复变函数论课件：Ch6 留数理论及其应用

1、留数计算方法孤立奇点对数留数留数定理留数在定积分上的应用辐角原理路西原理Ch6 留数理论及其应用Ch6 留数理论及其应用这一章是第三章柯西积分理论的继续，中间插入的泰勒级数及罗朗级数都是研究解析函数的有力工具。第三章的柯西积分公式描述了解析函数在围线内部点处的值，可以用它在围线上的值所确定的积分来表示，反过来，通过计算解析函数的值来代替围线上积分的计算就是残数定理的思想，因此残数定理可以看作是柯西积分公式在积分计算的应用上的延伸。引入残数的主要目的是用于计算积分。另外，应用残数理论还可以考察区域内函数的零点分布状况。1 留 数1.留数定义设为的一个孤立奇点;内的洛朗级数:在.的某去心邻域邻域内

2、包含的任一条正向简单闭曲线留数的引入0(高阶导数公式)0 (柯西-古萨基本定理)定义6.1 记作的一个孤立奇点, 则沿内包含的任意一条简单闭曲线 C 的积分的值除后所得的数称为以如果留数说明:2. 留数定理将沿封闭曲线C积分转化为求被积函数在C内各孤立奇点处的留数.定理6.1. 在区域 D内除有限个孤外处处解析, C 是 D内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线, 那末立奇点函数利用留数求积分柯西留数定理证证毕两边同时除以 且.如图(1) 如果为的可去奇点, 如果 为 的一级极点, 那末规则1成洛朗级数求(2) 如果为的本性奇点, (3) 如果为的极点, 则有如下计算规则展开则需将2.留数的求法CO

3、R 6.3如果 为 的 级极点, 规则2证那末TH 6.2+(含有 正幂的项)两边求阶导数, 证毕得规则3 如果设及在都解析，证的一级零点,为的一级极点.为那末为的一级极点, 且有TH 6.5解析且在因此其中 在 解析且为 的一级极点,例6.2 求 。解 以 为一级极点， 于是 .43.在无穷远点的留数注意积分路线取顺时针方向说明记作 定义 6.2 设函数在圆环域内解析，C为圆环域内绕原点的任何一条正向简单闭曲线，.证由留数定义有:(绕原点的并将内部的正向简单闭曲线)包含在 定理6.6如果函数在扩充复平面内只有有限个孤立奇点, 那末在所有各奇点 (包括 点)的留数的总和必等于零.证毕说明: 由

4、定理得(留数定理)计算积分计算无穷远点的留数.优点: 使计算积分进一步得到简化. (避免了计算诸有限点处的留数) 在无穷远点处留数的计算规则4说明: 定理二和规则4提供了计算函数沿闭曲线积分的又一种方法: 此法在很多情况下此法更为简单.现取正向简单闭曲线C为半径足够大的正向圆周 :于是有证内除在外无其他奇点 .证毕思考: 若z=是f (z)的可去奇点, 则 f (z)在z= 的留数是否 为0 ? 6.6 典型例题例1 求在的留数.解例2 求在的留数.分析是的三级零点由规则3得计算较麻烦.典型例题如果利用洛朗展开式求较方便:解典型例题说明: 如 为 m 级极点，当 m 较大而导数又难以计算时,

5、可直接展开洛朗级数求来计算留数 .2. 在应用规则2时, 取得比实际的级数高.级数高反而使计算方便. 1. 在实际计算中应灵活运用计算规则. 为了计算方便一般不要将m但有时把m取得比实际的如上例取典型例题例3 求在的留数.解 是的四级极点.在内将展成洛朗级数:典型例题例4 计算积分C为正向圆周:解为一级极点,为二级极点,典型例题典型例题例5 计算积分C为正向圆周:函数在的外部, 除点外没有其他奇点. 解 根据定理 2与规则4: 典型例题与以下解法作比较 :被积函数有四个一级极点都在圆周的内部 , 所以由规则3 典型例题可见, 利用无穷远点的留数更简单.例6 计算积分C为正向圆周 :解 除被积函

6、数点外, 其他奇点为典型例题由于与1在C的内部, 则所以思考题思考题答案留数计算方法孤立奇点对数留数留数定理留数在定积分上的应用辐角原理路西原理1 留数 习题P2691 (1) (2) (5) (6)2 (1) (4)3 (3) (4) 一、形如 的积分 二、形如 的积分三、形如 的积分四、小结与思考2 留数在定积分计算上的应用1、 形如 的积分思想方法 :封闭路线的积分 .两个重要工作:1) 积分区域的转化2) 被积函数的转化把定积分化为一个复变函数沿某条形如当历经变程时,的正方向绕行一周.z 沿单位圆周z的有理函数 , 且在单位圆周上分母不为零 , 满足留数定理的条件 .包围在单位圆周内的

7、诸孤立奇点.例6.8 计算积分解则例 计算解 令极点为 :(在单位圆内)(在单位圆外)思考题思考题答案例6.7 解 故积分有意义.因此例6.9例6.10若有理函数 R(x)的分母至少比分子高两次, 并且分母在实轴上无孤立奇点.一般设分析可先讨论最后令即可 .2. 形如 的积分2. 积分区域的转化:取一条连接区间两端的按段光滑曲线, 使与区间一起构成一条封闭曲线, 并使R(z)在其内部除有限孤立奇点外处处解析. (此法常称为“围道积分法”)1. 被积函数的转化:(当z在实轴上的区间内变动时 , R(z)=R(x) 可取 f(z)=R(z) .xy.这里可补线(以原点为中心 , R为半径的在上半平

8、面的半圆周)与一起构成封闭曲线C , R(z)在C及其内部(除去有限孤立奇点）处处解析.取R适当大, 使R(z)所有的在上半平面内的极点都包在这积分路线内.根据留数定理得 :当 充分大时, 总可使例 计算积分解 在上半平面有二级极点一级极点例6.11xy.积分存在要求: R(x)是x的有理函数而分母的次数至少比分子的次数高一次, 并且R(z)在实轴上无孤立奇点.与曲线C ,使R(z)所有的在上半平面内的极点包在这积分路线内 .同前一型: 补线一起构成封闭都3. 形如 的积分对于充分大的 , 且 时, 有从而由留数定理: 定理6.8 设如果 (1) (2) Q(x)在实轴上不等于0，则例6.13

9、例 计算积分解 在上半平面只有二级极点又注意 以上两型积分中被积函数中的R(x)在实轴上无孤立奇点. 4.计算积分路径上有奇点的积分 引理6. 3 设f (z)在Cr上连续，Cr： 且在Cr上 ，则例6.15 计算积分分析 因在实轴上有一级极点应使封闭路线不经过奇点, 所以可取图示路线:解 封闭曲线C:由柯西-古萨定理得:由当 充分小时, 总有 即例6.16证 如图路径，令两端实部与虚部分别相等，得菲涅耳(fresnel)积分 定理6.2.3留数计算方法孤立奇点对数留数留数定理留数在定积分上的应用辐角原理路西原理 定义具有下列形式的积分:说明:1) 对数留数即函数 f(z)的对数的导数在C内孤

10、立奇点处的留数的代数和;2) 函数 f(z)的零点和奇点都可能是的奇点.3 辐角原理及其应用1.对数留数 定理6.9内零点的总个数, P为 f(z)在C内极点的总个数.其中, N为 f(z)在C且C取正向. 注意: m级的零点或极点算作m个零点或极点.证证毕由以上所述和留数定理，得例 求 。解 例 求 。 解法二令 ，则 为 的一级零点, .不一定为简单闭曲线, 其可按正向或负向绕原点若干圈. 对数留数的几何意义2.辐角原理单值函数等于零结论:(k总为整数)对数留数的几何意义是 绕原点的回转次数k由定理6.9及对数留数的几何意义得可计算f(z)在C内零点的个数此结果称为辐角原理 定理 (辐角原

11、理)如果 f(z)在简单闭曲线C上与C内解析, 且在C上不等于零, 那么 f(z)在C内零点的个数等于乘以当z沿C的正向绕行一周 f(z)的辐角的改变量.辐角原理证（大意）根据定理6.9例6.21 ,试验证辐角原理。证 故辐角原理成立。例注: 2)辐角原理提供了计算解析函数零点个数的一个有效方法.特别地,可以借此研究在一个指定区域内多项式零点的个数问题.P263 Ex6.223.儒歇(Rouch)定理定理6.10(儒歇定理)说明:利用此定理可对两个函数的零点个数进行比较 .证在C内部解析证毕例6.23 设 次多项式 满足条件 ,则 在单位圆 内有 个零点。证例 6.25在圆内的零点数为n在圆内的零点数也为n例 对数留