数学物理方法：第一章 复变函数

1、第一章 复变函数1.2 复变函数1.3 复变函数的导数1.4 解析函数1.1 复数与复数运算第一篇 复变函数论式中x、y为实数，称为复数的实部与虚部（一） 复数几何表示：1.1 复数与复数运算复数：复平面为复数的模为复数的辐角1、 复数表示由于辐角的周期性，辐角有无穷多为辐角的主值，为主辐角，记为例：求的Argz与argz解：z位于第二象限复数的三角表示：复数的指数表示：应用：（二） 无限远点共轭复数：NSzARiemann球面复球面零点无限远点（三）复数的运算1、复数的加减法有三角关系：2、复数的乘法3、复数的除法或指数式：4、复数的乘方与方根乘方故：方根故k取不同值， 取不同值例：求 之值

2、注意：1）、2）、3）、例：讨论式子 在复平面上的意义解：为圆上各点例：计算解：令例：计算解：令1.2 复变函数（一）、复变函数的定义对于复变集合E中的每一复数有一个或多个复数值w称为的z复变函数z称为w的宗量（二）、区域概念由确定的平面点集，称为定点z0的邻域（1）、邻域（2）、内点定点z0的邻域全含于点集E内，称z0为点集E的内点（3）、外点定点z0及其邻域不含于点集E内，称z0为点集E的外点（4）、镜界点定点z0的邻域既有含于E内，又有不含于E内的点，称z0为点集E的镜界点。内点镜界点外点内点镜界点外点（5）、区域A）全由内点组成B）具连通性：点集中任何两点都可以用一条折线连接，且折线上

3、的点属于该点集。（6）、闭区域区域连同它的边界称为闭区域，如表示以原点为圆心半径为1的闭区域（7）、单连通与复连通区域单连通区域：区域内任意闭曲线，其内点都属于该区域（三）、复变函数例可大于1例：求方程 sinz=2解：设（四）、极限与连续性设w=f(z)在z0点的某邻域有定义对于0，存在0,使有称z - z0时w0为极限，计为注意：z在全平面，z - z0须以任意方式若有称f(z)在z0点连续1.3 导数w=f(z)是在z点及其邻域定义的单值函数在z点存在，并与z - 0的方式无关，则例：证明f(z)=zn在复平面上每点均可导证：例：证明f(z)=z*在复平面上均不可导证：求导法则下面讨论复

4、变函数可导的必要条件比较两式有称为科西-黎曼条件（C.R.条件）C.R.条件不是可导的充分条件例：证明 在z=0处满足C.R.条件，但在沯z=0处不可导 证：满足C.R.条件在z=0处但在z=0处，若一定，随而变，故在z=0处不可导下面讨论f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在z 点可导的充分条件证明：1）u,v在z处满足C.R.条件 2）u,v在z处有连续的一阶偏微商因为u,v在z处有连续的一阶偏微商，所以u,v 的微分存在由C.R.条件 此式z无论以什么趋于零都存在，C.R.方程的极坐标表示：故f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在z 点可导当考虑z沿径向和沿恒向趋于零时，有例：试推导

5、极坐标下的C.R.方程：方法一：当分别考虑z沿径向和沿恒向趋于零时，沿径向趋于零沿恒向趋于零方法二：从直角坐标关系出发同理例：证明f(z)=ex(cosy+isiny)在复平面上解析 ，且f(z)=f(z)。1.4 解析函数若w=f(z)是在z0点及其邻域上处处可导，称f(z)在z0解析若w=f(z)是在区域 B上任意点可导，称f(z)在区域 B 解析证：满足C.R.条件且一阶偏导连续 后面可证在某区域上的解析函数 ，在该区域上有任意阶导数。由C.R.条件前一式对x 求导，后式对y 求导，相加同理u(x,y)和v(x,y)都满足二维 Laplace 方程又特别称为共轭调和函数性质1、f(z)在

6、区域 B 解析，u(x,y)和v(x,y)为共轭调和函数令：称为梯度(gradient)矢量二维表示三维表示由C.R.条件两式相乘即或表示Laplace 方程表示为：性质 2、u(x,y)=常数与 v(x,y)=常数曲线正交而u 和v 分别是u(x,y)=常数 v(x,y)=常数的法向向量若给定一个二元调和函数，可利用C.R.条件，求另一共轭调和函数，方法如下：C.R.条件上式为全微分，因为方法一、曲线积分法（全微分的积分与路经无关）设已知 u(x,y)， 求v(x,y)方法二、凑全微分显式法方法三、不定积分法方法一、曲线积分法（全微分的积分与路经无关）方法二、凑全微分显式法方法三、不定积分法例：已知解析函数实部 u(x,y)=x2-y2,求 v(x,y)解：故u为