拉常数考虑(l+1/2)阶贝塞尔方程取 l=0代入=1/2（3 )、（l+1/2)阶贝塞尔方程1/2阶贝塞尔函数1/2阶

9、贝塞尔函数 s1 s2 = 1 第二个特解应为但可试着用 =-1/2代入贝塞尔函数与线性无关故J1/2 和 J-1/2 可作为 =1/2贝塞尔方程的线性独立解 =1/2贝塞尔方程的通解为l+1/2贝塞尔函数为 s1 s2 = 2l+1 第二个特解应为但可试着用 =-(l+1/2)代入贝塞尔函数与线性无关 =l+1/2贝塞尔方程的通解为当 x0 时，（6）、x=0处的自然边界条件剩下若研究区域含x=0，要去掉称 x=0 处的具有自然边界条件考虑阶虚宗量贝塞尔方程（三）、虚宗量贝塞尔方程（1）、阶虚宗量贝塞尔方程令为阶贝塞尔方程和阶诺伊曼函数令阶虚宗量贝塞尔函数为实数阶虚宗量贝塞尔方程的一般解为考

10、虑m阶虚宗量贝塞尔方程（2）、整数m阶虚宗量贝塞尔方程令为m阶贝塞尔方程m阶虚宗量贝塞尔函数为实数故要寻找另一个独立解而m阶虚宗量贝塞尔函数为实数小结：贝塞尔方程有解析解虚宗贝塞尔方程（nu非整数）l+1/2 阶(l球阶)贝塞尔方程（1）（实）贝塞尔方程：（2）：9.5 施图姆刘维本征值问题（一）、施图姆刘维本征值问题考虑形式为的带参量的二阶常微分方程，只有某些非零方程才有解，称为本征值，对应的非零解称为本征函数前面介绍的方程都属于施图姆刘维型方程（i)考虑贝塞尔方程（i) 贝塞尔方程注意：贝塞尔方程是在柱坐标系中代换得到的自然边界条件（ii)勒让德方程自然边界条件（iii)连带勒让德方程自然边界条件（iv)一般二阶常微分方程边界条件连带勒让德方程对于有自然边界条件的情况贝塞尔方程勒让德方程（二）、施图姆刘维本征值问题的性质（1）、若k(x),k(x),q(x) 连续，或最多以x=a,x=b 为一阶极点，则存在无限多本征值（2)、所有本征值均大于零对应有非零本征函数（3）、有带全重 (x)